крат курс сопромат 2

17

Это проверочный расчет (проверка прочности). В этом случае известны внешняя нагрузка, сечение стержня и его материал. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

σ max ≤ [σ ] .

Подбор сечения (проектный расчет). По заданной нагрузке определяются размеры поперечного сечения стержня из известного мате- риала через осевой момент сопротивления:

W≥ max M x .

x[σ ]

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции при выполне- нии условия прочности

max M x ≤ [σ ] Wx .

Поперечный изгиб

При поперечном изгибе в сечении балки возникают изгибающий момент ( M x ) и поперечная сила ( Qy ). Поперечная сила представляет

собой равнодействующую неравномерно распределенных по высоте попе- речного сечения, лежащих в плоскости сечения касательных напряжений

(τ ).

В свою очередь, касательные напряжения способствуют появлению угловых деформаций γ , которые также по высоте сечения будут неравно- мерно распределены. Поперечные сечения не остаются плоскими, они искривляются (депланируются), т. е. гипотеза плоских сечений не выпол- няется.

Выясним условия, при которых влиянием депланации сечения, вызываемой поперечной силой, можно пренебречь. Для этого выясним зависимость касательных напряжений от поперечной силы и от геометри- ческих характеристик сечения.

Все гипотезы, принятые при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе, остаются справедливыми и в нашем слу- чае.

Выделим из балки, которая испытывает деформацию поперечного изгиба, элемент длиной dz (рис. 8.12, а). Здесь изгибающие моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину dM x .

Таким образом, первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

19

Таким образом, величина касательных напряжений τ в поперечных сечениях балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейтраль- ному слою, определяются по формуле

τ= Q S отс

x,

I x b

где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки;

Sxотс – статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; I x – момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; b – ширина поперечного сечения на том уровне, на котором определяются касательные напряжения τ . Здесь для простоты индекс y при τ и Q не указан.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоугольном сечении балки, изображенном на рис. 8.13, а.

Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяя- ются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы. При y = ± h2 напряжения τ = 0 . Наибольшие напряжения имеются в точках

При сечении любой другой формы характер изменения τ по высоте сечения будет зависеть от того, по какому закону изменяется отношение

Sxотс b .

21

Вопросы для самопроверки

1.Что называется прямым изгибом?

2.Что называется чистым и поперечным изгибом?

3.Что называется балкой?

4.Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении балки при поперечном изгибе и как они вычисляются?

5.Какие правила знаков приняты для поперечной силы и изгибающего момента?

6.Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию?

7.Какие уравнения равновесия используются для определения значений опорных реакций простой балки?

8.Что представляют собой эпюры поперечных сил и изгибающих момен- тов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?

9.Чему равна поперечная сила в сечении балки, в котором изгибающий момент достигает экстремального значения?

10.Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов на участке балки, во всех сечениях которого поперечная сила равна нулю?

11.Как изменяется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложе- на сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки?

12.Как изменяется изгибающий момент в сечении, в котором к балке при- ложен сосредоточенный внешний момент?

13.Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов для балки, заделанной одним концом, от сосредоточенной силы, перпендикулярной к оси балки, приложенной на ее свободном конце?

14.Как формулируется гипотеза плоских сечений?

15.Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?

16.Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе?

17.Какие напряжения возникают в поперечном сечении балки при чистом изгибе, как они направлены, как они изменяются по высоте балки и как вычисляются?

18.Что называется жесткостью поперечного сечения при изгибе?

19.Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

20.По какой формуле определяются касательные напряжения в попереч- ных сечениях балки при прямом поперечном изгибе?

21.Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?

22.В чем заключается условие прочности по нормальным напряжениям?

1

Лекция № 9

Определение перемещений при изгибе

Линейные и угловые перемещения балки

Под действием внешних сил, расположенных в силовой плоскости, проходящей через ось симметрии поперечного сечения прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости; при этом точки оси перемещаются (рис. 9.1). Напомним, что изогнутая ось балки называется упругой линией.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение В, соответствующее одноименной точке на оси балки и отстоящей от начала координат на расстоянии z1 .

Перемещение центра тяжести сечения В по направлению перпендикулярному к недеформированной оси балки (вдоль оси y – ВВ1 ) будем называть прогибом балки в этом сечении и обозначать как w (w = ВВ1 ). На рис. 9.1 прогиб показан положительным.

Смещение центра тяжести сечения В по горизонтали u (вдоль оси z ) будем считать весьма малым по сравнению с прогибом и поэтому при расчетах его не учитывать (u << w).

Угол поворота сечения В1 обозначим как α , который вследствие гипотезы плоских сечений оказывается равным углу наклона между касательной, проведенной к упругой линии, и недеформированной осью балки, и в силу малости

α ≈ tgα = dwdz .

Прогиб w и угол поворота α будем считать новыми характеристиками происходящей деформации.

Новые характеристики деформации балки w и α являются переменными, зависящими от координаты сечения z1 и позволяют количественно оценить искажения формы конструкции при действии внешних сил при изгибе.

Часто прогибы называют линейными перемещениями оси балки, а

углы поворота – угловыми перемещениями.

2

Дифференциальное уравнение упругой линии

Раннее было установлено, что мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя

=M x .

ρE I x

Сдостаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом

можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Тогда возникает задача составления уравнения для функции прогиба по известному закону изменения ее кривизны.

Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны, в прямоугольных декартовых координатах

(y0z):

линии. Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб wmax мал по сравнению с длиной L ( wmax L << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

dw = tgα ≈ w , dz L

и, следовательно, величиной (dwdz)2 << 1, стоящей в знаменателе точного дифференциальное уравнение упругой линии, можно пренебречь по сравнению с единицей.

Тогда получим следующее линейное дифференциальное уравнение упругой линии

Это приближенное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой линии.

Выбор знака определяется принятой системой координат. Для системы координат, показанной на рис. 9.2, имеем одинаковые знаки для момента Mx и кривизны K ≈ d 2 wdz 2 . Следовательно, дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь следующий вид

3

В дальнейшем будем пользоваться системой координат, показанной на рис. 9.2, и дифференциальным уравнением упругой линии в виде

M x = E I x d 2 w . dz 2

Метод непосредственного интегрирования

Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования (метод непосредственного интегрирования). При первом интегрировании получаем выражение

E I x dwdz = E I x α = ∫ M x dz + C ,

которое дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки.

Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

E I x w = ∫ dz∫ M x dz + C z + D ,

где постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий. Рассмотрим несколько характерных примеров определения

перемещений при изгибе.

5

Постоянные интегрирования C и D находим из двух кинематических граничных условий:

при z = 0 w(0) = 0 и вследствие симметрии при z = L2 имеем α(L2) = 0 . Отсюда из w(0) = 0 вытекает D = 0, а из α(L 2) = 0

Таким образом, искомые перемещения будут равны

поворота и прогибом в начале координат.

Простота решения рассмотренных задач объясняется тем, что в обоих случаях был всего лишь один силовой участок. Если участков два и больше, то метод непосредственного интегрирования становится весьма трудоемким и по этой причине для определения перемещений применяются другие методы, которые рассматриваются в более полных курсах по сопротивлению материалов.

Простые статически неопределимые балки

Во всех приведенных выше примерах функция изгибающего момента M x (z) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок.

непригодно, так как оно содержит неизвестный изгибающий момент M x . Попробуем это уравнение преобразовать. Для этого, с его учетом, еще раз перепишем дифференциальные зависимости при изгибе: