Г.Д, Ковалева, А.С. Липин -Теория вероятностей для социологов и менеджеров

Глава 4. Случайные величины

Стоит отметить тот факт, что множитель в формуле (4.5) является норми-

рующим коэффициентом для плотности гамма-распределения. Действительно, в этом случае интеграл плотности по области определения равен 1.

Вообще, это один из механизмов конструирования случайных величин из произвольно заданных неотрицательных функций – нормировав функцию на площадь под ее графиком, можно получить плотность некой с.в. Важным моментом здесь является то, что площадь под графиком должна быть конечна.

Замечание. Гамма-распределение является обобщением для ряда других распределений.

4.2.6. Распределение Эрланга

Другой случай, менее очевидный, – гамма-распределение при целых . В этом случае получается, уже упоминавшееся распределение Эрланга 6. Для этого случая можно получить функцию распределения, интегрировав по частям (4.5):

Как уже упоминалось, распределение Эрланга используется в расчете нагрузки в теории массового обслуживания. Например, с.в., имеющая распределение Эрланга третьего порядка, показывает, сколько времени может говорить оператор в call-центре, если в центре всего 4 оператора. Действительно, в течение общения одного оператора поступит три звонка, которые обслужат три других оператора. При поступлении следующего звонка первый оператор уже должен закончить разговор.

Другой пример использования – исследование риска катастрофы. Как известно, катастрофа – это обычно стечение обстоятельств, накопление ошибок, которые сами по себе не являются критичными, но в совокупности приводят к катастрофе. Если предположить, что поток ошибок является пуассоновским потоком, что достаточно логично, то, например, если после четвертой ошибки происходит катастрофа, то время их происхождения описывается распределением Эрланга 4-го порядка.

Очевидно, что распределение Эрланга для случая 1 является показательным распределением E . Но связь между этими распределениями более глубокая.

Рассмотрим пуассоновский поток событий, см. рис. 4.8.

Случайная величина – промежуток времени между двумя последовательными событиями ti 1 ti – подчиняется, как было показано в §3.7, экспоненциальному распределению.

Потоки Эрланга строятся на основании пуассоновского потока с выброшенными точками. Например, если выбросить из потока каждую вторую точку, то получится поток Эрланга первого порядка ( 2). Если выбросить по две промежуточные точки между событиями (см. рис. 4.8), т.е. оставить каждую третью точку, то получаем поток Эрланга второго порядка ( 3) и т.д.

6 Агнер Краруп Эрланг (1878-1929) – известный датский статистик. Получил известность благодаря научным изысканиям для Копенгагенской Телефонной Компании.

41

Теория вероятностей

Поток Эрланга порядка 1 , (распределение , ), получается из пуассо-

,

новского потока с сохранением каждой -ой точки.

Этот вывод также можно сделать из анализа функции распределения Эрланга, см. (4.6). Это форма аналогичная той, которая была использована при выводе показательного распределения из распределения Пуассона. После преобразования (4.6) можно представить:

что означает вероятность не более 1 события. На отрезке исключено 1 событие и оставлено каждое -е, т.е. это поток Эрланга порядка 1 .

Замечание. Стоит отметить тот факт, что, несмотря на то, что поток Эрланга получен из пуассоновского потока, он обладает уже не всеми его свойствами. Поток Эрланга не является

потоком с отсутствием последействия. По определению, потоку Эрланга порядка , соот-

ветствуют пропущенных событий пуассоновского потока, что означает явную зависимость от предшествующих событий. Это поток с ограниченным последействием.

4.2.7. Прочие распределения

Функция распределения Ca, находится как интеграл функции плотности в явном виде:

0, если x

42

Глава 4. Случайные величины

4.3. Смешанные случайные величины

Разделение изученных случайных величин на дискретные и абсолютно непрерывные не случайно. Есть третий класс случайных величин, так называемые сингулярные с.в., функция распределения которых является непрерывной, но не абсолютно непрерывной. Например, это – лестница Кантора. Плотности вероятности у сингулярной с.в. не существует. Важных практических приложений для подобных распределений не существует, поэтому мы не будем на них останавливаться подробно.

Теорема. Для произвольной функции распределения F x существует набор неотри-

цательных чисел: 1 2 3 1 и набор из дискретного распределения F1 , абсолютно непре-

рывного F2 и сингулярного F3 , такой что

Также доказан факт, что распределений не представимых в виде (4.7) не существует.

