5. Дробно рациональные уравнения
.docxДробно рациональные уравнения. Решения
Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением. Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста. Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю
Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.
В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.
Примеры дробно рациональных уравнений
Пример 1. Найти корни уравнения
Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю
Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета
Второе раскладываем на множители
Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.
Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.
Ответ: х=-7.
------------------------------------
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Получили три нуля числителя . Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета
Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.
------------------------------------
Пример 3. Найти корни уравнения
Решение: Переносим слагаемое за знак равенства и сводим к общему знаменателю
Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению
Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Корни первого вычисляем через дискриминант
Нули второго находим без проблем
Исключаем из решений числителя значение и получим.
Ответ: х=3.
------------------------------------
Задачи на движение
Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.
Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время
Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась
Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.
Корни числителя найдем после упрощений
С физических соображений первое решение отвергаем.
Ответ: скорость ветра 15 км/час.
------------------------------------
Задачи о совместной работе
Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?
Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней. Это означает что за один день первый выполнит , а второй - часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы. Составляем и решаем уравнение
Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба х+6=6+6=12 (дней)
Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.
------------------------------------
Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.
Следует приобрести навык в решении дробно-рациональных уравнений путём выполнения ряда тренировочных упражнений. Тренировочные упражнения предлагаются трёх уровней сложности: А – обязательный минимум знаний по этой теме, В – упражнения среднего уровня сложности, С – упражнения повышенной степени сложности.
№ |
Уравнения |
Ответы |
Уровень А |
||
1 |
|
5 |
2 |
-2; 50 |
|
3 |
-9; 1 |
|
4 |
-0,5; 1 |
|
5 |
0,5 |
|
6 |
-1 |
|
7 |
-4,7; -1 |
|
8 |
-4; 7 |
|
9 |
-; 6 |
|
10 |
2 |
№ |
Уравнения |
Ответы |
Уровень В |
||
1 |
7 |
|
2 |
-0,25 |
|
3 |
Нет корней |
|
4 |
0; 1 |
|
5 |
-1; 5 |
|
6 |
-1 |
|
7 |
(x+4)(x2-1) =4x2 + 24x - |
5 |
8 |
- |
|
9 |
4 |
|
10 |
1 |
№ |
Уравнения |
Ответы |
Уровень С |
||
1 |
-2 |
|
2 |
1; 4; |
|
3 |
x2+x+1= |
-2; 1 |
4 |
1; 8 |
|
5 |
x2-5x+ |
1; 2; 3; 4 |
6 |
2 |
|
7 |
||
8 |
-3; 1 |
|
9 |
0,2; 1 |
|
10 |
Нет корней
|