- •1. INTRODUCTION
- •1.1 BASIC TERMINOLOGY
- •1.2 EXAMPLE SYSTEM
- •1.3 SUMMARY
- •1.4 PRACTICE PROBLEMS
- •2. TRANSLATION
- •2.1 INTRODUCTION
- •2.2 MODELING
- •2.2.1 Free Body Diagrams
- •2.2.2 Mass and Inertia
- •2.2.3 Gravity and Other Fields
- •2.2.4 Springs
- •2.2.5 Damping and Drag
- •2.2.6 Cables And Pulleys
- •2.2.7 Friction
- •2.2.8 Contact Points And Joints
- •2.3 SYSTEM EXAMPLES
- •2.4 OTHER TOPICS
- •2.5 SUMMARY
- •2.6 PRACTICE PROBLEMS
- •2.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •2.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •3. ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
- •3.1 INTRODUCTION
- •3.2 EXPLICIT SOLUTIONS
- •3.3 RESPONSES
- •3.3.1 First-order
- •3.3.2 Second-order
- •3.3.3 Other Responses
- •3.4 RESPONSE ANALYSIS
- •3.5 NON-LINEAR SYSTEMS
- •3.5.1 Non-Linear Differential Equations
- •3.5.2 Non-Linear Equation Terms
- •3.5.3 Changing Systems
- •3.6 CASE STUDY
- •3.7 SUMMARY
- •3.8 PRACTICE PROBLEMS
- •3.9 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •3.10 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •4. NUMERICAL ANALYSIS
- •4.1 INTRODUCTION
- •4.2 THE GENERAL METHOD
- •4.2.1 State Variable Form
- •4.3 NUMERICAL INTEGRATION
- •4.3.1 Numerical Integration With Tools
- •4.3.2 Numerical Integration
- •4.3.3 Taylor Series
- •4.3.4 Runge-Kutta Integration
- •4.4 SYSTEM RESPONSE
- •4.4.1 Steady-State Response
- •4.5 DIFFERENTIATION AND INTEGRATION OF EXPERIMENTAL DATA
- •4.6 ADVANCED TOPICS
- •4.6.1 Switching Functions
- •4.6.2 Interpolating Tabular Data
- •4.6.3 Modeling Functions with Splines
- •4.6.4 Non-Linear Elements
- •4.7 CASE STUDY
- •4.8 SUMMARY
- •4.9 PRACTICE PROBLEMS
- •4.10 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •4.11 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •5. ROTATION
- •5.1 INTRODUCTION
- •5.2 MODELING
- •5.2.1 Inertia
- •5.2.2 Springs
- •5.2.3 Damping
- •5.2.4 Levers
- •5.2.5 Gears and Belts
- •5.2.6 Friction
- •5.2.7 Permanent Magnet Electric Motors
- •5.3 OTHER TOPICS
- •5.4 DESIGN CASE
- •5.5 SUMMARY
- •5.6 PRACTICE PROBLEMS
- •5.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •5.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •6. INPUT-OUTPUT EQUATIONS
- •6.1 INTRODUCTION
- •6.2 THE DIFFERENTIAL OPERATOR
- •6.3 INPUT-OUTPUT EQUATIONS
- •6.3.1 Converting Input-Output Equations to State Equations
- •6.3.2 Integrating Input-Output Equations
- •6.4 DESIGN CASE
- •6.5 SUMMARY
- •6.6 PRACTICE PROBLEMS
- •6.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •6.8 ASSGINMENT PROBLEMS
- •6.9 REFERENCES
- •7. ELECTRICAL SYSTEMS
- •7.1 INTRODUCTION
- •7.2 MODELING
- •7.2.1 Resistors
- •7.2.2 Voltage and Current Sources
- •7.2.3 Capacitors
- •7.2.4 Inductors
- •7.2.5 Op-Amps
- •7.3 IMPEDANCE
- •7.4 EXAMPLE SYSTEMS
- •7.5 ELECTROMECHANICAL SYSTEMS - MOTORS
- •7.5.1 Permanent Magnet DC Motors
- •7.5.2 Induction Motors
- •7.5.3 Brushless Servo Motors
- •7.6 FILTERS
- •7.7 OTHER TOPICS
- •7.8 SUMMARY
- •7.9 PRACTICE PROBLEMS
- •7.10 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •7.11 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •8. FEEDBACK CONTROL SYSTEMS
- •8.1 INTRODUCTION
- •8.2 TRANSFER FUNCTIONS
- •8.3 CONTROL SYSTEMS
- •8.3.1 PID Control Systems
- •8.3.2 Manipulating Block Diagrams
- •8.3.3 A Motor Control System Example
- •8.3.4 System Error
- •8.3.5 Controller Transfer Functions
- •8.3.6 Feedforward Controllers
- •8.3.7 State Equation Based Systems
- •8.3.8 Cascade Controllers
- •8.4 SUMMARY
- •8.5 PRACTICE PROBLEMS
- •8.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •8.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •9. PHASOR ANALYSIS
- •9.1 INTRODUCTION
- •9.2 PHASORS FOR STEADY-STATE ANALYSIS
- •9.3 VIBRATIONS
- •9.4 SUMMARY
- •9.5 PRACTICE PROBLEMS
- •9.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •9.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •10. BODE PLOTS
- •10.1 INTRODUCTION
- •10.2 BODE PLOTS
- •10.3 SIGNAL SPECTRUMS
- •10.4 SUMMARY
- •10.5 PRACTICE PROBLEMS
- •10.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •10.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •10.8 LOG SCALE GRAPH PAPER
- •11. ROOT LOCUS ANALYSIS
- •11.1 INTRODUCTION
- •11.2 ROOT-LOCUS ANALYSIS
- •11.3 SUMMARY
- •11.4 PRACTICE PROBLEMS
- •11.5 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •11.6 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •12. NONLINEAR SYSTEMS
- •12.1 INTRODUCTION
- •12.2 SOURCES OF NONLINEARITY
- •12.3.1 Time Variant
- •12.3.2 Switching
- •12.3.3 Deadband
- •12.3.4 Saturation and Clipping
- •12.3.5 Hysteresis and Slip
- •12.3.6 Delays and Lags
- •12.4 SUMMARY
- •12.5 PRACTICE PROBLEMS
- •12.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •12.7 ASIGNMENT PROBLEMS
- •13. ANALOG INPUTS AND OUTPUTS
- •13.1 INTRODUCTION
- •13.2 ANALOG INPUTS
- •13.3 ANALOG OUTPUTS
- •13.4 NOISE REDUCTION
- •13.4.1 Shielding
- •13.4.2 Grounding
- •13.5 CASE STUDY
- •13.6 SUMMARY
- •13.7 PRACTICE PROBLEMS
- •13.8 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •13.9 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •14. CONTINUOUS SENSORS
- •14.1 INTRODUCTION
- •14.2 INDUSTRIAL SENSORS
- •14.2.1 Angular Displacement
- •14.2.1.1 - Potentiometers
- •14.2.2 Encoders
- •14.2.2.1 - Tachometers
- •14.2.3 Linear Position
- •14.2.3.1 - Potentiometers
- •14.2.3.2 - Linear Variable Differential Transformers (LVDT)
- •14.2.3.3 - Moire Fringes
- •14.2.3.4 - Accelerometers
- •14.2.4 Forces and Moments
- •14.2.4.1 - Strain Gages
- •14.2.4.2 - Piezoelectric
- •14.2.5 Liquids and Gases
- •14.2.5.1 - Pressure
- •14.2.5.2 - Venturi Valves
- •14.2.5.3 - Coriolis Flow Meter
- •14.2.5.4 - Magnetic Flow Meter
- •14.2.5.5 - Ultrasonic Flow Meter
- •14.2.5.6 - Vortex Flow Meter
- •14.2.5.7 - Positive Displacement Meters
- •14.2.5.8 - Pitot Tubes
- •14.2.6 Temperature
- •14.2.6.1 - Resistive Temperature Detectors (RTDs)
- •14.2.6.2 - Thermocouples
- •14.2.6.3 - Thermistors
- •14.2.6.4 - Other Sensors
- •14.2.7 Light
- •14.2.7.1 - Light Dependant Resistors (LDR)
- •14.2.8 Chemical
- •14.2.8.2 - Conductivity
- •14.2.9 Others
- •14.3 INPUT ISSUES
- •14.4 SENSOR GLOSSARY
- •14.5 SUMMARY
- •14.6 REFERENCES
- •14.7 PRACTICE PROBLEMS
- •14.8 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •14.9 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •15. CONTINUOUS ACTUATORS
- •15.1 INTRODUCTION
- •15.2 ELECTRIC MOTORS
- •15.2.1 Basic Brushed DC Motors
- •15.2.2 AC Motors
- •15.2.3 Brushless DC Motors
- •15.2.4 Stepper Motors
- •15.2.5 Wound Field Motors
- •15.3 HYDRAULICS
- •15.4 OTHER SYSTEMS
- •15.5 SUMMARY
- •15.6 PRACTICE PROBLEMS
- •15.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •15.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •16. MOTION CONTROL
- •16.1 INTRODUCTION
- •16.2 MOTION PROFILES
- •16.2.1 Velocity Profiles
- •16.2.2 Position Profiles
- •16.3 MULTI AXIS MOTION
- •16.3.1 Slew Motion
- •16.3.1.1 - Interpolated Motion
- •16.3.2 Motion Scheduling
- •16.4 PATH PLANNING
- •16.5 CASE STUDIES
- •16.6 SUMMARY
- •16.7 PRACTICE PROBLEMS
- •16.8 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •16.9 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •17. LAPLACE TRANSFORMS
- •17.1 INTRODUCTION
- •17.2 APPLYING LAPLACE TRANSFORMS
- •17.2.1 A Few Transform Tables
- •17.3 MODELING TRANSFER FUNCTIONS IN THE s-DOMAIN
- •17.4 FINDING OUTPUT EQUATIONS
- •17.5 INVERSE TRANSFORMS AND PARTIAL FRACTIONS
- •17.6 EXAMPLES
- •17.6.2 Circuits
- •17.7 ADVANCED TOPICS
- •17.7.1 Input Functions
- •17.7.2 Initial and Final Value Theorems
- •17.8 A MAP OF TECHNIQUES FOR LAPLACE ANALYSIS
- •17.9 SUMMARY
- •17.10 PRACTICE PROBLEMS
- •17.11 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •17.12 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •17.13 REFERENCES
- •18. CONTROL SYSTEM ANALYSIS
- •18.1 INTRODUCTION
- •18.2 CONTROL SYSTEMS
- •18.2.1 PID Control Systems
- •18.2.2 Analysis of PID Controlled Systems With Laplace Transforms
- •18.2.3 Finding The System Response To An Input
