matem1
.docx
1. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла Первообра́знойданной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. К результату первообразной прибавляется С, где С любое число. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то: Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница. Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов: . Каждая последующая первообразная отличается на С. |
2. Свойства и таблица неопределенных интегралов Свойства неопределенного интеграла В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины. Таблица интегралов
|
3.Способы инт-ия. Непосредственное инт-ие. Инт-ие подстановкой и заменой Большинство интегралов кроме непосредственного интегрирования находятся с помощью подстановки т.е. методом замены переменной. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал т.к. подынтегральное выражение есть произведение подынтегральной ф-ии udx. Если учесть ф-лу вычисления дифференциала dF(x)=F’(x)dx, то можно на ее основе производить поднесение под знак дифференциала (xdx=d(x^2/2)) |
4. Способы инт-ия. Инт-ие по частям Т.к. по правилу дифференцирования произведения имеем (u*v)’= u’*v+u*v’, а дифференциал d(uv)=du*v+udv, то формула интегрирования по частя имеет вид: Эта ф-ла используется когда новый интеграл получается проще исходного. Также используется правило: за множитель u надо выбрать такой из множителей, который при диффер-ии наиболее упрощается по сравнению с другими. Интегрирование по частям применяется когда подынтегральная ф-ия представляет собой произведение двух ф-ий каждая из которых может быть многочленом, тригоном-ой, логориф-ой или показательной ф-ией. |
5. Способы инт-ия. Инт-ие рациональных дробей. Простейшие дроби Простейшие рациональные дроби являются правильными и бывают 4 типов: 1); 2); 3); 4) Любую правильную рациональную дробь можно однозначно представить в виде суммы конкретных простейших дробей Если подынтегральная дробь неправильна, то необходимо при интегрировании в начале путем деления числителя на знаменатель выделить ее целую и дробную части |
6. Способы инт-ия. Инт-ие правильных и неправильных рациональных дробей Рациональные дроби могут быть правильными и неправильными. 1); 2); 3); 4) Правильная – если степень числителя строго меньше знаменателя, в противном случае - неправильная. При интегрировании правильной дроби надо предствить ее в виде суммы конкретных простейших дробей 1-4. Если подынтегральная дробь неправильна, то необходимо при интегрировании в начале путем деления числителя на знаменатель выделить ее целую и дробную части |
7. Способы инт-ия. Инт-ие некоторых иррациональных выражений 1), где m, n, p, q – натуральные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей путем подстановки (x=u^t, dx=tu^(t-1)du. 2)Когда интеграл содержит Данный интеграл сводится к табличным выделением в квадратном трехчлене полного квадрата. |
8. Способы инт-ия. Инт-ие тригонометрический ур-ий Инт-ие тригоном-ких рациональных выражений осуществляется с помощью универсальной тригоном-ой заменой tg(x/2)=t. В случае когда триг-ое рациональное выражение является четной ф-ией т.е. содержит четные степени тогда чтобы избежать высоких степеней используют замену tgx^2=t. В результате такой замены получается рациональная дробь относительно «невысоких» степеней t. Интег-ие произведения натуральных степеней производятся с помощью поднесения под знак дифференциала одного из нечетных степеней sin или cos и с использованием триг-их ф-л 1) 2)Когда обе степени четные тогда применяют формулы понижения степени |
