9_физ_1(векторы)_реш
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)
Заочная физико-техническая школа
ФИЗИКА
Векторы в физике (вводное задание)
Решение задания №1 для 9-х классов
(2015 – 2016 учебный год)
г. Долгопрудный, 2015
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
Составители: А.А. Лукьянов, кандидат физико-математических наук, доцент;
Физика: решение задания №1 для 9-х классов (2015 – 2016 учебный год), 2015, 8 с.
Составитель:
Лукьянов Андрей Александрович
Подписано в печать 09.09.15. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 1100. Заказ №10-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-6 3-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© МФТИ, ЗФТШ, 2015
Все права защищены. Воспроизведение учебно-методических материалов и материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускается только с письменного разрешения правообладателей.
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович
2
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
Контрольные вопросы
1. Может ли модуль вектора быть отрицательным числом? Ответ. Не может.
Решение. Модуль вектора a ax2 a2y , как и модуль числа, есть
величина неотрицательная (в крайнем случае, равная нулю для нулевого вектора).
2. a (4; ), а = 0. Определить . V Ответ. Такого не существует.
Решение. Для нахождения нужно было бы решить уравнение
42 2 0, имеющее пустое множество решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Определите углы между векторами a и b , изображёнными на ри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сунках 47а-б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
135o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 47а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 47б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ. 135ои 45о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. В обоих случаях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||
надо совместить друг с дру- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
135o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
гом начала векторов (рис. 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
b |
|
||||||||||||||||||
рис. 2). Тогда сразу видно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
135o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135o |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
что в случае рис. 47а |
угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
между векторами a и |
b ра- |
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
вен 135 |
о |
, в случае рис. 47б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
угол между ними равен 45о (= 180о – 135о). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. Чему равна и куда направлена |
равнодей- |
|
|
|
|
|
|
|
F1=4Н |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ствующая трёх сил, приложенных к телу в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
F2=5Н |
|
|
A |
|
|
F3=6Н |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A и действующих вдоль одной прямой (рис. 48). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Модули сил указаны на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 48 |
|
|
|
|
Ответ. Равнодействующая направлена вдоль линии действия сил вправо. Её модуль равен 5 Н.
Решение. Направим ось Ox вдоль векторов сил слева направо. Имеем: F1x 4 Н, F2 x 5Н, F3x 6 Н, F1x F2 x F3x 4 5 6 5 Н.
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович
3
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
5. Определите натяжения в проволоках T1
C |
60o |
A |
45o |
|
|
|
B |
|
|
Q |
|
|
Рис. 25 |
|
и T2 |
в примере 13. |
|||||
C |
|
|
|
60 |
o |
A |
|
|
|
|
|
||
45 |
o |
T |
|
T |
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
T2, гор |
B T1, гор |
|||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
Рис. 26 |
|
|
Пример 13. Электрический фонарь весом Q = 16 Н укреплен, как |
||||||||||||||
показано на рис. 25. Определите отношение натяжений T1 и T2 в прово- |
|||||||||||||||
локах BA и BC, углы наклона которых даны на рисунке. |
|
||||||||||||||
|
Ответ. T2 |
8,3 Н, |
T1 11,7 Н. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. Условие равенства нулю сумм проекций всех сил вдоль |
||||||||||||||
вертикального направления вверх даёт: |
T sin 60 T sin 45 Q 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
или T |
|
3 T |
2 16 Н (1) (рис. 26). В Примере 13 было установле- |
||||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но соотношение между модулями векторов: |
T1 / T2 |
|
2 (2). Тогда со- |
||||||||||||
гласно (1) имеем: T |
2 |
3 |
T |
2 16 |
Н, |
откуда |
T |
3 1 16 Н и |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
T |
16 |
2 8,28 8,3Н, тогда в силу (2) T 11,7 Н. |
|
||||||||||||
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6. Скорость челябинского метеорита |
|
vгор |
|
|
||||||||||
перед ударом о Землю была направлена |
|
|
|
||||||||||||
под углом равным примерно 20о к го- |
vверт |
|
|
||||||||||||
ризонту. |
Во |
сколько |
раз |
|
отличались |
|
Челябинск |
||||||||
друг от друга модули горизонтальной и |
|
|
|
20o |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
вертикальной |
составляющих |
скорости |
|
|
Рис. 3 |
||||||||||
метеорита? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ. Компоненты скорости отличались примерно в 2,7 раза. |
||||||||||||||
|
Решение. Рис. 3. v |
|
/ v |
гор |
= tg20o 0,36 |
1/2,7. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
верт |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
7(*). Найти равнодействующую 2016 равных по модулю сил, приложенных в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми соседними силами равны между собой.
Ответ. Равнодействующая сила равна нулю.
Решение. Мы имеем чётное число сил. При этом для каждой из 2016-ти сил найдётся сила, направленная в противоположную сторону. Сумма любой такой пары равна нулю. Представляя равнодействующую как сумму всех таких пар, получаем ответ.