- •18.2.4 Controller Transfer Functions
- •18.3.1 Approximate Plotting Techniques
- •18.4 DESIGN OF CONTINUOUS CONTROLLERS
- •18.5 SUMMARY
- •18.6 PRACTICE PROBLEMS
- •18.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •18.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •19. CONVOLUTION
- •19.1 INTRODUCTION
- •19.2 UNIT IMPULSE FUNCTIONS
- •19.3 IMPULSE RESPONSE
- •19.4 CONVOLUTION
- •19.5 NUMERICAL CONVOLUTION
- •19.6 LAPLACE IMPULSE FUNCTIONS
- •19.7 SUMMARY
- •19.8 PRACTICE PROBLEMS
- •19.9 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •19.10 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •20. STATE SPACE ANALYSIS
- •20.1 INTRODUCTION
- •20.2 OBSERVABILITY
- •20.3 CONTROLLABILITY
- •20.4 OBSERVERS
- •20.5 SUMMARY
- •20.6 PRACTICE PROBLEMS
- •20.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •20.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •20.9 BIBLIOGRAPHY
- •21. STATE SPACE CONTROLLERS
- •21.1 INTRODUCTION
- •21.2 FULL STATE FEEDBACK
- •21.3 OBSERVERS
- •21.4 SUPPLEMENTAL OBSERVERS
- •21.5 REGULATED CONTROL WITH OBSERVERS
- •21.7 LINEAR QUADRATIC GAUSSIAN (LQG) COMPENSATORS
- •21.8 VERIFYING CONTROL SYSTEM STABILITY
- •21.8.1 Stability
- •21.8.2 Bounded Gain
- •21.9 ADAPTIVE CONTROLLERS
- •21.10 OTHER METHODS
- •21.10.1 Kalman Filtering
- •21.11 SUMMARY
- •21.12 PRACTICE PROBLEMS
- •21.13 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •21.14 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •22. SYSTEM IDENTIFICATION
- •22.1 INTRODUCTION
- •22.2 SUMMARY
- •22.3 PRACTICE PROBLEMS
- •22.4 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •22.5 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •23. ELECTROMECHANICAL SYSTEMS
- •23.1 INTRODUCTION
- •23.2 MATHEMATICAL PROPERTIES
- •23.2.1 Induction
- •23.3 EXAMPLE SYSTEMS
- •23.4 SUMMARY
- •23.5 PRACTICE PROBLEMS
- •23.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •23.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •24. FLUID SYSTEMS
- •24.1 SUMMARY
- •24.2 MATHEMATICAL PROPERTIES
- •24.2.1 Resistance
- •24.2.2 Capacitance
- •24.2.3 Power Sources
- •24.3 EXAMPLE SYSTEMS
- •24.4 SUMMARY
- •24.5 PRACTICE PROBLEMS
- •24.6 PRACTICE PROBLEMS SOLUTIONS
- •24.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •25. THERMAL SYSTEMS
- •25.1 INTRODUCTION
- •25.2 MATHEMATICAL PROPERTIES
- •25.2.1 Resistance
- •25.2.2 Capacitance
- •25.2.3 Sources
- •25.3 EXAMPLE SYSTEMS
- •25.4 SUMMARY
- •25.5 PRACTICE PROBLEMS
- •25.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •25.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •26. OPTIMIZATION
- •26.1 INTRODUCTION
- •26.2 OBJECTIVES AND CONSTRAINTS
- •26.3 SEARCHING FOR THE OPTIMUM
- •26.4 OPTIMIZATION ALGORITHMS
- •26.4.1 Random Walk
- •26.4.2 Gradient Decent
- •26.4.3 Simplex
- •26.5 SUMMARY
- •26.6 PRACTICE PROBLEMS
- •26.7 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •26.8 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •27. FINITE ELEMENT ANALYSIS (FEA)
- •27.1 INTRODUCTION
- •27.2 FINITE ELEMENT MODELS
- •27.3 FINITE ELEMENT MODELS
- •27.4 SUMMARY
- •27.5 PRACTICE PROBLEMS
- •27.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •27.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •27.8 BIBLIOGRAPHY
- •28. FUZZY LOGIC
- •28.1 INTRODUCTION
- •28.2 COMMERCIAL CONTROLLERS
- •28.3 REFERENCES
- •28.4 SUMMARY
- •28.5 PRACTICE PROBLEMS
- •28.6 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •28.7 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •29. NEURAL NETWORKS
- •29.1 SUMMARY
- •29.2 PRACTICE PROBLEMS
- •29.3 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •29.4 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •29.5 REFERENCES
- •30. EMBEDDED CONTROL SYSTEM
- •30.1 INTRODUCTION
- •30.2 CASE STUDY
- •30.3 SUMMARY
- •30.4 PRACTICE PROBLEMS
- •30.5 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •30.6 ASSIGNMENT PROBLEMS
- •31. WRITING
- •31.1 FORGET WHAT YOU WERE TAUGHT BEFORE
- •31.2 WHY WRITE REPORTS?