9. Интегральные суммы и их св-ва Основное св-во интегральных сумм m(b-a)≤Sn≤Ŝn≤M(b-a) Интегральной суммой для ф-ии y=f(x) неприрывной на отрезке (a;b) является сумма f(t1)*∆x1+…+f(tn)*∆xn= *∆xi=Sn Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, b] точкам так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения |
10. Опред. интеграл и теорема о его существовании T. Если y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на нем. Факты из Т.: 1)Опред. интеграл зависит только от вида подынтегральной ф-ии и пределов интегрирования. Такое св-во называют св-ом индифферентности(безразлич); 2)Из определения вытекает, что a<b, тогда при замене приделов интегрирования местами имеем =-; 3)Интеграл |
11. Опред. интеграл и его св-ва Определенный интеграл – это интеграл у которого есть пределы интегрирования. 1) Постоянный множитель выносится из под знака интеграла; 2) Определенный интеграл суммы есть сумма определенных интегралов; 3) Если на отрезке[a;b] для любых x, f(x)≤g(x), то ; 4) Если на отрезке[a;b] f(x) принимает наименьшее значение m и M - наибольшее значение, то m(b-a)≤≤M(b-a); 5) Теорема о среднем. Если непрерывная ф-ия на [a;b] интегрируема, то всегда на этом отрезке найдется точка 6) Для любых чисел a, b, с таких что a<c<b выполняется ; |
12. Опред. интеграл и его вычисление. Формула Ньютона-Лейбница Т…Если F(x) является первообразной неприрывной ф-ии f(x), то справедлива ф-ла Ньютона- Лейбница Док-во: Пусть F(x) является первообразной неприрывной на [a,b] ф-ии f(x). Такая первообразная действительно будет существовать по теореме. А т.к. F(x) – первообразная f(x)? то они будут отличаться на константу С. . Данное равенство справедливо для любого x, главное чтобы на [a,x] ф-ия f(t) была непрерывной. Пусть x=a, тогда . , а по факту , тогда с=-F(a) Пусть x=b, тогда
|
13. Опред. интеграл и методы его вычисления Пусть имеется опред. интеграл вида у которого нижний предел зафиксирован, а верхний переменный, а т.к. опред. интеграл зависит от пределов инт-ия и не зависит от переменной t, то этот опред. интеграл будет принимать разные значения в зависимости от значения верхнего предела x. Если ф-ия f(t) непрерывна на любом [a,x], то Ф’(x)=f(x). Если F(x) является первообразной непрерывной ф-ии f(x), то справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница При нахождении опред. интеграла в случае необходимости замены переменной надо изменить и пределы инт-ия. |
14. Системы координат и способы задания в них ф-ий Известно на пл-ти декартовая прямоугольная система коорд. Определяемая ортонормированным базисом и которые определяют ось абсцисс и ординат с началом координат в т. О. В которой всякая точка определяется однозначно двумя координатами (x,y), который являются проекциями на соответ-ие координатные оси. А т.к. всякая фигура представляет собой множество точек поэтому любая линия может быть записана в виде уравнения связывающего между собой x и y. Существуют такие кривые, которые задать одним ур-ем невозможно или очень сложно. Поэтому такие кривые задают параметрически:
|
15. Приложение опред. интегралов. Вычисление площадей Исходя из геометрического смысла опред. интеграла имеем, что если ф-я y=f(x)≥0Vxε[a;b] в декартовой прямоуг. Системе координат площадь кривленной трапеции ограниченной снизу, осью абсцисс с верху, а с лева и с права параллельными прямыми. Если кривая пресекает какую либо ось, то ее находят как площади ее частей S1= ; S2= Если криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу кривыми дуг то: S криволинейного сектора: |
16. Приложение оипред. интегралов. Вычисление длин дуг Пусть в декартовой системе координат непрерывная кривая на [a,b] задана y=f(x), тогда дуга AB находится Пусть непрерывная кривая задана в декартовой системе параметрически, тогда длинна дуги находится: Пусть в полярной системе задана непрерывная ф-ия r=r(φ), тогда дуга АВ находится как: |
