с.м.чернов_квантовая механика
.pdf§ 29. Движение электрона в кулоновском поле ядра
Пусть электрон с массой m0 движется в кулоновском поле точечного ядра заряда Ze, тогда потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром будет равна:
U (r) = − |
Ze2 |
. |
(29.1) |
|
4πε0 r |
||||
|
|
|
Так как поле центрально-симметричное, то координатная часть волновой функции в сферических переменных имеет вид:
где радиальная часть R(r) |
|
Ψ(r,θ,ϕ) = R(r)Yl m (θ,ϕ) , |
|
(29.2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет радиальному уравнению Шрединге- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ра (26.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2l (l +1) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d |
|
r |
2 dR |
|
+ |
|
2m0 |
|
E −U (r )− |
|
R = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r dr |
|
dr |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
2m0r |
|
|
|
|
||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 d |
|
dR |
|
2m |
|
|
Ze |
2 |
|
2 |
l |
l |
+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
R = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
+ |
|
|
20 |
E + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
0r |
|
2m0r |
2 |
|
(29.3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
dr |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Запишем последнее уравнение в безразмерных величинах, для этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно использовать характерные параметры теории Бора: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
= |
|
h2 |
4πε |
|
|
= 0,528 10−10 |
м – первый боровский радиус; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
m e |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
= |
|
|
m0 e4 |
|
|
|
|
|
|
=13,6эВ |
|
( E1 = −E0 |
– энергия основного состояния атома |
||||||||||||||||||||||||||
|
2h2 (4πε |
0 )2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водорода).
Для дальнейшего введем безразмерные величины:
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
m |
e2 |
|
|
r ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a0 |
4πε |
0 h |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
χ2 ≡ − |
|
E |
|
|
|
2h2 (4πε |
)2 |
|
E . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
E0 |
|
m0 e |
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда уравнение (29.3) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
d 2 R |
|
2 dR |
|
|
|
2 |
|
|
2Z |
|
|
l(l |
+1) |
|
|||||||
|
|
|
+ |
|
|
+ −χ |
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
R(ρ) = 0 . |
||||
|
d ρ |
2 |
ρ d ρ |
|
ρ |
|
|
|
ρ |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(29.4)
(29.5)
Последнее уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным требованиям, если выполнены два условия:
1. |
χ = |
Z |
, |
где n=1, 2, 3 ,.., называется главным квантовым числом. |
|
n |
|||||
|
|
|
|
||
2. |
l ≤ n −1, |
т.е. l=0, 1, 2,...(n – 1). |
Отсюда, с учетом обозначения (29.4), найдем энергию атома водорода:
71
E = En = −E0 |
Z 2 |
= − |
|
|
|
m e4 |
|
Z 2 |
|
(29.6) |
||||||||
n2 |
2h2 (4πε0 )2 n2 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Полученный результат полностью совпадает с результатом боровской |
||||||||||||||||||
теории водородоподобного атома. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сами же решения уравнения (29.5) имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R(ρ) = Rnl (ρ) = A( |
2Z ρ |
) |
l |
−Z |
ρ |
2l +1 |
( |
2Z ρ |
) |
|
|
|||||||
|
|
, |
(29.7) |
|||||||||||||||
|
n |
|
l |
|
n Ln+l |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где А – нормировочная постоянная, которая находится из условия: |
|
|||||||||||||||||
|
∞∫R2 (r )r2dr =1, |
|
и равна: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
1 |
|
|
|
(n |
+l)! |
|
|
|
2Z |
|
32 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2l +1)! 2n(n |
−l − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1)! n |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
d m |
x d n |
−x |
|
n |
|
|
|||||
функции |
Ln |
(x)= |
|
|
e |
|
|
|
(e |
|
x |
|
) |
называются обобщенными полиномами |
dx |
m |
|
dx |
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ляггера.
Приведем примеры простейших радиальных волновых функций Rnl (ρ) для случая n=1,2 для атома водорода ( Z =1):
|
|
|
R |
= |
2 |
|
e−ρ ; |
|
|
|
|
(29.8) |
|||||
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
|
|
1 |
|
|
e−12 |
ρ 1 − 1 |
ρ |
|
; |
(29.9) |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
20 |
|
(2a0 ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
= |
|
|
1 |
|
|
|
e−12 |
ρ 1 ρ. |
|
|
(29.10) |
||||
|
(6a0 )32 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
21 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Здесь а0 – первый боровский радиус.
