5. Описание процессов в электрических цепях. Методы анализа процессов в цепях.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в ветвях, которые подходят к любому узлу цепи, равно нулю .

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений и ЭДС в контуре равна нулю. Обход совершается в произвольно выбранном направлении суммированием с учетом знака .

Полный анализ процессов в цепи заключается в определении токов всех ветвей или, что эквивалентно, определении потенциалов всех узлов. Методы анализа вытекают из первого и второго законов Кирхгофа. При определении токов ветвей цепи по первому закону составляется система алгебраических уравнений. Число уравнений равно числу ветвей минус единица. Уравнения по второму закону записываются для независимых замкнутых контуров. Число независимых контуров определяется разность числа ветвей и контуров минус один.

6. Частотная характеристика цепи.

Частотная характеристика описывает свойства цепи в частотной области и определяется как отношение амплитуды комплексного сигнала на выходе к амплитуде комплексного сигнала на входе цепи H(ω)=Ů₂/ Ů₁. В общем случае частотная характеристика является комплексной величиной и ее можно представить в виде H(ω)=Re[H(ω)]+iIm[H(ω)] или H(ω)= H(ω)|e^iφ_н^(ω), где |H(ω)|=, φ_н(ω)=arctg.

7. Амплитудно-частотная характеристика цепи (АЧХ) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Модуль |H(ω)| представляет амплитудно-частотную характеристику цепи (АЧХ) |H(ω)|=, аргумент φ_н(ω)=arctg - фазо-частотную характеристику цепи (ФЧХ). АЧХ является четной симметричной функцией частоты, а ФЧХ – нечетно симметричной. Поэтому их графики приводятся только для положительных значений частоты. АЧХ и ФЧХ можно рассматривать как основные характеристики цепи. Обеспечиваются они набором элементов цепи – резисторов, емкостей и катушек индуктивностей и связью между ними – структурой цепи.

Схематичные графики АЧХ (1) и ФЧХ (2):

8. Комплексное сопротивление RC-цепи.

Для RC-цепи при последовательном соединении элементов комплексное сопротивление цепи определяется как u=Ri, Z=R => Z=R+1/iωC (оставит место, чтобы дописать формулы из лекций и стереть эту надпись)

RC-цепь и векторная диаграмма его комплексного сопротивления:

При параллельном соединении элементов 1/Z=1/R+iωC, Z=R/(1+iωRC).

9. Комплексное сопротивление RL-цепи.

Для RL-цепи комплексная проводимость при последовательном соединении элементов определяется выражением Z=R+iωL.

RL-цепь и векторная диаграмма его комплексного сопротивления:

При параллельном соединении элементов 1/Z=1/R+1/iωL, Z=.

10. Четырехполюсники, основные понятия и определения. Активные и пассивные четырехполюсники.

Четырехполюсником называется структура, имеющая два зажима для входа и два для выхода. Рассматривается четырехполюсник как «черный ящик», который характеризуется только величинами комплексных амплитуд напряжения и тока на входе и выходе. Элементы, входящие в систему четырехполюсника, называют двухполюсниками.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. Пассивными называются те, которые не содержат источники ЭДС или тока, включают только пассивные элементы. Четырехполюсники, содержащие источники энергии, называются активными.

11. Классификация четырехполюсников.

Различают следующие виды четырёхполюсников:

–линейный и нелинейный;

Линейные – четырехполюсник, который не содержит нелинейных элементов.

Нелинейный – четырехполюсник, который содержит хотя бы 1 нелинейный элемент

–пассивный и активный;

Активный – четырехполюсник, содержащий источники энергии

Пассивный – четырехполюсник, не содержащий источников энергии

–обратимый и необратимый;

Обратимым называется четырехполюсник, в котором выполняется теорема обратимости(передаточные сопротивления не зависят от того, входная или выходная пара зажимов). В противном случае четырехполюсник называется необратимым

–симметричный и несимметричный

Симметричными называются те, у которых сопротивления по обе стороны от вертикальной оси, проведенной через центр четырехполюсника, равны; в противном случае четырехполюсник несимметричный

–уравновешенный и неуравновешенный

Уравновешенный(схема симметрична относительно продольной оси), неуравновешенный(1 из элементов может быть соединен с зажимом другой пары)

— с сосредоточенными и распределенными элементами.

12. Уравнения четырехполюсника, системы параметров.

13. Система Z-параметров четырехполюсника.

Если в качестве независимых переменных принять комплексные величины токов на входе и выходе четырехполюсника, то система уравнений будет иметь вид:

Ů₁= Z₁₁İ₁+Z₁₂ İ₂

Ů₂= Z₂₁İ₁+Z₂₂İ₂

Коэффициенты уравнений образуют матрицу Z-параметров четырехполюсника. Матрица имеет размер 2 на 2.

Z₁₁, Z₁₂

Z₂₁, Z₂₂

Все элементы Z матрицы имеют размерность сопротивления.

14. Система A-параметров четырехполюсника.

Если в качестве независимых переменных принять комплексные амплитуды напряжения и тока на выходе, то уравнения, описывающие четырехполюсник, будут иметь вид:

Ů₁= A₁₁Ů₂+A₁₂ İ₂

İ₁= A₂₁ Ů₂+A₂₂İ₂

Матрица уравнений имеет вид

A₁₁, A₁₂

A₂₁, A₂₂

15. Z-матрица T-образной схемы четырехполюсника.

Чтобы найти Z-матрицу этой цепи, запишем уравнения, получаемые в соответствии со вторым законом Кирхгофа, выполняя обход элементов Z₁ и Z₃ со стороны входа и элементов Z₂ и Z₃ со стороны выхода.

Т-образная схема:

Ů₁= Z₁İ₁+Z₃ (İ₁+İ₂)

Ů₂= Z₂İ₂+Z₃(İ₁+İ₂)

Или

Ů₁= (Z₁+ Z₃)İ₁+Z₃İ₂

Ů₂= Z₃İ₁+ (Z₂+ Z₃)İ₂

Соответственно Z-матрица будет выглядеть так:

Z₁+Z₃, Z₃

Z₃, Z₂+Z_3.

16. Понятие характеристического сопротивления четырехполюсника.

Характеристическим сопротивлением четырехполюсника Z_c называется среднегеометрическое из входных сопротивлений холостого хода Z и короткого замыкания Z₀.

17. Определение характеристического сопротивления с использованием A-параметров.

При сопротивлении нагрузки, равном нулю (режим короткого замыкания), т.е. при Ů₂=0, уравнения четырехполюсника системы A-параметров примут вид Ů₀₁=A₁₂İ₂, İ₀₁=A₂₂İ₂. Входное сопротивление в этом случае определяется соотношением Z₀= Ů₀₁/ İ₀₁=A₁₂/A₂₂.

При холостом ходе, когда Z₂=и İ₂=0, уравнения четырехполюсника примут вид Ů=A₁₁Ů₂, İ=A₂₁Ů₂. Входное сопротивление равно Z= Ů₀₁/ İ₀₁=A₁₁/A₂₁.

Таким образом, при передаче слева направо выражение для характеристического сопротивления получим в виде . При передаче справа налево . Приведенные выражения, что характеристические сопротивления четырехполюсника зависят только от его параметров и не зависят от параметров внешней цепи. Для симметричного четырехполюсника A₁₁=A₂₂, следовательно, Z_c1=Z_c2. Таким образом, характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника не зависит от направления передачи.

18. Постоянная передачи четырехполюсника.

Для оценки потерь мощности сигнала в четырехполюснике используется понятие постоянной передачи, обозначение которой g. Постоянной передачи четырехполюсника называется величина, равная половине натурального логарифма отношения комплексной мощности сигнала на входе и выходе четырехполюсника при подключении сопротивлений, равных характеристическим.

.

19. Постоянная затухания и фазовая постоянная, понятие, определение.

В общем случае параметры четырехполюсника являются комплексными величинами, комплексной величиной является и постоянная передачи. g=b+ia. Действительная величина b называется постоянной затухания, а – фазовой постоянной. Постоянная затухания измеряется в неперах и децибелах, фазовая постоянная – в радианах. Постоянная затухания характеризует потери мощности в четырехполюснике при подключении к нему сопротивлений, равных характеристическим. Фазовая постоянная характеризует сдвиг фаз между сигналами на входе и выходе четырехполюсника.

b=ln|| неп. a=arctg() рад.

20. Фильтрующие цепи, виды фильтров, фильтры без потерь.

В системах различного назначения часто используются цепи, выполняющие фильтрующие функции – выделяющие сигналы или их составляющие. Такие цепи называются фильтрами. Под фильтром понимается пассивный четырехполюсник, пропускающий сигналы (их составляющие) в определенной полосе частот с небольшим затуханием и задерживающий их вне этой полосы.

