Методические указания к контрольной работе

Определителем квадратной матрицы A aij n-го порядка

называется алгебраическая сумма всевозможных произведений

Однако для вычисления определителей более высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения введем некоторые новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица A aij n-го порядка.

определитель, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, содержащих этот элемент.

сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

11

12

Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 5

13

1.1.5СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.При перестановке двух столбцов или двух строк определителя местами его знак меняется на противоположный.

2.Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

3.Умножение всех элементов одного столбца или одной

5.Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6.Если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого

14

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходный определитель при помощи свойств 1–8, чтобы преобразованный определитель имел строку (или столбец), содержащий как можно больше нулей, а потом вычислить его разложением по этой строке (столбцу).

Решение

Преобразуем определитель так, чтобы, в третьей строке было как можно больше нулей. Для этого умножим, например третий столбец на 4 и прибавим его к первому столбцу. Получим:

Далее, умножим всё тот же третий столбец на 2 и прибавим его ко второму столбцу. Тогда

15

Теперь разложим полученный определитель по третьей строке

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или по теореме Лапласа, однако можно продолжить упрощение. Умножим третий столбец на 13 и прибавим к первому столбцу. Получим

Далее, умножим третий столбец на 4 и прибавим ко второму столбцу:

16

Раскладывая полученный определитель по элементам второй строки, получаем:

1.1.6. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

называется невырожденной, или неособенной; в противном случае

(при А 0 ) – вырожденной, или особенной.

только тогда, когда исходная матрица невырожденная, т.е. её определитель отличен от нуля.

17

Пример 1

Найти матрицу обратную к данной:

невырожденная и обратная матрица существует.

2. Ищем алгебраические дополнения всех элементов матрицы.

3. Составляем матрицу алгебраических дополнений:

4. По формуле нахождения обратной матрицы имеем:

18

19

1.2.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.2.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Системой линейных алгебраических уравнений называется система общего вида:

подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система, не имеющая ни одного решения, называется

несовместной.

Если же у системы есть решения, то она называется совместной, и притом определенной, если решение единственно.

Если решений более одного, то система называется

неопределенной.

20