22. Статистическая механика. Статистические распределения Максвелла, Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака

Статистическая механика.

Статистическая механика (или статистическая физика) – раздел теоретической физики, в котором изучаются свойства и поведение макроскопических физических тел, состоящих из очень большого числа атомов, молекул, заряженных частиц (ионов, электронов) или квантов излучения (фотонов). К таким телам (или системам) относятся газы, жидкие и твердые тела, ионизованный газ (плазма), световое излучение и даже молекулы, состоящие из достаточно большого числа атомов (или ядра атомов тяжелых химических элементов, образованные из большого числа нуклонов).

Исследование свойств и поведения физических тел, состоящих из колоссального числа частиц, позволили выявить их важную принципиальную особенность. Она заключается в том, что их поведение определяется закономерностями особого типа, получившими название статистических закономерностей. Используемые при этом математические приемы основаны на методах теории вероятности или математической статистики. Статистические методы дают возможность вычислять средние значения величин, характеризующих свойства макроскопических тел

(такие, например, как плотность, давление, температура и т.п.). Проявление статистических закономерностей заключается в том, что поведение этих средних величин никак не зависит от конкретных начальных условий,

характеризующих движение отдельных частиц, входящих в состав данного тела (т.е. от точных значений начальных координат и скоростей частиц).

Другими словами, макроскопическое состояние системы как бы «забывает» о прошлом, тогда как при чисто механическом описании движения микроскопических частиц будущее системы однозначно определяется прошлым.

Основная задача статистической механики состоит в том чтобы, зная

законы, управляющие движением отдельных микроскопических частиц,

установить закономерности поведения макроскопических масс вещества,

которые и называются статистическими. Это позволяет во многих случаях произвести теоретическое вычисление ряда параметров, описывающих поведение макроскопических тел, и уже затем сравнивать их с результатами эксперимента.

Простейшей статистической системой, частицы которой взаимодействуют друг с другом только в процессе столкновений, а

остальное время проводят в свободном движении, является идеальный газ.

Движение каждой газовой молекулы строго определено законами механики, поэтому в результате решения уравнений движения всех молекул, входящих в состав газа, можно было бы, казалось, найти траекторию каждой из них. Однако на практике подобного рода расчеты сталкиваются с непреодолимыми трудностями даже при использовании современных быстродействующих электронно-вычислительных машин,

поскольку число частиц (а значит и число описывающих их движение уравнений с заданием начальных условий для каждой частицы) оказывается огромным. Главное же заключается в том, что в проведении таких расчетов нет необходимости. Из опыта известно, что свойства газа не зависят от начальных условий. Так, например, на величину давления и температуры газа в замкнутом сосуде никак не влияет характер заполнения сосуда,

независимо от того, втекал ли газ через одно отверстие и постепенно, либо через два отверстия и быстро. По истечении некоторого промежутка времени газ в сосуде приходит в определенное состояние, которое больше не изменяется со временем. Такое состояние называется состоянием полного термодинамического равновесия.

Есть ряд разделов физики, в которых также изучаются свойства и поведение макроскопических тел. К ним относятся, например,

термодинамика, гидродинамика, электродинамика сплошных сред. При

решении конкретных задач методами этих дисциплин в макроскопические уравнения, описывающие поведение среды, входят неизвестные параметры, которые могут определяться экспериментально, поэтому эти методы называются феноменологическими. В отличие от такого подхода, в

статистической механике существенно используются данные о микроскопическом строении тел.

Исторически развитие и становление статистической механики началось с создания кинетической теории газов, изложенной трудах выдающихся ученых 19 в. Р.Клаузиуса, Дж.Максвелла и Л.Больцмана. Уже первые работы Клаузиуса, в которых было введено понятие о средней длине свободного пробега в газах, содержали идею о необходимости использования статистических средних величин. Принципиально статистический подход при описании свойств газов был использован Максвеллом, когда в работе 1859 года он установил закон распределения скоростей молекул в однородном и равновесном газе (известный как максвелловское распределение по скоростям. Из анализа, проведенного Максвеллом, следовало, что «частицы распределяются по скоростям по такому же закону, по которому распределяются ошибки наблюдений в теории метода наименьших квадратов, т.е. в соответствии со статистикой Гаусса».

Больцман в своих работах обобщил распределение Максвелла на случай, когда на частицы газа действуют внешние силы (распределение Максвелла – Больцмана) и доказал теорему о равнораспределении средней энергии по степеням свободы молекул. Ему же принадлежит вывод знаменитого кинетического уравнения, описывающего эволюцию функции распределения молекул газа по скоростям в пространстве и времени, с

помощью которого оказалось возможным рассмотрение явлений переноса

(вязкости, теплопроводности, диффузии) в неоднородном газе. На основе этого уравнения Больцманом была доказана так называемая H-теорема,

которая в современном понимании соответствует утверждению, что одна из важнейших термодинамических функций системы, энтропия, может в замкнутой системе лишь возрастать либо быть максимальной (последнее соответствует состоянию термодинамического равновесия). Тем самым на примере идеального газа было дано статистическое обоснование второму началу термодинамики.