§ 30. Вырождение уровней энергии в атоме водорода. Спектры щелочных металлов
В предыдущем параграфе решалась задача на собственные значения:
Hψnlm = Enψnlm
для кулоновского поля (29.1). Оказалось, что собственные значение энергии En зависит лишь от одного, главного квантового числа n . Однако, собствен-
ные функции ψnlm определяются тремя квантовыми числами n,l,m , где:
главное квантовое число n =1,2,...∞; |
|
|
1 |
|
|
|
En |
|
|
|
|
; |
|
n |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
72
орбитальное квантовое число l = 0,1,...(n −1); |
(L = h l (l +1)); |
магнитное квантовое число m = 0,±1,±2,... ± l; |
(Lz = hm). |
Таким образом, одному собственному значению энергии En соответствует не-
сколько собственных функций ψnlm , т.е. в системе имеется вырождение. На- |
|
пример, основной уровень (n =1, l = 0, m = 0) не вырожден E1 →ψ100 |
(k =1). |
Однако, первый возбужденный уровень четырехкратно вырожден |
(k = 4): |
E2 →ψ200 ,ψ21−1,ψ210 ,ψ211. В общем случае кратность вырождения |
равна: |
n−1 |
|
k = ∑(2l +1)= n2 . Выясним природу вырождения по m и l . |
|
l=0
Вырождение по магнитному квантовому числу m есть свойство цен-
тральной симметрии поля. Действительно, в любых центральных полях не существует физически выделенных направлений в пространстве и, следовательно, все измеряемые величины не должны зависеть от проекции Lz = hm .
При включении электрических и магнитных полей уровни энергии будут зависеть и от m, и от n (эффект Штарка в электрических полях и эффект Зеемана в магнитных полях).
Вырождение по орбитальному числу l связано с кулоновским характе-
ром взаимодействия U (r) ~ 1r (такое вырождение называется случайным, ди-
намическим вырождением). Эта особенность проявляется, в частности, в спектрах щелочных металлов Li, Na, K, Rb, Cs. В этих элементах валентный электрон движется в поле ядра, экранированного остальными (Z −1) элек-
тронами, но в этом случае суммарное эффективное поле не носит кулонов-
− r
ский характер U (r) ~ e r0 , значит, уровни энергии будут зависеть и от n , и от l : E = Enl . Схематически, это можно представить на следующей энергетической диаграмме:
En |
|
|
|
|
|
Enl |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 p 3d |
||||
|
3s |
|
3 p 3d |
3s |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
||||
|
2s |
|
2 p |
|
|
|
2s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1s |
|
|
|
|
|
1s |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергетический |
Энергетический |
||||||||||||
спектр H |
спектр Li |
73
Опыт показывает, что при квантовых переходах выполняются так называемые правила отбора: l = ±1; m =0,±1. Например, возможны переходы вида
3p ↔2s; 3p ↔1s , но запрещены 3p ↔2p; 3d ↔1s .
§ 31. Радиальная и угловая плотности электронных облаков в атомах
В соответствии с физическим смыслом волновой функции вероятность того, что электрон будет обнаружен в элементе объема dV, находящийся в точке с координатами (r,θ,ϕ), равна:
dW |
(r,θ,ϕ)= |
|
ψ |
nlm |
(r,θ,ϕ) |
|
2 dV. |
(31.1) |
|
|
|||||||
nlm |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что ψnlm (r,θ,ϕ) = Rnl (r )Ylm (θ,ϕ) и dV = r2drdΩ, для этой вероятности получаем:
dW |
= R2 r2dr |
|
Y m (θ,ϕ) |
|
2 dΩ. |
(31.2) |
|
|
|||||
nlm |
nl |
|
l |
|
|
|
Интегрируя последнее равенство по радиусу и углам, и учитывая условие нормировки:
∞ |
|
|
|
|
2dΩ =1, |
|
∫Rnl2 r2dr =1, |
∫ |
|
Ylm |
|
(31.3) |
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
можно отдельно рассмотреть распределение положения электрона по радиусу
иуглам.
1)Распределение электронной плотности по радиусу.
Из (31.2) после интегрирования по углам, можно найти плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра:
w |
= |
dWnl |
= R2 |
(r)r2 . |
(31.4) |
|
dr |
||||||
nl |
|
nl |
|
|
Для примера, рассмотрим радиальное распределение электронов для
основного (1s) и первого возбужденного (2s) состояний атома водорода.