- •31.3 THE TECHNICAL DEPTH OF THE REPORT
- •31.4 TYPES OF REPORTS
- •31.5 LABORATORY REPORTS
- •31.5.0.1 - An Example First Draft of a Report
- •31.5.0.2 - An Example Final Draft of a Report
- •31.6 RESEARCH
- •31.7 DRAFT REPORTS
- •31.8 PROJECT REPORT
- •31.9 OTHER REPORT TYPES
- •31.9.1 Executive
- •31.9.2 Consulting
- •31.9.3 Memo(randum)
- •31.9.4 Interim
- •31.9.5 Poster
- •31.9.6 Progress Report
- •31.9.7 Oral
- •31.9.8 Patent
- •31.10 LAB BOOKS
- •31.11 REPORT ELEMENTS
- •31.11.1 Figures
- •31.11.2 Graphs
- •31.11.3 Tables
- •31.11.4 Equations
- •31.11.5 Experimental Data
- •31.11.6 Result Summary
- •31.11.7 References
- •31.11.8 Acknowledgments
- •31.11.9 Abstracts
- •31.11.10 Appendices
- •31.11.11 Page Numbering
- •31.11.12 Numbers and Units
- •31.11.13 Engineering Drawings
- •31.11.14 Discussions
- •31.11.15 Conclusions
- •31.11.16 Recomendations
- •31.11.17 Appendices
- •31.11.18 Units
- •31.12 GENERAL WRITING ISSUES
- •31.13 WRITERS BLOCK
- •31.14 TECHNICAL ENGLISH
- •31.15 EVALUATION FORMS
- •31.16 PATENTS
- •32. PROJECTS
- •32.2 OVERVIEW
- •32.2.1 The Objectives and Constraints
- •32.3 MANAGEMENT
- •32.3.1 Timeline - Tentative
- •32.3.2 Teams
- •32.4 DELIVERABLES
- •32.4.1 Conceptual Design
- •32.4.2 EGR 345/101 Contract
- •32.4.3 Progress Reports
- •32.4.4 Design Proposal
- •32.4.5 The Final Report
- •32.5 REPORT ELEMENTS
- •32.5.1 Gantt Charts
- •32.5.2 Drawings
- •32.5.3 Budgets and Bills of Material
- •32.5.4 Calculations
- •32.6 APPENDICES
- •32.6.1 Appendix A - Sample System
- •32.6.2 Appendix B - EGR 345/101 Contract
- •32.6.3 Appendix C - Forms
- •33. ENGINEERING PROBLEM SOLVING
- •33.1 BASIC RULES OF STYLE
- •33.2 EXPECTED ELEMENTS
- •33.3 SEPCIAL ELEMENTS
- •33.3.1 Graphs
- •33.3.2 EGR 345 Specific
- •33.4 SCILAB
- •33.5 TERMINOLOGY
- •34. MATHEMATICAL TOOLS
- •34.1 INTRODUCTION
- •34.1.1 Constants and Other Stuff
- •34.1.2 Basic Operations
- •34.1.2.1 - Factorial
- •34.1.3 Exponents and Logarithms
- •34.1.4 Polynomial Expansions
- •34.1.5 Practice Problems
- •34.2 FUNCTIONS
- •34.2.1 Discrete and Continuous Probability Distributions
- •34.2.2 Basic Polynomials
- •34.2.3 Partial Fractions
- •34.2.4 Summation and Series
- •34.2.5 Practice Problems
- •34.3 SPATIAL RELATIONSHIPS
- •34.3.1 Trigonometry
- •34.3.2 Hyperbolic Functions
- •34.3.2.1 - Practice Problems
- •34.3.3 Geometry
- •34.3.4 Planes, Lines, etc.