4.4. Преобразования случайных величин

Зная распределение одной случайной величины, можно получить множество других, применив к ней любое математическое преобразование. При этом возникает вопрос – какое распределение будет иметь преобразованная с.в.? Данная задача имеет большое прикладное значение – как при известной взаимосвязи реальных показателей между собой, например цен товаров в потребительской корзине, i pixi R, найти распределение итогового.

Теорема. Пусть с.в. имеет абсолютно непрерывное распределение F x . Тогда для любой монотонной функции g:R R , плотностью с.в. g будет следующая:

f x f g 1 x g 1 x .

Доказательство. Функция g – монотонная, поэтому имеет обратную.

F x P x P g x P g 1 x F g 1 x .

Далее по теореме о производной сложной функции найдем плотность с.в. :

В итоге:

e x, x 0 f x .

0, x 0

43

Теория вероятностей

g y 2y 1, функция – монотонна, т.е. удовлетворяет условиям теоремы. Обратная функция

g 1 y y 1. Соответственно, плотность с.в. :

ция g 1 y y a . Соответственно, плотность с.в. :

Следовательно

44

Глава 4. Случайные величины

1 x a f x f . b b

Доказательство.

45

Теория вероятностей

Вопросы

1.Вывести распределение отрицательного биномиального распределения.

2.Доказать свойство «нестарения» для геометрического и показательного распределений.

3.Доказать связь гипергеометрического и отрицательного биномиального распределений.

4 .Доказать свойство (5) функции плотности используя свойство конечности интеграла плотности.

5.Выведите и постройте функцию распределения Коши, Парето.

6.Исследуйте поведение плотности гамма-функции по параметру 1 и 1 и бета функций по параметрам a,b.

46

Глава 5. Числовые характеристики распределений

Глава 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

… науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания…

Пьер Симон Лаплас, 1812.

5.1. Математическое ожидание

Математическое ожидание (средним значение) случайной величины – число, определяемое формулой:

для дискретных и абсолютно непрерывных с.в., соответственно.

Обе формулы (5.1) различны по виду, но идентичны по смыслу. В непрерывном случае сумма заменяется бесконечно малыми приращениями, т.е. переходит в интеграл. А аналогом дифференциально малого приращения функции распределения dF x является вероятность

в дискретном случае.

Если ряд или интеграл, рассчитанные по формулам (5.1), расходятся, то в этом случае говорят, что мат. ожидание не существует. Из математического анализа известно условие существования суммы ряда (интеграла) в (5.1) – это условие абсолютной сходимости ряда (интеграла).

Пример 5.1. «Доход страховой компании». Согласно таблицам смертности вероятность того, что сорокалетний человек доживет до 50 лет, равна 0,927 (данные 1960 г.). Если 40летний человек застрахован на 10 лет на сумму 1000 руб. со страховым взносом 1000 руб., то страховая компания получит доход 1000 руб. с вероятностью 0,927, а выплатит 10 000 руб. с вероятностью 1 - 0,927 = 0,073. Доход страховой компании – случайная величина с законом распределения, представленным в таблице.

Средний доход страховой компании в данном случае будет являться математическим ожиданием:

E 1000 0,927 9000 0,073 270.

Очевидно, что из-за редкости смертельных случаев, доход компании получился положительным. Если же, вероятность смерти с 1960 года увеличилась до 0,1, то в этом случае компания получит в среднем нулевой доход.

Как мы выяснили, математическое ожидание является характеристикой среднего случайной величины. В простейшем классическом вероятностном пространстве – это арифметическое среднее, в дискретном пространстве с не равновероятными элементарными исходами

– это взвешенное среднее. Понятия арифметического среднего и взвешенного среднего используются в общей статистике.

Замечание. В физике формула (5.1) определяет центр масс системы точек.

47

Теория вероятностей

Другие виды усредняющих характеристик с.в.

На практике кроме срдневзвешенного используется медиана, роль среднего может играть и мода – значение случайной величины, в котором плотность (или вероятность для дискретного случая) максимальна. В литературе упоминается также геометрическое среднее, в

классическом вероятностном пространстве G nx1x2...xn . Иногда используется среднее гармоническое:

1

H E 1 .

Однако математическое ожидание оказалось наиболее удобным для построения теории вероятностей и математической статистики.