Учитывая вид радиальных волновых функций Rnl (r) (29.8) и (29.9), для wnl (r) получаем (а0 – первый боровский радиус):
r
w10 = 43 e−2 a0 r2 , (31.5)
a0
|
|
1 |
|
− |
r |
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
|
|||||
w20 |
= |
|
|
e |
0 |
|
r |
|
1 |
− |
|
. |
(31.6) |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
2a0 |
|
|
|
|
|
|
2a0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
Функция w10 имеет максимум плотности в точке r = a0 , а w20 имеет две экстремальные координаты: r1 = 0,8a0 и r2 = 5,2a0 . Графики зависимости wnl (r) изображены на рисунке 11.
0 |
a0 |
r |
0 0,8a0 |
5,2a0 |
( |
r |
|
Рис. 11. Радиальная плотность электронов для основного |
) |
||||
|
1s |
|
и возбужденного (2s) состояний
Таким образом, распределение электронов размазано в пространстве с максимальной плотностью при r = a0 для основного состояния, что частично
согласуется с теорией Бора. Однако первое возбужденное состояние ничего общего с боровской теорией не имеет.
2) Распределение электронных облаков по углам.
Интегрируя (31.2) по всем расстояниям, можно ввести плотность вероятно-
сти обнаружения электрона в направлении углов (θ,ϕ):
w |
|
(θ ,ϕ ) = |
dWlm |
= |
|
Y m (θ ,φ ) |
|
2 |
= |
|
P m (cosθ ) |
|
2 . |
(31.7) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
lm |
|
d Ω |
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, wlm не зависит от угла ϕ , и распределение по углам симмет-
рично относительно вращения вокруг оси Z . Приведем примеры углового распределения электронных облаков для s - и p -состояний (l = 0,1) в поляр-
ных координатах (для сравнения, укажем также соответствующие боровские орбиты). Для этого учтем примеры шаровых функций (26.12).
а) 1 s -состояние электрона (l = 0, m = 0).
Такое состояние в теории Бора не существует. В квантовой же механике мы получим шарообразное распределение:
w00 P00 (cosθ ) 2 = const.
75
Z θ
b) 2 p -состояние электрона (l =1, m = 0,±1).
1 |
2 |
sin |
2 |
θ; |
0 |
2 |
2 |
θ; |
−1 |
|
sin |
2 |
θ. |
w11 P1 |
(cosθ) |
|
w10 P1 |
(cosθ) |
cos |
w1−1 P1 |
(cosθ) |
|
L
|
|
L |
|
|
L |
m =1 |
m = 0 |
m = −1 |
Заметим, что форма электронных облаков определяется орбитальным квантовым числом l , а его ориентация в пространстве – магнитным квантовым числом m .
§ 32. Круговые токи в атоме и магнитный момент орбитального движения электрона
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией
вида:
Ψ |
n lm |
( r ,θ ,ϕ ) = R |
n l |
( r ) P m (co s θ ) e imϕ . |
(32.1) |
|
|
l |
|
Зная волновую функцию, можно вычислить плотность электрических токов, создаваемых пространственным движением электронных облаков, которая, в соответствии с формулой (17.9), равна:
J = −ej = − |
eh |
* |
(32.2) |
|
(Ψ Ψ − Ψ Ψ*) . |
||
2m i |
|||
|
0 |
|
|
Так как волновая функция определена в сферических координатах, то и оператор Гамильтона запишем в этих переменных:
= i |
|
∂ |
+ i |
1 ∂ |
+ i |
|
1 ∂ |
(32.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r ∂r |
θ r ∂θ |
ϕ r sinθ ∂ϕ |
|
||||||||
|
|
|
|
76
Тогда проекции плотности тока J на радиус, меридиан и вдоль широтных кругов равны, соответственно:
Jr = − |
|
eh |
(Ψ |
* ∂Ψ − Ψ ∂Ψ* ), |
|
|
||||
2m0i |
|
|
||||||||
|
|
|
∂r |
|
∂r |
|
|
|||
Jθ = − |
|
eh |
|
(Ψ* ∂Ψ |
− Ψ |
∂Ψ* ), |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
2m0ir |
|
∂θ |
|
∂θ |
|
|
||
Jϕ = − |
|
eh |
|
|
* ∂Ψ |
|
∂Ψ |
* |
||
|
|
|
|
|
(Ψ |
|
− Ψ |
|
). |
|
|
2m0ir sinθ |
∂ϕ |
∂ϕ |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Так как радиальная функция Rnl (r) и полиномы |
||||||||||
действительными функциями, то, |
очевидно, |
Jr = Jθ |
= 0. |
(32.4)
Plm (cosθ) являются Таким образом, в
стационарном состоянии атома токи текут вдоль широтных кругов вокруг оси Z , плотность которых легко рассчитать, используя волновую функцию
(32.1):
Jϕ = − |
eh |
2im |
|
Ψ nlm |
|
2 = − |
ehm |
|
|
Ψ nlm |
|
2 . (32.5) |
|
|
|
|
|
||||||||||
2m0ir sin θ |
m0 r sin θ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный результат позволяет определить магнитные свойства ато-
мов, в частности, рассчитать орбитальный магнитный момент электрона. С
точки зрения электродинамики, любой замкнутый ток силой I , охватывающий плоскую площадку S с внешней нормалью n , эквивалентен магнитному моменту μ , который определяется соотношением:
μ = ISn. |
(32.6) |
В нашем случае мы имеем сложное пространственное распределение электрических зарядов в электронном облаке. Поэтому, разобьем весь объем атома на тонкие трубки тока сечением dσ , текущие вокруг оси Z . Величина
тока в трубке dI = Iϕdσ , а охватываемая площадка равна S =πr2 sin2 θ . Тогда z-я проекция магнитного момента выделенной трубки тока равна:
dμ |
z |
=dI S = I dσ πr2 sin2 θ =− |
|
|
|
ehm |
|
|
dσπr2 sin2 θ |
|
Ψ |
nlm |
|
2 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ϕ |
|
|
|
m0rsinθ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32.7) |
||||||
=− |
ehm |
dσ 2πrsinθ |
|
Ψ |
|
=− |
ehm |
|
|
Ψ |
|
2 dV. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2m0 |
|
nlm |
|
|
2m0 |
|
nlm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь dV = dσ 2πr sinθ – объем трубки тока. Так как магнитные мо-
менты всех трубок тока направлены вдоль оси Z , тогда полный магнитный момент будет равен:
μz = ∫d μz |
= − |
ehm |
∫ |
|
Ψ nlm |
|
2 dV = − |
ehm |
= −M Вm , |
(32.8) |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
2m |
0 |
|
|
|
|
|
2m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где введено обозначение для одной из важнейшей для атомной физики величины, которая называется магнетоном Бора:
77
M В = |
eh |
= 0,927 10−23 Дж . |
(32.9) |
|
2m0 |
||||
|
Тл |
|
Запишем последнее выражение в векторном виде. Учитывая, что Lz = hm получим:
μ |
|
= − |
e |
L . |
(32.10) |
z |
|
||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2m0 |
|
В силу произвольности выбора оси Z , последнее равенство можно записать в векторном виде:
μl = − |
e |
L |
.(32.11) |
|
|||
|
2m0 |
|
Аналогичная формула имеет место и в классической физике, однако в кван-
товой физике векторы L , μl принимают дискретные значения:
μl =− |
e |
h l(l +1) =−MB l(l +1), l=0, 1, 2, ..., |
(32.12) |
|
|||
|
2m0 |
|
μ =− |
e |
hm=−M m, |
m=0±1±...±l . |
|
|||
lz |
|
B |
|
|
2m0 |
|
§ 33. Экспериментальное обоснование наличия спина электрона
Как уже отмечалось, состояние электронов в атомах определяется тремя квантовыми числами (n,l,ml ). Однако, для описания всех свойств атома не-
обходимо вводить четвертое квантовое число, имеющее смысл собственного механического момента, называемый спином (to spin – вращаться). Впервые эта идея была выдвинута Паули. Представление спина как вращение электрона вокруг своей оси и сам термин “спин” выдвинули Уленбек и Гаудсмит (1925 г.). Строгую теорию спина можно построить лишь в рамках релятиви-
сткой квантовой механики, основанной на уравнении Дирака.