- •34.3.5 Practice Problems
- •34.4 COORDINATE SYSTEMS
- •34.4.1 Complex Numbers
- •34.4.2 Cylindrical Coordinates
- •34.4.3 Spherical Coordinates
- •34.4.4 Practice Problems
- •34.5 MATRICES AND VECTORS
- •34.5.1 Vectors
- •34.5.2 Dot (Scalar) Product
- •34.5.3 Cross Product
- •34.5.4 Triple Product
- •34.5.5 Matrices
- •34.5.6 Solving Linear Equations with Matrices
- •34.5.7 Practice Problems
- •34.6 CALCULUS
- •34.6.1 Single Variable Functions
- •34.6.1.1 - Differentiation
- •34.6.1.2 - Integration
- •34.6.2 Vector Calculus
- •34.6.3 Differential Equations
- •34.6.3.1.1 - Guessing
- •34.6.3.1.2 - Separable Equations
- •34.6.3.1.3 - Homogeneous Equations and Substitution
- •34.6.3.2.1 - Linear Homogeneous
- •34.6.3.2.2 - Nonhomogeneous Linear Equations
- •34.6.3.3 - Higher Order Differential Equations
- •34.6.3.4 - Partial Differential Equations
- •34.6.4 Other Calculus Stuff
- •34.6.5 Practice Problems
- •34.7 NUMERICAL METHODS
- •34.7.1 Approximation of Integrals and Derivatives from Sampled Data
- •34.7.3 Taylor Series Integration
- •34.8 LAPLACE TRANSFORMS
- •34.8.1 Laplace Transform Tables
- •34.9 z-TRANSFORMS
- •34.10 FOURIER SERIES
- •34.11 TOPICS NOT COVERED (YET)
- •34.12 REFERENCES/BIBLIOGRAPHY
- •35. A BASIC INTRODUCTION TO ‘C’
- •35.2 BACKGROUND
- •35.3 PROGRAM PARTS
- •35.4 HOW A ‘C’ COMPILER WORKS
- •35.5 STRUCTURED ‘C’ CODE
- •35.7 CREATING TOP DOWN PROGRAMS
- •35.8 HOW THE BEAMCAD PROGRAM WAS DESIGNED
- •35.8.1 Objectives:
- •35.8.2 Problem Definition:
- •35.8.3 User Interface:
- •35.8.3.1 - Screen Layout (also see figure):
- •35.8.3.2 - Input:
- •35.8.3.3 - Output:
- •35.8.3.4 - Help:
- •35.8.3.5 - Error Checking:
- •35.8.3.6 - Miscellaneous:
- •35.8.4 Flow Program:
- •35.8.5 Expand Program:
- •35.8.6 Testing and Debugging:
- •35.8.7 Documentation
- •35.8.7.1 - Users Manual:
- •35.8.7.2 - Programmers Manual:
- •35.8.8 Listing of BeamCAD Program.
- •35.9 PRACTICE PROBLEMS
- •36. UNITS AND CONVERSIONS
- •36.1 HOW TO USE UNITS
- •36.2 HOW TO USE SI UNITS
- •36.3 THE TABLE
- •36.4 ASCII, HEX, BINARY CONVERSION
- •36.5 G-CODES
- •37. ATOMIC MATERIAL DATA
- •37. MECHANICAL MATERIAL PROPERTIES
- •37.1 FORMULA SHEET
- •38. BIBLIOGRAPHY
- •38.1 TEXTBOOKS
- •38.1.1 Slotine and Li
- •38.1.2 VandeVegte
- •39. TOPICS IN DEVELOPMENT
- •39.1 UPDATED DC MOTOR MODEL
- •39.2 ANOTHER DC MOTOR MODEL
- •39.3 BLOCK DIAGRAMS AND UNITS
- •39.4 SIGNAL FLOW GRAPHS
- •39.5 ZERO ORDER HOLD
- •39.6 TORSIONAL DAMPERS
- •39.7 MISC
- •39.8 Nyquist Plot
- •39.9 NICHOLS CHART
- •39.10 BESSEL POLYNOMIALS
- •39.11 ITAE
- •39.12 ROOT LOCUS
- •39.13 LYAPUNOV’S LINEARIZATION METHOD
- •39.14 XXXXX
- •39.15 XXXXX
- •39.16 XXXXX
- •39.17 XXXXX
- •39.18 XXXXX
- •39.19 XXXXX
- •39.20 XXXXX
- •39.21 SUMMARY
- •39.22 PRACTICE PROBLEMS
- •39.23 PRACTICE PROBLEM SOLUTIONS
- •39.24 ASSGINMENT PROBLEMS
- •39.25 REFERENCES
- •39.26 BIBLIOGRAPHY
input output equations - 6.11
Assume a sinusoidal input, with the system initially at rest.
|
F( t) = sin ( t) |
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F( 0) = 0 |
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d |
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2 |
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+ 3 |
d |
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+ 2x |
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||
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x |
0 |
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x |
0 |
0 |
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dt |
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dt |
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·
F( t) = cos ( t)
·
F( 0) = 1
·
= 4( F( 0) ) + 5F( 0)
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
+ 3( 0) + 2( 0) = 4( 1) + 5( 0) |
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x |
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dt |
2 |
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0 |
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This indicates that the acceleration will have an initial value, |
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|
d |
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but it will not affect the initial position or velocity. |
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Figure 6.12 Initial conditions for a sinusoidal input
6.4 DESIGN CASE
The classic mass-spring-damper system is shown in Figure 6.13. In this example the forces are summed to provide an equation. The differential operator is replaced, and the equation is manipulated into transfer function form. The transfer function is given in two different forms because the system is reversible and the output could be either ’F’ or ’x’.