8. На гладкой наклонной плоскости лежит брусок. Можно ли удержать брусок от соскальзывания, прикладывая к нему силу, перпендику-
лярную поверхности наклонной плоскости? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. Нельзя. |
|
|
|
|
|
|
|
N |
||||||
Решение. На брусок действуют три силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– сила тяжести mg, нормальная сила реак- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F |
|
|
|
|
||||||||
ции со стороны |
наклонной |
плоскости |
N , |
mg sin |
|
|
mg cos |
|||||||
|
||||||||||||||
перпендикулярная |
наклонной |
плоскости, |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сила F , также ей перпендикулярная (рис. 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
||||
|
|
|
Рис. 4 |
|||||||||||
Из этих трёх сил только одна – сила тяжести |
|
|
|
– имеет составляющую вдоль наклонной плоскости (равную mg sin ,
где – угол наклона плоскости, m – масса бруска), поэтому эту единственную составляющую нечем скомпенсировать (силы трения нет; по условию, плоскость гладкая).
|
|
|
Задачи |
|
( 1;3) |
( ;6) коллинеарны |
|
1. Векторы a |
и b |
друг другу. Определить .
Ответ. = –2
Решение. Рис. 5. Если два вектора коллинеарны, то углы наклона, которые они составляют, например, с осью Ox, должны быть одинаковыми. Значит, тангенсы улов наклона должны быть одинаковыми.
Отсюда получаем пропорцию |
ay |
|
by |
, т. е . |
3 |
|
|
6 |
. |
||
a |
x |
b |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем ответ. Направленными в разные стороны («антипараллельными») векторы в нашем
случае быть не могут, т. к. для этого обе проекции
вектора b должны иметь знак противоположный
знаку проекций вектора a .
y
6
b
3
a
-1O x
Рис. 5
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович
5
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение |
|
|
|
||||||||||
2.Три точки заданы координатами A(3;2), B(–1;–2) и C(–1;3). Найти |
|||||||||||||
угол ABC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. 45о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
Решение. Рис. 6. Для закрепления материала, |
|
||||||||||||
C |
3 |
||||||||||||
решим задачу стандартным методом. Построим |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
два вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
BA a |
(3 ( 1);2 ( 2)) |
(4;4) и |
|
|
|
||||||||
|
|
( 1 |
( 1);3 ( 2) (0;5) , |
|
|
3 x |
|||||||
BC c |
|
-1 O |
|||||||||||
и по общему правилу (Пример 8) вычислим ко- |
|
|
|||||||||||
синус искомого угла |
|
|
|
|
|
|
B |
-2 |
|||||
|
|
|
|
|
ax cx a y cy |
|
|
|
|
||||
cos |
a |
c |
|
. или |
|
|
Рис. 6 |
||||||
a |
c |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ax2 a 2y |
cx2 c2y |
|
|
|
|
||||||
|
cos |
4 0 4 5 |
1 |
2 |
, откуда = 45о. |
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
2 5 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3. На рис. 50 изображены четыре силы, |
|
F2=2Н |
|||||||||||
действующие на тело. Силы приложены в |
|
||||||||||||
одной точке и лежат в одной плоскости. |
F3=3Н |
|
F4=5Н |
||||||||||
Их модули и направления указаны на ри- |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
сунке. Определите модуль и направление |
|
|
|
||||||||||
равнодействующей этих сил. |
|
|
|
|
F1=2Н |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. Равнодействующая сила R |
|
Рис. 50 |
|||||||||||
направлена в том же направлении, что и |
|
||||||||||||
сила F4 ; модуль равнодействующей силы равен R = 2 Н. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В сумме R |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 удобно разбить силы на |
|||||||||
группы, в каждой из которых все силы направлены вдоль одной пря- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой. В нашем случае всё просто: R (F1 |
F2 ) |
(F3 |
F4 ) . Первая |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
группа сил дает нуль: |
F1 F2 0 . Ясно поэтому, что равнодействующая |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сила будет направлена вдоль линии действия сил |
F3 и |
F4 в сторону |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
большей силы F4 . Модуль равнодействующей будет равен R = 5 – 3 = 2 Н. |
|||||||||||||
4(*). Найти равнодействующую 2015 равных по модулю сил, при- |
|||||||||||||
ложенных в одной точке и расположенных в одной плоскости, если уг- |
|||||||||||||
лы между всеми соседними силами равны между собой. |
|
||||||||||||
Ответ. Равнодействующая равна нулю. |
|
|
|
||||||||||
Решение. Идея решения такая же, как в «красивом доказательстве» |
|||||||||||||
Примера 12. В отличие от предыдущей задачи или Контрольного во- |
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович
6
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
проса 7, здесь имеется нечётное число сил: при попытке сгруппировать силы в пары для одной какой-то силы пары не нашлось бы. Пусть это
|
|
|
|
|
|
|
2015 |
|
будет сила F1 . Остальные слагаемые в сумме R |
