53. Сложение вращений тела вокруг двух осей

На рис. 54 изображено тело, которое со­вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не­подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на­звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна­чить и .

Рис.54

 

Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпа­дающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и от­носительного вращения изображается векто­рами и , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответст­вующим осям.

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис.54).

Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: . Но относительное движение точки (ис­пользуя правило остановки), есть вращение с угловой скоро­стью вокруг оси , определяется радиусом-вектором . Поэтому, .

 Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси с угловой скоростью и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость .

Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично , где - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р.

По формуле сложения скоростей получим: или .

Отсюда

То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис.54).

Частные случаи:

1. Оси вращения и параллельны, на­правления вращений одинаковы (рис. 55).

Рис.55

 

Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит рас­стояние между осями на части обратно пропорциональные и :

. (Аналогично равнодействующей параллельных сил).

В этом частном слу­чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на оси Р.

2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис.56).

Рис.56

 

В этом случае (при ). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что (опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил).

3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны.

Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил.

54.

         Можно рассмотреть далее и случай,  когда тело участвует в трех вращениях относительно    пересекающихся осей.  

 В результате получим следующие выводы.

 Если тело участвует в двух или нескольких вращениях относительно пересекающихся осей, то :

          1. В каждый момент движение тела является мгновенно вращательным.   Мгновенная ось вращения проходит через точку пересечения осей.   Вектор мгновенной угловой скорости тела равен геометрической сумме векторов угловых скоростей в каждом из вращений.

         2. Движение тела является сферическим -  то есть движением относительно неподвижной точки пересечения осей.

         3. Скорости точек  тела  при  его сферическом движении можно определять как в мгновенно вращательном движении,  так и по формулам сложного движения.

55. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение.

Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного со скоростью , направленной параллельно оси Аа (рис.63), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величи­ны и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо­значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае и , откуда .

 

Рис.63

 

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящей­ся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной ско­рости и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна . Следовательно,

.

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом .