поверхность Ферми
.pdf
Основы физики твердого тела
Примеры реальных поверхностей Ферми медь
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Примеры реальных поверхностей Ферми алюминий
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Примеры реальных поверхностей Ферми кобальт
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Примеры реальных поверхностей Ферми железо
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Напомним теперь несколько важных моментов. Итак:
•поверхность Ферми отделяет заполненные электронные состояния в металлах от незаполненных при абсолютном нуле температуры
•кристаллический потенциал изменяет форму поверхности Ферми, но не меняет ее объема, который определяется концентрацией электронов проводимости
•импульс электронов на поверхности Ферми kF называют импульсом (или радиусом) Ферми, энергию электронов на поверхности Ферми εF называют энергией Ферми, а скорость vF=h kF/m – скоростью Ферми.
Посмотрим чему равны эти величины. Имея в виду вышеприведенные замечания, будем работать в приближении свободных электронов. Очевидно, что для нахождения числа возможных значений волновых векторов в объеме Ω обратного пространства мы должны этот объем умножить на плотность числа состояний, которое, согласно выводам в лекции 2 равно V/(2π)3, где V – объем кристалла, и на 2 за счет наличия спина у электрона.
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Объем сферы радиусом kF равен 4πkF3/3. Тогда для N электронов:
|
4πk3 |
|
|
V |
|
|
k3 |
|
|
|
F |
|
|
|
2 = |
F |
V |
||
|
3 |
|
|||||||
N = |
3 |
|
8π |
3π |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, для концентрации электронов в кристалле n=N/V, которая, как известно имеет порядок 1022-1023см-3 получаем, что радиус Ферми имеет значение около 1Å-1.
Плотность электронных состояний
Теперь мы готовы перейти к рассмотрению важного понятия – плотности электронных состояний в кристалле. Пусть имеем кристалл объемом V, в котором электроны заполняют n энергетических зон и хотим вычислить значение некоторой функции, взвешенное по всем возможным электронным состояниям.
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
F = 2∑n,kr Fn (kr)
Мы предполагаем, что Fn не зависит от спина и за счет этого появился множитель 2. Если таковая зависимость имеется, то надо просто ввести еще суммирование по спиновой переменной. В пределе V→∞ сумму по волновым векторам можно заменить интегрированием и получаем
q = lim |
F |
= 2 |
∑∫ |
dk |
|
r |
|
F (k) |
|||||
|
|
3 |
||||
V →∞ |
|
(2π) |
n |
|||
|
V |
|
n |
|
|
|
где интегрирование идет по объему элементарной ячейки.
Если функции Fn есть функция только энергии электронов для соответствующей зоны и волнового вектора, то можем ввести понятие плотности уровней электронов на единицу объема (для краткости – просто плотность уровней) g(E) и плотность q можем записать как
q = ∫dE g(E) F(E)
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Сравнивая две формулы
q = lim |
F |
= 2 |
∑∫ |
dk |
r |
|
F (k) |
||||||
|
3 |
|||||
V →∞ |
|
n |
||||
|
V |
|
n |
(2π) |
|
|
q = ∫dE g(E) F(E)
Получаем, что
g(E) = ∑gn (E)
n
Где плотность состояний в n - той зоне дается выражением
gn (E) = ∫4dπk3 δ(E − En (kr))
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Можно также показать, что плотность уровней в n – той зоне представима в следующей форме (см., напр. Н.Ашкрофт, Н.Мермин «Физика твердого тела», Мир, Москва, 1979, стр. 150-151)
gn (E) = |
∫(E) |
dS |
1 |
r |
|
|
|
4π3 |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
S |
|
E (k) |
|
|
|||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
Здесь интегрирование ведется по поверхности постоянной энергии Sn(E) электронов, попадающей внутрь данной элементарной ячейки. Градиент в подынтегральном знаменателе представляет собой вектор перпендикулярный поверхности Sn(E) и задает скорость изменения энергии в направлении нормали к поверхности. Таким образом, приведенное выражение в явном виде связывает плотность уровней с зонной структурой. Когда градиент обращается в ноль, для плотности уровней появляется особенность, называемая
особенностью ван Хова.
лекция №4
© А.В.Белушкин, 2005