Fi (*) сгруппиру- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
ем по тому же принципу, как в Примере 12: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
R F1 |
(F2 |
F |
2015) (F3 |
F 2014) (F4 |
F 2013) |
... . |
||
Каждая из пар даст суммарный вектор, направленный вдоль вектора |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 . Поэтому и равнодействующая сила должна быть направлена (каза- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лось бы!) вдоль линии действия силы. F1 . Однако силу F1 |
, которой не |
|||||||
хватило пары в сумме (*), мы выбрали произвольно. Если бы мы в ка- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
честве таковой взяли силу F2 , то получили бы, |
что равнодействующая |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
должна быть направлена вдоль силы |
F . Единственный выход из «про- |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
тиворечия»: вектор R есть нулевой вектор. |
|
-Q |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. В прямоугольном жёлобе с абсолютно |
|
|
ND |
|||||
гладкими стенками лежит шар весом Q = 12 Н |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
(см. рис. 7). |
Определите силы, действующие |
|
NE |
|
||||
со стороны жёлоба на шар, в точках D и E. |
|
E |
||||||
|
D |
|||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
60o |
|
Ответ. NE = Q |
|
|
|
30o |
||||
2 =6 Н, ND = Q 2 |
10,4 Н. |
|
Q |
|
||||
Решение. NE Q sin30 , |
ND Q sin 60 . |
|
Рис. 7 |
6(*). Однородная верёвка подвешена за два конца на разных высотах (см. рис. 27 к Примеру 14). Углы, которые составляет верёвка с вертикалью в точках закрепления, равны 30о и 60о. Найти отношение длины части верёвки, расположенной левее самой низшей точки верёвки, к длине части верёвки правее этой точки.
Ответ. l1/l2 3. |
T1cos30o |
|
|
|
|||
Решение. Рис. 8. К левой части |
|
|
|
||||
T1 |
|
|
|
|
|
||
верёвки (которая левее самой низкой |
|
o |
|
|
|
o |
|
|
|
=30 |
|
|
|
=60 |
|
точки) приложены три силы: T1 , m1 g |
o |
|
|
|
|
|
|
(причем, масса левой части верёвки |
T1sin30 |
|
|
T2cos60 |
o |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
m1 |
|
|
|
|
T2 |
||
пропорциональна длине этой ча- |
|
|
|
|
|
||
сти верёвки l1 ) и сила T12 со стороны |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
T2sin60 |
||
m g |
|
T |
T |
m g |
|||
правой части верёвки. К правой части |
1 |
|
21 |
12 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
верёвки приложено также три силы: |
|
Рис. 8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 , |
m2 g (причём, масса правой части верёвки |
m2 |
пропорциональна |
||||
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович |
|
|
|
|
7
2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Решение
длине своей части верёвки l ) и сила T со стороны левой части ве-
2 21
рёвки. Силы T12 и T21 (равные друг другу по модулю в силу 3-го закона
Ньютона) направлены вдоль горизонтали, т. е. имеют равные нулю проекции на вертикальное направление. Поэтому для вертикального направления равенство нулю суммы проекций сил, действующих на
каждую часть верёвки, запишется в виде: m g T cos30 |
T |
|
3 |
(1) и |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
m g T cos60 |
T |
1 |
|
(2). Деля одно уравнение на другое и учитывая |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пропорциональность |
масс длинам, получаем |
l1 |
|
T1 |
|
|
|
Отношение |
||||||||
3. |
||||||||||||||||
l2 |
T2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
натяжений верёвки вблизи разных концов было найдено в Примере 14;
он равно T1 / T2 3 . Окончательно получаем l1 / l2
7. Лестница, одним своим концом упирается в вертикальную стену, а другим – о пол. Возможно ли равновесие лестницы, если нет трения между лестницей и полом? Трение между стеной и лестницей может быть сколь угодно большим.
Ответ. Равновесие не возможно.
Решение. Рис. 9. Если нет силы трения о пол (это была бы горизонтальная сила), то нечем скомпенсировать нормальную силу реакции со сторону
вертикальной стенки Nстенки
8. Две лодки буксируют третью с помощью двух тросов (см. рис. 17 к Примеру 24). В некоторый мо-
мент времени скорость 2-й лодки в 3 раза больше,
чем скорость 1-й, а угол между тросами равен 90о. В каком направлении и с какой скоростью движется в этот момент буксируемая лодка? Тросы нерастяжимы.
Ответ. |
1 |
60о; |
2 |
30о, u 2 |
1 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Рис. 10. Задача аналогична Примеру 24. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
По определению |
тангенса угла |
tg 1 |
v2 /v1 = 3 , |
откуда, находим 1 60о; 2 90 1 30о. Модуль
3 .
Fтр. стенки
Nстенки
Nпола
mg
Рис. 9
2 90o- 1 v2 u
1
v1
1
Рис. 10
скорости буксируемой лодки u есть гипотенуза в прямоугольном треугольнике с углом 2 30о; она вдвое больше катета v1 , лежащего против этого угла; в результате u 2v1 .
2015, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович
8