input output equations - 6.12
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= – F + Kd ----- |
+ Ksx = |
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M------- + K ----- + K |
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x + KdDx + Ksx |
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+ KdD + Ks |
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d2x
–M-------
dt2
Aside: An important concept that is ubiquitous yet largely unrecognized is the use of functional design. We look at parts of systems as self contained modules that use inputs to produce outputs. Some systems (such a mechanisms) are reversible, others are not (consider a internal combustion engine, turning the crank does not produce gasoline). An input is typically something we can change, an output is the resulting change in a system. For the example above ‘F’ over ‘x’ implies that we are changing the input ‘x’, and there is some change in ‘F’. We know this could easily be reversed mathematically and practically.
Figure 6.13 A transfer function for a mechanical system
Aside: Keep in mind that the mathematical expression ‘F/x’ is a ratio between input (displacement action) and output (reaction force). When shown with differentials it is obvious that the ratio is not simple, and is a function of time. Also keep in mind that if we were given a force applied to the system it would become the input (action force) and the output would be the displacement (resulting motion). To do this all we need to do is flip the numerators and denominators in the transfer function.
Mass-spring-damper systems are often used when doing vibration analysis and design work. The first stage of such analysis involves finding the actual displacement for a given displacement or force. A system experiencing a sinusoidal oscillating force is given in Figure 6.14. Numerical values are substituted and the homogeneous solution to the equation is found.
input output equations - 6.13
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Given the component values input force, |
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N |
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F = 5 sin ( 6t) N |
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M = 1Kg Ks = 2m |
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= 0.5 m----- |
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The differential equation for the mass-spring damper system can be written.
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d2x |
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Ns dx |
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|
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N |
|
|
|
|
|
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|||||
|
1Kg |
------- |
|
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+ |
0.5 |
----- |
|
----- + |
2 |
--- |
|
x = |
5 sin ( 6t) N |
|
|||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||
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dt |
2 |
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m dt |
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m |
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||||||
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The homogeneous solution can be determined. |
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d2x |
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Ns dx |
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N |
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|||||
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||||||||||
|
1Kg |
------- |
|
|
+ |
|
0.5 |
------ |
----- |
+ |
|
2 |
--- |
|
|
x = |
0 |
|
|
|||
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
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m dt |
|
|
|
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m |
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|||
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|||||||||
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|
0.5Ns |
2 |
– 4( 1Kg) |
2 N |
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|||||||||
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– 0.5Ns ± |
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|||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
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m |
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m |
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A = |
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m |
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|||||
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------------------------------------------------------------------------------------------ |
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2 |
( 1Kg) |
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A = 0.5( – 0.5 ± 
0.25 – 8) s–1
A = ( – 0.25 ± 1.392j) s–1
xh = C1e–0.25t cos ( 1.392t + C2)
Figure 6.14 Explicit analysis of a mechanical system
The solution continues in Figure 6.15 where the particular solution is found and put in phase shift form.
input output equations - 6.14
The particular solution can now be found with a guess.
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d2x |
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Ns |
dx |
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N |
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||
|
|
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||||||
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||||||
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1Kg------- |
+ |
0.5----- |
----- + |
2 |
--- x = 5 sin ( 6t) N |
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|||
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dt |
2 |
|
m dt |
|
m |
|
||
|
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||||||||
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xp |
= A sin 6t + B cos 6t |
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|||||||
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|||||||
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|||||||
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xp' |
= |
6A cos 6t – 6B sin 6t |
|
|
|||||
|
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||||||||
|
|
|
||||||||
|
xp'' |
= |
|
–36A sin 6t – 36B cos 6t |
|
|||||
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||||||||
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||||||||
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–36A sin 6t – 36B cos 6t + 0.5( 6A cos 6t – 6B sin 6t) + 2( A sin 6t + B cos 6t) = 5 sin ( 6t)
|
|
|
34 |
|
– 36B + 3A + 2B = 0 |
|
A = |
-----B |
|
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3 |
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–36A – 3B + 2A = 5
34
–34 -----B – 3B = 5 3
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5 |
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34 |
( –0.01288) = –0.1460 |
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
B = –34( 34)----------------------------- |
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|
= –0.01288 |
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|
A = |
----- |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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– 3 |
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3 |
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------------------- |
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3 |
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xp |
= ( –0.1460) sin 6t + ( –0.01288) cos 6t |
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= |
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|
( –0.1460) |
2 + ( –0.01288) 2 |
( ( –0.1460) sin 6t + ( –0.01288) cos 6t) |
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xp |
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-- |
----------------------------------------------------------------- |
( –0.1460) 2 + ( –0.01288) 2 |
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xp |
= 0.1466( –0.9961 sin 6t–0.08788 cos 6t) |
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–0.9961 |
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xp |
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= 0.1466 sin 6t + atan –0.08788---------------------- |
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xp |
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= 0.1466 sin ( 6t + 1.483) |
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Figure 6.15 Explicit analysis of a mechanical system (continued)
The system is assumed to be at rest initially, and this is used to find the constants in the homogeneous solution in Figure 6.16. Finally the displacement of the mass is used to find the force exerted through the spring on the ground. In this case there are two force frequency components at 1.392rad/s and 6rad/s. The steady-state force at 6rad/s will have a magnitude of .2932N. The transient effects have a time constant of 4 seconds (1/0.25), and should be negligible within a few seconds of starting the machine.