17. Комплексные числа. Алгебраическая форма. Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой , Алгебраической формой комплексного числа ZεC называется его запись с помощью двух действительных чисел xεR; yεR в следующем виде: z=x+y*i, т.е. это алгебраическая форма комплексного числа. При этом x называют действительной частью комплексного числа z, а y – мнимой частью комплексного числа z. Поэтому любое действительное число будет иметь в этой форме мнимую часть =0. Т.к. всякое комплексное число определяется x и y, то его можно изобразить как точку с координатами (х;у) на комплексной пл-ти. |
18. Комплексные числа. Тригон-ая и показательная ф-лы Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой , Триг-ая форма комплексного числа: Пусть дано z=x+yi тогда его можно изобразить точкой на комплексной пл-ти, которое будет задаваться не только x и y, но и расстоянием до начала координат, а также углом, который составляет радиус вектор с осью абсцисс. Тогда из полученного прямоугольного треугольника имеем x=rcosφ, y=rsinφ, тогда z=x+yi=rcosφ+rsinφi= r(cosφ+isinφ) – триг-ая форма комплексного числа z, где r=│z│=, φ=arg z. Если комплексное число в алгебраической форме z=x+yi имеет своим модулем r и arg z=φ, то в показательной форме такое число будет иметь следующий вид z=r* |
19. Комплексные числа и основные операции над ними Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой , В алгебраической форме комплексные числа записываются как z=x+yi. Комплексные числа можно складывать и отнимать т.е.: Z1+Z2=(x1+y1i)(x2+y2i)= x1+x2±(y1+y2)*i=x3±y3i Умножать: Z1*Z2=(x1+y1i)*(x2+y2i)= (x1*x2)+(x1*y2i)+(y1i*x2)+ (y1i*y2i)=…=x3+y3i Делить: Возводить в квадрат и куб (3+2i)^2=9+2*3*2i+(2i)^2= 9+12i-4=5+12i |
20. Комплексные числа. Ф-ла Муавра Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой , Если комплексное число в алгебраической форме z=x+yi имеет своим модулем r и arg z=φ, то в показательной форме такое число будет иметь следующий вид z=r* Для нахождения степеней комплексных чисел применяют ф-лу Муавра, которая для положительных, целых чисел n в триг-ой и показательной формах имеют вид:[r(cosφ+isinφ)]^n= (cosnφ+isinφ); |
21. Комплексные числа. Ф-ла корня n-ой степени Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой , Извлечение корней из комплексных чисел в триг-их и показательных формах производят по формуле: |
22. Ф-ии нескольких переменных. Основные понятия Под ф-ией нескольких переменных называется такое соответствие по которому нескольких значениях независимых переменных ставятся соответствия конкретное значение зависимой переменной, то есть значения ф-ии. Задания такой ФНП можно осуществить также как и ф-ии одной переменнной разными способами: -Аналитически (в виде ф-лы)4 -Таблично; -Графически; -В текстовом виде. z=F(x;y)- ф-ла задающая ФНП. Областью определения z=F(x;y) будет множества пар чисел(множество точек) |
23. Ф-ии нескольких переменных. Непрерывность и частные производные Ф-ия z=F(x;y) называется непрерывной в т. (;) из D(z) если придел LimF(x;y)=F(;). Если в любой точке некоторой области ф-ия z=F(y) непрерывна, то вся область называется областью непрерывности ф-ии. Точка z=F(x;y) называется точкой разрыва Для нахождения частной производной ’= надо найти производную рассматривая y как константу, а для нахождения ’= рассматривая x – const. |
24. Ф-ии нескольких переменных. Локальный экстремум ФНП z=F(x;y) имеет экстремум в точке (;) в виде локального max (min) если для любых точек из радиус окрестности r() при сколь угодно малом радиусе r выполняется неравенство F(;)≥F(x;y) (F(;)≤F(x;y)). При этом наибольший из всех локальных max (наименьших min) называется глобальным max (min) ФНП. Теорема: Если ф-ия z=F(x;y) в точке (;)єD(F) имеет локальный экстремум, то эта точка является стационарной точкой ф-ии. Локальный экстремум надо искать только в стационарных точках |
