- •Раздел 4. Математическая логика и формальные системы.
- •4.1. Введение в формальные системы
- •4.2. Принципы построения формальных теорий.
- •4.3. Исчисление высказываний. Аксиомы и правила вывода.
- •2) Правило заключения (Modus Ponens). Если u и u β – выводимые формулы, то β выводима:
- •4.4. Исчисления предикатов и теории первого порядка.
- •3. Аксиомы исчисления предикатов делятся на две группы:
- •1) Аксиомы исчисления высказываний ( можно взять любую из систем или );
- •2) Две следующие предикатные аксиомы:
- •4.Правила вывода:
- •3) Правило - введения:
- •4.5.Предмет математической логики
- •4.6. Аксиоматический метод
- •1.4 Такое число m единственно.
- •1.20 Если k ј m и m ј n, то k ј n.
- •4.7. Логика высказываний
- •2.1 Укажите два примера множества строк: одно замкнутое, другое не замкнутое относительно правил построения.
- •2.2 Множество формул замкнуто относительно правил построения.
- •2.3 Является ли формулой ¬(p & q)?
- •2.4 Является ли формулой (p)?
- •2.10 Найдите формулу f такую, что (3) – единственная интерпретация, при которой f истинна.
- •2.11 Для любых формул f1,...,Fn (n і 1) и любой интерпретации I
- •2.12 Сформулируйте и докажите подобный факт для дизъюнкции f1 ъ ··· ъ Fn.
- •2.13 Для любой интерпретации I существует формула f такая, что I – единственная интерпретация, при которой f истинна.
- •2.15 Покажите, что для атомов p и q
- •2.22 Предполагая, что p и q – атомы, определите
- •2.23 G влечёт f тогда и только тогда, когда g и { ¬f } не выполнимо.
- •2.24 Определить, какие из следующих формул являются тавтологиями: (p й q) ъ (q й p), ((p й q) й p) й p, ((p є q) є r) є (p є (q є r)).
- •2.25 Для любых формул f, g1,...,Gn (n і 1) : f следует из { g1,..., Gn } тогда и только тогда, когда (g1 & ··· & Gn) й f – тавтология.
- •2.26 Найдите вывод q & p из p & q.
- •2.29 Найдите вывод p й r из p й q и q й r.
- •2.43 Правило удаления отрицания корректно.
- •2.44 Правило введения отрицания корректно.
- •2.45 Правило противоречия корректно.
- •2.52 Оба правила введения дизъюнкции корректны.
- •2.53 Правило удаления дизъюнкции корректно.
- •3.1 Является ли " X формулой?
- •3.2 Если формула содержит квантор, тогда она содержит переменную. Верно или нет ?
- •3.3 Если формула содержит квантор, тогда она содержит скобки. Верно или нет ?
- •3.4 Найдите свободные переменные и связанные переменные формулы
- •3.5 Все простые числа больше чем X.
- •3.10 Найдите результат подстановки константы a вместо X в формулу из задачи 3.4.
- •3.11 Если V не является свободной переменной f(V), тогда f(t) равно f(V).
- •V не является свободной переменной формулы Kw f.
- •3.12 Терм, не содержащий ни одной связанной переменной формулы f, является подстановочным в f для любой переменной.
- •3.23 Каждый терм содержит объектную константу или объектную переменную. Верно или нет ?
- •3.38 Модель арифметики первого порядка (7) стандартна.
- •3.39 G непротиворечива.
- •3.40 Арифметика первого порядка имеет нестандартную модель.
4.3. Исчисление высказываний. Аксиомы и правила вывода.
В исчислении высказываний мы вновь встречаемся с объектами, с которыми однажды уже имели дело с формулами алгебры логики. Однако здесь формулы рассматриваются не как способ представления функций, а как составные высказывания, образованные из элементарных высказываний (переменных) с помощью логических операций или, как говорят в логике, связок , ¯ , (если X, то Y) . При этом особое внимание уделяется тождественно-истинным высказываниям, поскольку, как уже отмечалось, они должны входить в любую теорию в качестве общелогических законов. Их порождение и является основной задачей исчисления высказываний. Исчисление высказываний определяется следующим образом.
Алфавит исчисления высказываний состоит из переменных высказываний (пропозициональных букв): А, В, С…, знаков логических связок , , ¯ , и скобок ( , ).
Формулы:
а) переменное высказывание есть формула;
б) если 2τ и 2 – формулы, то (2τ2 и ¯2τ – формулы;
в) других формул нет.
Внешние скобки у формул обычно договариваются опускать: например, вместо (2τ пишут 2 Вместо синтаксически более удобного знака ┐ часто употребляется черта над формулой.
Аксиомы. Приведем здесь две системы аксиом. Первая из них непосредственно использует все логические связки:
Система аксиом І.
І 1. A(BA);
І 2. (AB) ((A (BC)) (AC));
І 3. (A&B) A
Ι 4. (A&B) B;
І 5. A (B (A&B));
Ι 6. A (AB);
І 7. B (AB);
І 8. (AC) ((BC)((AB) C));
І 9. (AB)((A┐B) A);
І 10. ┐┐AA.
Другая система использует только две связки ┐ и ; при этом сокращается алфавит исчисления ( выбрасываются знаки , &) и соответственно определение формулы. Операции , & рассматриваются не как связки исчисления высказываний, а как сокращения ( употреблять которые удобно, но не обязательно ) для некоторых его формул: АВ заменяем ┐АВ, А&В заменяем ┐(А ┐В). В результате система аксиом становится намного компактнее.
Система аксиом II.
ІI 1. A(BA);
II 2. (A(BC))((AB)(AC);
II 3. (AB)((AB)A).
Приведенные системы аксиом равносильны в том смысле, что порождают одно и то же множество формул. Какая из систем лучше? Это зависит от точки зрения. Система II компактнее и обозримее; соответственно более компактны и доказательства различных её свойств. С другой стороны, в более богатой системе I короче выводы различных формул.
Правила вывода.
1) Правило подстановки. Если u – выводимая формула, содержащая букву А (обозначим это факт u ( А ) ), то выводимая формула u(β), получающаяся из u заменой всех вхождений А на произвольную формулу
u(A)
u: ——— ;
u(β)