Задача 3
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен в таблице:
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Y(t) |
12 |
15 |
16 |
19 |
17 |
20 |
24 |
25 |
28 |
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y (t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Y (t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р =70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Решение:
Введем исходные данные в ячейки A1:B10.
Наличие аномальных наблюдений проверяем методом Ирвина
λt=|Yt-Yt-1|/σy, где t=2,3, ,n
σy высчитывается по формуле =СТАНДОТКЛОН(B2:B10)
λt для t=2,…,9 получаем по формуле в ячейке D3=ABS(B3-B2)/C$2
Аномальных наблюдений не выявлено.
Построим линейную модель Y (t) = a0 + a1t. Проведем регрессивный анализ. В надстройке «средства для анализа данных» выбираем «регрессия». В поле входной интервал Y вводится адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значение независимой переменной.
Результаты регрессивного анализа выводятся на новом листе
В ячейках B17:B18 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0 и а1.
Уравнение регрессии имеет вид Y (t) =10,31+1,85t.
Построим расчетную таблицу 7
R/S-критерий (критические уровни 2,7-3,7)
R/S=(emax-emin)/se, Se= (∑et2/n-2)0,5
R/S=(1,29-(-2,56))/1,36=2,84 – расчетное значение попадает между табулированными границами, значит, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.
Средняя относительная ошибка аппромиксимации:
Eотн=∑|et/Yt|/n=0,45/9*100%=5 – ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.
Задача 4
Управляющему банка были предоставлены 4 проекта, претендующие на получение кредита в банке. Доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс.дол.).
Проект |
Период 1 |
Период 2 |
Период 3 |
Период 4 |
Прибыль |
А |
8 |
8 |
10 |
10 |
21 |
В |
7 |
9 |
9 |
11 |
18 |
С |
5 |
7 |
9 |
11 |
16 |
D |
9 |
8 |
7 |
6 |
17.5 |
Ресурс банка |
22 |
25 |
38 |
30 |
|
При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов. Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо в течении каждого периода, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль?
Решение. Построим ЭММ задачи, для этого введем необходимые обозначения:
Пусть Х1,Х2,Х3,Х4-это объем прибыли по каждому проекту.
Х=( Х1,Х2,Х3,Х4) с учетом этих обозначений ЭММ задачи имеет вид
max f ( Х1,Х2,Х3,Х4)= 21 Х1+18 Х2+16 Х3+17.5 Х4
При ограничениях:
8 Х1+7 Х2+5 Х3+9 Х4<=22
8 Х1+9 Х2+7 Х3+8 Х4<=25
10 Х1+9 Х2+9 Х3+7 Х4<=38
10 Х1+11 Х2+11 Х3+6 Х4<=30
Х1,Х2,Х3,Х4>=0
Ограничения по объемам запасов соответствующих ресурсов. В этой модели целевая функция это математическая запись критерия оптимальности «максимум прибыли от финансирования проекта»
Реализация модели этой задачи может быть осуществлено средствами Excel с использованием программы оптимизации («поиск решения»)
Вводим исходные данные, затем создаем форму для ввода условной задачи, задаем ячейки целевой функции и коэффициентов целевой функции, ограничений задачи.
Заполнив ячейки формулами приступаем к поиску решений
Открываем надстройку анализ данных
Введя все ограничения получаем результат
Если цель состоит в максимизации прибыли следует финансировать первый и третий проекты.