25. Ф-ии нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение заданной области Пусть на области D задана непрерывная ф-ия z=F(x;y). Область D является частью области определения DεD(F) и представляет собой часть координатной пл-ти xoy как множества точек с координатами (x;y) лежащих внутри D, которая ограничена некоторым контуром. Тогда наибольшее и наименьшее значения ф-ии z=F(x;y) следует искать среди точек внутри или на самом контуре L. 1)Наибольшее и наименьшее значения z=F(x;y) внутри контура L следует искать среди стационарных точек; 2)Среди критических точек или среди граничных точек в которых формула заданная L меняет свой вид; 3)После установления координат таких точек находят значения ф-ии z=F(x;y) и сравнивая их находят наибольшее и наименьшее значения
|
26. Ф-ии нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал Линейная (относительно ∆x и ∆y) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz: где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям ∆x и ∆y. Пусть задана функция z=f(x;y). Если аргументу x сообщить приращение ∆x, а аргументу y – приращение ∆y, то функция z=f(x;y). получит приращение ∆z, которое называется полным приращением функции и определяется формулой: ∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x,y). Функция z=f(x;y)., полное приращение ∆z которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно ∆x и ∆y, и величины бесконечно малой высшего порядка относительно): |
27. ДУ-1 основные понятия Диф-ми называются ур-ия, в которых искомыми являются ф-ии одной или нескольких переменных, причем в эти ур-ия входят как сами искомые ф-ии, так и их произв-ые Порядок старшей из произв-ых или старшего из диф-ла искомой ф-ии называется порядком диф-ого ур-ия. Если искомая ф-ия зависит от одного аргумента, то диф-ное ур-ие называют обыкновенным. Если искомая ф-ия зависит от нескольких переменных и ур-ие содержит частные производные, то оно называется ур-ем в частных производных. Диф-ое ур-ие n-ого порядка в общем случае имеет вид:F(x, yn, yn-1, … y’, y)=0 Решением диф-ого ур-ия n-ого порядка называется ф-ия f(x), имеющая на некотором интервале (a,b) производные до порядка n включительно, которая будучи представлена в ур-ие обращает его в тождество F(x,f(x), f’(x), … fn(x))=0 График решения диф-ого ур-ия называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения диф-ого ур-ия называется интегрированием уравнения.
|
28. ДУ-1 с разделенными и разделяющимися переменными ДУ-1 могут иметь следующий вид φ(x)dx+ψ(y)dy=0, то оно называется с разделенными переменными. И в случае непрерывности ф-ии φ(x) и ψ(y) такое равенство можно проинтегрировать с учетом св-ва интегралов. Если ДУ-1 представлена в виде φ1(x)+ψ1(y)dx+ φ2(x)φ2(y)dy=0 то оно называется с разделяющимися переменными т.к. простые алгебраи-ие операции позволяют преобразовать его к ДУ с разделенными переменными. Такое разделение следует провести перед его интегрированием. |
29. ОДУ-1 Уравнение вида y’=f()–ОДУ-1 ОДУ-1 приводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены =u отсюда y=ux y’=(ux)’=u’x+u |
30. ЛДУ y’+p(x)*y=f(x) – называется линейным ДУ первого порядка. Если f(x)≡0, то это ур-ие однородное, в противном случае неоднородное. Для решения уравнения используются подстановка y=u(x)*v(x). Тогда, по правилу дифф-ия произведения y’=(uv)’=u’v+uv’ подставляя в ур-ие получим y’+p(x)*y=f(x) u’v+uv’+p(x)*uv=f(x) Группируем второе и треть слагаемое ф-и и выносим за скобки u’v+u*(v’+p(x)*v)=f(x) Далее скобку приравниваем к 0 v’+p(x)*v=0 Тогда u’v=f(x)
|