В зависимости от диапазона пропускаемых составляющх сигнала различают:

-фильтры нижних частот (ФНЧ),

-фильтры верхних частот (ФВЧ),

- полосовые фильтры (ПФ),

-заградительные фильтры (ЗФ).

Фильтры без потерь: Ранее полученное уравнение для постоянной передачи запишем в виде

e^g=e^be^ia==r+iX. Для Т- и П-образных схем запишем e^g=e^be^ia=1+Z₁/2Z₂+.

В четырехполюснике без потерь b=0, следовательно, можно записать e^ia= эта величина является комплексной, исходя из этого, получим границы полосы пропускания фильтра -1 ≤ Z₁/4Z₂ ≤ 0.

21. Фильтры нижних частот, их схемы.

Фильтры нижних частот (ФНЧ) – цепи пропускающие составляющие сигнала не выше определенного значения частоты, которое называется верхней частотой среза. Частотный диапазон пропускания 0 ≤ ω ≤ ω₀.

22. Фильтры верхних частот, их схемы.

Фильтры верхних частот (ФВЧ) – цепи, пропускающие составляющие сигнала не ниже определенного значения частоты, которое называется нижней частотой среза. Частотный диапазон пропускания ω₀ ≤ ω ≤ ∞

.

23. Полосовые фильтры, их схемы.

Полосовые фильтры (ПФ) – цепи, пропускающие составляющие сигнала только в определенной полосе частот.

24. Заградительные фильтры, их схемы.

Заградительные (или режекторные) фильтры (ЗФ) – цепи, пропускающие составляющие сигнала во всем диапазоне частот, за исключением определенного диапазона.

25. Методы анализа линейных цепей. Метод составления и решения уравнений.

Содержанием анализа электрических цепей является описание их свойств и прохождения через них сигналов. Методы анализа определяются в первую очередь областью проводимого анализа, в том числе временной и частотной, и выбранными характеристиками цепи. Можно выделить следующие методы, нашедшие применение в практике исследований:

– метод анализа во временной области, основанный на решении дифференциальных уравнений, описывающих прохождение сигнала через цепь на основе законов Кирхгофа;

– метод анализа во временной области с использованием импульсной характеристики цепи – метод наложения;

– спектральный метод с проведением анализа в частотной области на основе преобразования Фурье;

– операторный метод с проведением анализа в области комплексного параметра на основе преобразования Лапласа.

Используя законы Кирхгофа, можно дать описание сигнала в цепи. В результате анализа получается система дифференциальных и интегральных уравнений.

где τ = L/R где

Решение записанных уравнений дает описание тока или напряжения в цепи при заданном виде сигнала (ЭДС) на входе.

Уравнения, описывающие сигнал в цепи, могут быть интегральными и дифференциальными различных порядков. В конечной итоге они могут быть приведены к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. В общем случае получаемое дифференциальное уравнение – это неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка.

Порядок дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Цепи, которые содержат резистор R и один из элементов L или C, описываются дифференциальными уравнениями первого порядка; цепи, которые содержат два элемента L или C, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка и т.д.

26. Временные методы анализа линейных цепей.

27. Линейные цепи первого порядка.

Линейными цепями первого порядка являются цепи, содержащие резистор и один емкостной или индуктивный элемент: RC- и RL-цепи.

Они описываются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Дифференциальное уравнение RC-цепи имеет вид где - постоянная времени цепи.

Для RL-цепи запишем

28. Методы анализа линейных цепей, метод наложения.

Содержанием анализа электрических цепей является описание их свойств и прохождения через них сигналов. Методы анализа определяются в первую очередь областью проводимого анализа, в том числе временной и частотной, и выбранными характеристиками цепи. Можно выделить следующие методы, нашедшие применение в практике исследований:

– метод анализа во временной области, основанный на решении дифференциальных уравнений, описывающих прохождение сигнала через цепь на основе законов Кирхгофа;

– метод анализа во временной области с использованием импульсной характеристики цепи – метод наложения;

– спектральный метод с проведением анализа в частотной области на основе преобразования Фурье;

– операторный метод с проведением анализа в области комплексного параметра на основе преобразования Лапласа.

В ряде случаев эффективным и в то же время достаточно простым методом анализа линейной цепи во временной области является метод наложения. Он основан на принципе суперпозиции, который позволяет получить довольно простое выражение для определения сигнала на выходе цепи при известном входном сигнале.