Из-за отсутствия траектории электрона невозможно непосредственно определить явление вращения самого электрона. Однако, наличие собственного механического момента (спина) должно приводить к появлению соответствующего спинового магнитного момента μs , который, по аналогии с
орбитальным моментом, прямо пропорционален механическому моменту S :
μs = −αS , |
(33.1) |
где α – коэффициент пропорциональности, определяемый опытным путем. Продолжая эту аналогию, будем считать, что величина спина может принимать следующие значения:
78
|
S = h s(s +1); |
(33.2) |
|
Sz = hms , |
|
где s |
|
|
– квантовое число спина, подлежащее экспериментальному определе- |
||
нию, |
а ms = −s,..., s – спиновое магнитное квантовое число, |
принимающее |
(2s +1) дискретное значение. Отметим, наконец, что, если магнитный момент |
||
любой природы μ поместить в магнитное поле с индукцией B , то их энергия |
||
взаимодействия равна: |
|
|
|
U = −μ B. |
(33.3) |
Рассмотрим два фундаментальных опыта, которые являются экспериментальным обоснованием наличие спина электрона.
1) Опыт Штерна и Герлаха.
Справедливости ради следует отметить, что этот опыт впервые спроектирован Капицей и Семеновым. Сущность опыта состояла в пропускании узкого пучка атомов серебра через неоднородное магнитное поле. В этом опыте были использованы атомы серебра по следующим соображениям: во-первых, атом является электронейтральной системой, на которую не действует сила Лоренца, маскирующая взаимодействие магнитных моментов с полем; вовторых, атом серебра имеет единственный внешний валентный электрон, находящийся в s -состоянии. Следовательно, у этого атома отсутствует орбитальный момент, значит μa = μs . При прохождении атомов серебра через не-
однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Z : Bz = B(z), атомный
магнитный момент взаимодействует с этим полем с энергией (33.3): U = −μs B = −μsz B(z), что приводит к появлению силы:
|
|
|
F = F = − |
∂U |
= μ |
∂B . |
|
|
|
(33.4) |
||||||
|
|
|
z |
∂z |
|
|
sz ∂z |
|
|
|
|
|||||
Так как μsz |
принимает (2s +1) различных значений, то на экране должно об- |
|||||||||||||||
разоваться |
(2s +1) посеребренные пятна, как показано на рисунке: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и m = ± 1 |
|
||||||||
В этом опыте оказалось, что 2s +1 = 2 , следовательно s = |
. Таким |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом, спиновые параметры электрона принимают следующие значения: 79
S =h s(s +1) = |
3 |
h, |
||
|
||||
|
|
|
4 |
|
Sz =± |
h |
. |
(33.5) |
|
|
|
|||
|
|
|
||
2 |
|
|
Измеряя величину отклонения атомов по крайним точкам на экране,
можно рассчитать силуFz , и для заданного градиента поля ∂∂Bz определить
величину μsz . Опыт показал, что |
|
μsz |
|
|
= M B = |
eh |
|
= α |
h |
, |
следовательно, |
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2m0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|||||||
коэффициент пропорциональности α = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, т.е. условие (33.1) принимает вид: |
||||||||||||||
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
μ |
s |
= − |
S . |
(33.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая этот результат с формулой (32.11), можно сделать вывод, что отношение магнитного момента к механическому вдвое больше для спина, чем для орбитального момента.
2) Дублетная структура спектров паров щелочных металлов.
Рассмотрим структуру уровней энергии атома Na (Z =11) и их запол-
нение электронами. |
|
При |
возбуждении |
атома |
Na ва- |
|||||||
Enl |
3d |
|||||||||||
лентный |
электрон переходит в |
3p-сос- |
||||||||||
|
|
|
|
3p |
|
тояние, а затем возвращается в основное |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3s |
|
3s-состояние и излучает квант света, со- |
||||||||
|
|
|
|
2 p |
|
ответствующий желтой линии спектра. |
||||||
|
|
|
2s |
|
Однако |
экспериментально наблюдается |
||||||
|
|
|
|
|
|
не одна, |
а |
две |
линии с |
длинами волн |
||
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
1s |
|
λ1 =5890 A |
и |
λ2 = 5896 |
A. Это можно |
объяснить наличием двух энергетических уровней 3 p1 и 3p2 , каждый из которых не совпадает с 3d -состоянием. При этом
3s -уровень остается одиночным. Дальнейший анализ показал, что этот резуль-
тат носит общий характер: все уровни энергии с l ≠ 0 имеют дублетную струк-
туру. Следовательно, помимо кулоновских сил на электроны должны действовать дополнительные силы иной природы.
Указанное расщепление можно объяснить, введя дополнительное, спинорбитальное взаимодействие. Рассмотрим качественно эти силы в рамках полуклассической теории. Выберем неинерциальную систему отсчета, связанную с электроном. В этой системе координат электрон неподвижен и его орбитальные моменты μl ,L равны нулю. Однако электрон обладает спино-
80