Методические указания к контрольной работе

1.2.2. МЕТОД КРАМЕРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теорема Крамера:

Если линейная система

Имеет отличный от нуля определитель, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Крамера:

A0).

2.Если определитель системы (1) равен нулю и хотя бы один из определителей xi отличен от нуля, то система не имеет

21

1.2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Запишем систему (1) в матричном виде:

22

23

1.2.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

следующем:

1. Записываем расширенную матрицу системы (1).

2. Приводим матрицу А к ступенчатому виду, т.е.

3. Эта процедура называется методом последовательного исключения переменных или прямым ходом метода Гаусса.

24

4. После завершения прямого хода вычисляем неизвестную переменную, стоящую в последнем уравнении xn . Далее, с её

Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Пример

Решить методом Гаусса систему уравнений:

x 2 y z 0

2x 2 y z 3

4x y z 5

Решение

Расширенная матрица системы имеет вид:

Приведем её к ступенчатому виду, используя алгоритм из п.

1.1.3.:

Таким образом, получили систему уравнений:

x 2 y z 06 y 3z 3 ,3z 9

25

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения z 3, из второго 6 y 3z 3 6 y 3 3 3 у 2 , из

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

1.3.1. МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим типичные задачи, использующие матрицы и операции над ними.

Пример 1

На предприятии выпускается 4 вида изделий при использовании 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

где строки – вид изделия, а столбцы – вид сырья.

Необходимо найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение

Составим матрицу-строку, определяющую план выпуска продукции: В 60 50 35 40 . Тогда решение задачи находится как произведение матрицы В на матрицу А:

26

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение

Для наглядности можно записать данные задачи в таблицу:

Поэтому, матрица затрат сырья S для планового выпуска продукции может быть записана как произведение матрицы С – плана выпуска продукции на матрицу А норм расхода сырья, т.е.

27

Пример 3

Предприятие производит продукцию двух видов и использует сырьё двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции

указано количество сырья, расходуемого на производство единицы продукции вида 1 и 2. Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В 60 80 . Каковы общие затраты предприятия на производство 120 единиц продукции первого вида и 160 единиц второго вида.

Решение

Найдем матрицу затрат сырья S как произведение матрицы В – стоимости единицы сырья каждого типа на матрицу А норм расхода сырья, т.е.

Таким образом, мы нашли стоимость сырья на производство 1- го и 2-го вида продукции. Зная план производства продукции (120 единиц продукции первого вида и 160 единиц второго) и стоимость сырья, можем найти общие затраты на сырье как произведение матрицы затрат S и матрицы С – плана выпуска продукции:

28

1.3.2. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА)

Идеи модели межотраслевого баланса впервые возникли в 1920-х гг. в работах экономистов молодой Советской России, которые строили модель плановой экономики, удовлетворяющей спрос конечных потребителей. Наибольшее развитие эти идеи получили в трудах В. Леонтьева, эмигрировавшего к тому времени

вСША.

В1973 г. за эти исследования В. Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Пусть производственный сектор национальной экономики разделен на n чистых отраслей (например, «машиностроение», «энергетика», «транспорт» и т. д.), каждая отрасль производит один вид продукции, различные отрасли выпускают разную продукцию. В процессе производства каждая отрасль может расходовать как свою продукцию, так и продукцию других отраслей, поэтому на непроизводственное потребление, вообще говоря, идет не вся выпущенная продукция (часть ее тратится в процессе производства).

Цель балансового анализа — ответить на вопрос: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?

Введем обозначения:

aij — количество продукции i-й отрасли, расходуемое в

процессе производства единицы продукции j-й отрасли, xi — план (объем) выпуска i-й отрасли,

реализации в непроизводственной сфере.

29

В этих предположениях объем продукции i-й отрасли, потребляемый всеми n отраслями в процессе производства, равен

Значит, чтобы конечный спрос был обеспечен, необходимо выполнение балансовых соотношений:

Эти соотношения можно переписать в виде системы:

которая в матричной форме имеет вид:

X AX Y

или

E A X Y ,

30