В конце 19 в. благодаря работам Дж.Гиббса статистическая механика была превращена в логически стройную систему. Гиббс дал общий метод, применимый ко всем задачам, которые могли быть поставлены перед этой наукой. В отличие от Максвелла и Больцмана,

взявших за исходный пункт пространство скоростей частиц, Гиббс построил статистическую механику исходя из концепции ансамблей. В

подходе Гиббса произвольная система, состоящая из огромного числа частиц и находящаяся в состоянии термодинамического равновесия,

разбивается на большое число подсистем, которые в среднем слабо взаимодействуют между собой (простейшим случаем оказывается идеальный газ, когда в качестве такой подсистемы выступает отдельная молекула). В результате сложного и беспорядочного взаимодействия выделенной подсистемы с ее окружением (термостатом) состояния подсистемы будут непрерывно меняться, и в течение достаточно большого промежутка времени она равновероятным образом побывает во всех возможных состояниях. Это утверждение является обобщением принципа так называемого молекулярного хаоса, который используется в кинетической теории газов. Там принимается, что при данной энергии молекул все ее пространственные положения и ее движение в любом направлении (т.е. все ее состояния) являются равноправными. В

статистической механике подобное утверждение носит название эргодической гипотезы. Следующим важным шагом в теории Гиббса явилось то, что вместо статистического усреднения поведения подсистемы

по большому промежутку времени (с учетом ее нахождения в разных состояниях) он ввел усреднение по ансамблю, при этом ансамбль Гиббса образован бесконечно большим числом тождественно устроенных подсистем, находящихся в разных микроскопических состояниях,

отвечающих данному макроскопическому состоянию системы.

Это был совершенно новый подход. Опубликование в 1902 книги Гиббса «Основные принципы статистической механики» ознаменовало рождение нового раздела физики. Эта книга имела такое же значение для статистической механики (или статистической физики) как трактат Максвелла «Об электричестве и магнетизме» – для электродинамики.

Следует отметить, что работы Максвелла, Больцмана и Гиббса были написаны до создания квантовой механики, поэтому для описания движения отдельных частиц ими использовались уравнения движения механики Ньютона. После создания квантовой механики возможности статистической теории значительно расширились, так как стали возможными статистические расчеты с учетом квантового характера движения как для самих атомов и молекул, так и движения, связанного с внутренними степенями свободы молекул, например с их вращениями и колебаниями. При этом, однако, принципиальные основы статистической теории остались неизменными.

Современная статистическая механика имеет многочисленные применения в различных областях физики. Первоначальное ее развитие было направлено, главным образом, на исследование равновесных состояний вещества. Это позволило дать полное статистическое обоснование всем известным законам термодинамики, предложить методы расчета теплоемкостей не только одноатомных, но и многоатомных газов,

способы вычисления вириальных поправок к уравнениям состояния плотных (неидеальных) газов. Большие успехи достигнуты в статистической теории ионизованного газа (плазмы), жидкости и твердого

тела, в изучении поведения веществ вблизи точек фазовых переходов,

электрических и магнитных свойств вещества и т.д.

В последние годы все большее значение приобретает статистическая механика неравновесных процессов, сформировавшаяся в новый раздел физики, называемый физической кинетикой. В ней изучаются либо процессы релаксации (перехода) различных систем к состоянию равновесия, либо явления, возникающие в системах, неравновесное состояние которых поддерживается заданными внешними условиями

(например, неоднородность температуры или концентрации веществ в смеси, внешнее электрическое поле и т.д.). В последнем случае в среде возникают потоки тепла или перенос массы, перенос заряда (электрический ток). Вычисление коэффициентов переноса или кинетических коэффициентов (теплопроводность, диффузия, электропроводность),

определяющих эти потоки, также составляет одну их важных задач статистической механики неравновесных процессов.

Распределение Максвелла.

Распределение Максвелла — распределение вероятности,

встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов,

включая давление и диффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений.

Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому

континууму энергии.

Распределение Максвелла может и должно быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе,

состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в

которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.

Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы, где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая де Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-

за квантовых эффектов.

Условия применимости распределения Максвелла:

1.Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа

частиц.

2.Изотропная система.

3.Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).

Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:

,

где N" является числом молекул имеющих энергию E" при температуре системы T, N является общим числом молекул в системе и

— постоянная Больцмана. Поскольку скорость связана с энергией,

уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1)

известен как каноническая статистическая сумма.

Распределение по вектору импульса.

В случае идеального газа, состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом

,

где — квадрат вектора импульса .

Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:

,

где — статсумма, соответствующая знаменателю в уравнении (1), — молекулярная масса газа, — термодинамическая температура, и

— постоянная Больцмана. Это распределение пропорционально функции плотности вероятности нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:

Постоянная нормировки C, определяется из условия, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще

импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям и должен быть равен единице. Можно показать,

что:

.

Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1

необходимо, чтобы

.

Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что

, мы получим

.

Распределение по вектору скорости.

Учитывая, что плотность распределения по скоростям пропорциональна плотности распределения по импульсам:

и используя мы получим:

,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе около скорости равна

Распределение по энергии.

Наконец, используя соотношения и , мы

получаем распределение по кинетической энергии: