Глава 2 Постановка задачи

2.1 Модели кинетики реактора

Дадим классификацию и краткую характеристику существующих моделей кинетики. Классификация этих моделей проводится по типам дифференциальных уравнений, в основе которых лежат те или иные физические допущения о процессе размножения нейтронов. Рассматривают следующие модели кинетики: точечную, многоточечную, диффузионную, диффузионно-возрастную и уравнения Больцмана.

Точечная модель кинетики, лежащая в основе многочисленных исследований динамики ЯЭУ, состоит их уравнений

(2.1.1)

в которых – реактивность;– плотность нейтронов;– соответственно концентрация, постоянная распада и доля излучателей-ой группы запаздывающих нейтронов;;– время жизни нейтронов;– время.

Управления (2.1.1) не содержат пространственных координат и дают сосредоточенное (точечное) описание реактора, не отражая возможности пространственной деформации нейтронного поля. Точечная модель кинетики не может быть признана универсальной, хотя она наиболее часто используется в расчетах динамики ЯЭУ [5-7]. Ее применимость ограничивается реакторами с неподвижным горючим и с достаточно малыми размерами активно зоны , когда стабилизирующее влияние утечек нейтронов велико.

2.2. Типы обратных связей

В зависимости от типа исследуемого реактора, существа рассматриваемого вопроса и принятых идеализаций обратные связи реактора могут отображаться уравнениями динамики самых различных типов и сложности, поэтому разумно классифицировать обратные связи именно по виду уравнений, которыми они описываются. Различают следующие типы связей: мгновенные (безынерционные), сосредоточенные, запаздывающие, распределенные, смешанные.

Мгновенные, или безынерционные, обратные связи допускают наиболее простое математическое описание – только алгебраическими уравнениями. Такое описание пригодно для анализа динамики достаточно медленных процессов, при которых изменение температур или плотностей различных сред реактора успевают следовать за изменениями нейтронной мощности. В простейшем (линейном) случае цепь обратной связи можно отобразить одним уравнением , где– реактивность,– отклонение плотности нейтроновот ее стационарного значения, а– мощностной коэффициент реактивности.

Сосредоточенные обратные связи описываются дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. Это наиболее распространенное описание, способное охватить весьма широкий круг нестационарных процессов, если порядок уравнений достаточно высок. Следует, однако, подчеркнуть, что всякая реальная ЯЭУ содержит распределенные звенья (каналы реактора, трубки теплообменника, соединительные магистрали, блоки замедлителя и т.п.), поэтому сосредоточенная модель – всего лишь одна из возможных идеализаций реальных распределений звеньев ЯЭУ.

2.3. Гомогенный реактор с линейной температурной обратной связью.

Рассмотрим точечную модель гомогенного реактора в предположении, что реактивность зависит от температуры горючего по линейному закону. Уравнения динамики запишутся в виде:

(2.3.1)

где - мощность реактора; - температура делящегося вещества; - постоянные ; - температурный коэффициент реактивности; и- масса и удельная теплоемкость горючего, - управление. Постоянные иимеют различное содержание в зависимости от конкретного механизма отвода тепла. Так, если теплоотвод осуществляется циркуляцией горючего, тоk=Gc, где G- массовый расход горючего, а -постоянная температура горючего на входе в активную зону. Если же тепло отводится охлаждением через поверхность, то k- коэффициент теплопередачи от горючего с температурой Т к охлаждающей среде с температурой . В системе (2.3.1) и всюду ниже индекс «0» указывает на значение переменной в стационарной системе.

Система (2.3.1) допускает два разных состояния равновесия:

Первое состояние равновесия характеризует погашеный реактор. Второе состояние равновесия описывает стационарный режим при отличном от нуля уровне мощности.

Рассмотрим задачу устойчивости системы (2.3.1) в отклонениях при

(2.3.2)

Перейдем к новым переменным

Учитывая уравнения (2.3.2) получим

(2.3.3)

Применим функцию Ляпунова

Производная от функции Ляпунова равна

Подставляя соответствующие значения получим

Раскрыв скобки получаем

(2.3.4)

Выпишем матрицу коэффициентов квадратичной формы (2.3.4)

Применяя критерии асимптотической устойчивости линейного приближения, получим

(2.3.5)

При условиях (2.3.5) система уравнений (2.3.3) асимптотически устойчива, а значит и исходная система (2.3.1) тоже асимптотически устойчива.

Было проведено численное моделирование системы (2.3.1) при следующих численных значениях (Приложение 1).