input output equations - 6.15
The particular and homogeneous solutions can now be combined.
x = xh + xp = C1e–0.25t cos ( 1.392t + C2) + 0.1466 sin ( 6t + 1.483)
x' = –0.25C1e–0.25t cos ( 1.392t + C2) – 1.392( C1e–0.25t sin ( 1.392t + C2) )
+ 6( 0.1466 cos ( 6t + 1.483) )
The initial conditions can be used to find the unknown constants.
0 = C1e0 cos ( 0 + C2) + 0.1466 sin ( 0 + 1.483)
C1 cos ( C2) = –0.1460
–0.1460 C = -------------------
1 cos ( C2)
0 = –0.25C1e0 cos ( 0 + C2) – 1.392( C1e0 sin ( 0 + C2) ) + 6( 0.1466 cos ( 0 + 1.483) )
0 = –0.25C1 cos ( C2) – 1.392( C1 sin ( C2) ) + 0.07713
|
0 = – 0.25 –0.1460 cos ( C ) |
|
– 1.392 |
–0.1460 sin ( C ) |
+ 0.07713 |
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||||||
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cos ( C ) |
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2 |
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cos ( C ) |
2 |
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2 |
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2 |
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0 = 0.0365 + ( 0.2032) |
tan ( C2) |
+ 0.07713 |
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0.0365 + 0.07713 |
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C2 |
= |
atan |
-----------------------------------------–0.2032 |
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= –0.5099 |
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C1 |
= |
–0.1460 |
= –0.1673 |
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||||
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||||||||
|
--------------------------------cos ( –0.5099) |
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x = ( –0.1673e–0.25t cos ( 1.392t – 0.5099) + 0.1466 sin ( 6t + 1.483) ) m
The displacement can then be used to calculate the force transmitted to the ground, assuming the spring is massless.
F = Ksx
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N |
( –0.1673e |
–0.25t |
cos ( 1.392t – 0.5099) + 0.1466 sin ( 6t + 1.483) ) m |
|
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F |
= |
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2 |
--- |
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m |
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F |
= |
( –0.3346e–0.25t cos ( 1.392t – 0.5099) + 0.2932 sin ( 6t + 1.483) ) N |
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Figure 6.16 Explicit analysis of a mechanical system (continued)
A decision has been made to reduce the vibration magnitude transmitted to the ground to 0.1N. This can be done by adding a mass-spring isolator, as shown in Figure 6.17. In the figure the bottom mass-spring-damper combination is the original system. The
input output equations - 6.16
mass and spring above have been added to reduce the vibration that will reach the ground. Values must be selected for the mass and spring. The design begins by developing the differential equations for both masses.
Ks2
x2
M2
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Kd |
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Ks1 |
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M1 |
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x1 |
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F |
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–Ks2x2 |
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( x· |
– x· ) |
M2 |
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( x |
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– x ) |
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K |
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K |
s1 |
2 |
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d |
2 |
1 |
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|
1 |
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K |
d |
( x· |
– x· ) |
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K |
s1 |
( x |
2 |
– x ) |
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|||||||||
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2 |
1 |
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1 |
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M1
F
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· |
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·· |
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∑F = –Ks2x2 – Kd( x2 |
– x1) – Ks1( x2 – x1) = M2x2 |
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–K |
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x |
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– K |
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( x |
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D – x |
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D) – K |
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( x |
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– x ) = M |
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x |
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D2 |
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s2 |
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2 |
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d |
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2 |
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1 |
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s1 |
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|
2 |
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|
1 |
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2 |
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|
2 |
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x |
( – K |
s2 |
– K |
D – K |
s1 |
– M |
2 |
D2) = x |
( – K |
D – K |
) |
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2 |
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d |
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1 |
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d |
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s1 |
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Ks2 + KdD + Ks1 |
+ M2D2 |
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x |
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= |
|
x |
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(1) |
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1 |
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2 |
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KdD + Ks1 |
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· |
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∑F = Kd( x2 |
– x1) + Ks1( x2 – x1) – F = |
M1x1 |
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K |
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( x |
D – x |
D) + K |
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( x |
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– x ) – F = M |
x |
D2 |
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d |
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2 |
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1 |
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s1 |
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2 |
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1 |
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1 |
1 |
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x1( – KdD – Ks1 – M1D2) + x2( KdD + Ks1) |
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= F (2) |
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Figure 6.17 Vibration isolation system
For the design we are only interested in the upper spring, as it determines the force on the ground. An input-output equation for that spring is developed in Figure 6.18. The
input output equations - 6.17
given values for the mass-spring-damper system are used. In addition a value for the upper mass is selected. This is arbitrarily chosen to be the same as the lower mass. This choice may need to be changed later if the resulting spring constant is not practical.