31. ДУ в полных дифференциалах Уравнение З(x;y)*dx+Q(x;y)*dy=0 – ур-ие в полных дифференциалах если его целая часть представляет собой полный диф-ал некоторой ф-ии u(x;y). Тогда это ур-ие можно переписать в виде: du(x;y)=0, а его общий интеграл u(x;y)=c. Для того чтобы выражение p(x;y)dx+Q(x;y)dy являлось полным диф-лом надо чтобы во всех точках выполнялось условие |
32. ДУ-1 Бернулли y’+p(x)y=f(x)- уравнение Бернулли Разделим обе части на Z(x)= Z’(x)=1-α* |
33. ДУ высшего порядка, позволяющие его понизить Такие ДУ позволяют с помощью определенных методов свести их решение к ДУ-1 Например: 1)=f(x) – такие ДУ интегрируются столько раз, каков порядок этого ДУ; 2)F(y”,y’,x)=0 – тогда заменой y’=u(x), а значит y”=u’(x). Данное ДУ приводится к ДУ-1, которая имеет вид: Ф(u’,u,x)=0 3)F(y”;y’;y)=0 – такое ДУ понижает порядок до первого заменой y’=u; y”=u*y’=u’*u |
34. ЛОДУ ДУ вида ay”+by’+cy=0, где а≠0, а,в,с=const – ЛОДУ-11 Решение ЛОДУ-11 основано на нахождении корней его характеристического ур-ия. Хар-им ур-ем ЛОДУ-11 называется квадратное уравнение которое получается из ЛОДУ-11 заменой производных 1 и 11 порядка на первую и вторую степень λ. Для нахождения общего решения ЛОДУ-11 находят фундаментальную систему его решений т.е. общее решение ЛОДУ имеет вид y=c1y1+c2y2. Случаи решений: 1)Если Д>0 – два различных действительных корня, тогда 2)Если Д=0, то ЛОДУ имеет два одинаковых действительных корня 3)Если Д<0, то два комплексных корня. λ1=a=bi λ2=a-bi
|
35. ЛНОДУ с постоянными коэф. И спец. Правой частью Уравнение вила аy”+by’+cy=f(x) называется ЛНОДУ-11 с постоянными коэффициентами, а если ф-ия f(x) имеет вид 1) f(x)=(x)* – со спец. правой частью. Общим решением ЛНОДУ-11 является такая ф-ия у которая представима в виде суммы двух ф-ий y=+ỹ ỹ=Pn(x)**, где к – число совпадений. Если правая часть ЛНОДУ-11 представима в виде ф-ии 2) f(x)=((x)cosβx+(x)sinβx) То частное решение ỹ также имеет определенный вид который определяется по виду 2. После того как по виду f(x) определен общий вид ỹ, его вместе со своими 1-й и 2-й производными подставляют в исходное ЛНОДУ и из полученного равенства получают неизвестные коэффициенты. |
36. Двойной интеграл и его вычисление Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла анологично вычислению определенного интеграла, а значит двойной интеграл обладает теми же св-ами, что и определенный. Вычисление ∫∫ сводится к повторному интегрированию для чего необходимо: 1)Определить по каким переменным будет находиться внутренний и внешний интеграл. 2)Для чего определяют правильность области инт-ия D вдоль какой то оси. Тогда если D правильная вдоль оси OX, То внутренний интеграл по Х, а если OY, то y. 3) затем расставить пределы инт-ия по правилу: внешнего по линиям, внутреннего по точкам. |
37. Приложение двойных интегралов С помощью ∫∫ можно вычислить площадь плоской фигуры по ф-ле S=∫∫dxdy, где S – площадь фигуры Д. 1)V=∫∫f(x,y)ds 1’) V=∫∫f(x,y)dxdy 2) =∫∫ds 2’) =∫∫dxdy |
38. Тройной интеграл и его вычисление Вычисление ∫∫∫ для прямоугольной области: Пусть область V представляет собой параллелепипед{a≤x≤b; c≤y≤d; e≤z≤f} ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=
Вычисление ∫∫∫ в криволинейной области ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz= |
39. Приложение тройного интеграла Тройной интеграл обладает теми же св-вами его вычисления , что и двойной, и определенный. Он имеет вид: ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz 1)∫∫∫dxdydz=v, где v – объем области V. 2)∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dxdydz= α∫∫∫f(x,y,z)dxdydz+ β∫∫∫g(x,y,z)dxdydz Теорема о среднем: Пусть f(x,y,z)непрерывна в ограниченной области V тогда существует точка pεv такая, что ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=f(P)*v |
|