The solution begins by combining equations (1) and (2) and inserting the.numerical values for the lower mass, spring and damper. We can also limit the problem by selecting a mass value for the upper mass.
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Ks2 |
+ KdD + Ks1 + M2D2 |
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2 |
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x |
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------------------------------------------------------------- |
( – K |
D – K |
|
– M |
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D ) + x |
( K |
D + K |
) = F |
|||||
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||||||||||
|
2 |
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KdD + Ks1 |
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d |
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s1 |
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1 |
2 |
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d |
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s1 |
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||||
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N |
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Ns |
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M1 = 1Kg Ks1 |
= 2m |
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Kd = 0.5------m |
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M2 = 1Kg |
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||||
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Ks2 |
+ 0.5D + 2 + D2 |
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2 |
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||||
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|||||||
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|||||||
|
x |
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------------------------------------------------- |
( – 0.5D – 2 – D ) |
+ x |
( 0.5D + 2) |
= F |
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|||||||||
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
2 |
|
0.5D + 2 |
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2 |
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x2( D2 + 0.5D + 2 + Ks2) ( D2 – 0.5D – 2) + x2( 0.5D + 2) 2 = F( 0.5D + 2) x2( D4( –1) + D2( Ks2) + D1( –0.5Ks2) + ( –2Ks2) ) = F( 0.5D + 2)
This can now be converted back to a differential equation and combined with the force.
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– |
d |
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4 |
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+ K |
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d |
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2 |
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– 0.5K |
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d |
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– 2K |
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x |
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s2 |
---- |
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x |
2 |
s2 |
---- |
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x |
2 |
s2 |
x |
2 |
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dt |
4 |
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2 |
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dt |
2 |
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dt |
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– |
d |
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+ K |
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d |
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– 0.5K |
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d |
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– 2K |
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---- |
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x |
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s2 |
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x |
2 |
s2 |
---- |
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x |
2 |
s2 |
x |
2 |
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dt |
4 |
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2 |
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dt |
2 |
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dt |
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– |
d |
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+ K |
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d |
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– 0.5K |
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d |
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– 2K |
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=0.5 ---- F + 2F dt
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5 sin ( 6t) + 2( 5) sin ( 6t) |
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15 cos ( 6t) + 10 sin ( 6t) |
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Figure 6.18 Developing an input output equation
This particular solution of the differential equation will yield the steady-state displacement of the upper mass. This can then be used to find the needed spring coefficient.
input output equations - 6.18
The particular solution begins with a guess.
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= 15 cos ( 6t) + 10 sin ( 6t) |
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6A cos 6t – 6B sin 6t |
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–36A sin 6t – 36B cos 6t |
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–216A cos 6t + 216B sin 6t |
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sin ( 6t) ( – 1296A – 36AKs2 + 0.5Ks26B – 2Ks2A) |
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= 10 sin ( 6t) |
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A( – 1296 – 38Ks2) + B( 3Ks2) |
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= 10 |
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B = |
10 + A( 1296 + 38Ks2) |
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cos ( 6t) ( – 1296B – 36BKs2 + ( –0.5) Ks26A – 2Ks2B) = 15 cos ( 6t) |
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A( –3Ks2) + B( – 1296 – 38Ks2) |
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= 15 |
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A( –3K |
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10 + A( 1296 + 38Ks2) ( – 1296 – 38K |
) |
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= 15 |
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A( –9K2 ) + ( 10 + A( 1296 + 38K |
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) ) ( – 1296 – 38K |
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) = 45K |
s2 |
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–9Ks22 |
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+ A( 1296 + 38Ks2) |
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– 10 |
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( – 1296 – 38Ks2) |
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( – 1296 – 38Ks2) |
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– 10 |
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–9Ks22 |
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Figure 6.19 Finding the particular solution
input output equations - 6.19
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The value for B can then be found. |
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B = --------------------------------------------------------------------------------------------------
3Ks2( – 1453K22s – 98496K2s – 1679616)
540K2s + 69918768
B = ---------------------------------------------------------------------------------
– 1453K22s – 98496K2s – 1679616
Figure 6.20 Finding the particular solution (cont’d)
Finally the magnitude of the particular solution is calculated and set to the desired amplitude of 0.1N. This is then used to calculate the spring coefficient.
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540K2s + 69918768 |
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– 1453K22s – 98496K2s – 1679616 |
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– 1453K22s – 98496K2s – 1679616 |
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A value for the spring coefficient was then found using Mathcad to get a value of 662N/m.
Figure 6.21 Calculation of the spring coefficient