крат курс сопромат 2

7

Пределы применимости формулы Эйлера

Казалось бы, что полученные результаты решают задачу проверки сжато- го стержня на устойчивость, остается выбрать лишь коэффициент запаса nу .

Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получае- мых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

Дело в том, что зависимость σ кр = f(λ) была получена в предположении,

что напряжения σ кр , вызванные в стержне критической силой, не превосходят предела пропорциональности σ пц . Это следует из того, что в основу вывода

формул положено приближенное дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука. Таким образом, имеем

Правая часть полученного выражения представляет собой то наименьшее значение гибкости, при котором формула Эйлера еще применима, – это так называемая предельная гибкость λпред :

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня – его модуля упругости и предела пропорциональности.

Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной:

λ ≥ λпред .

Формула Ясинского

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких

идлинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений

идля тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности мате- риалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Надо помнить, что в сопротивлении материалов важнейшим источником получения новых знаний являются результаты эксперимента. Опыты показы- вают, что прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 при- мерно до 40. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устой- чивости прямолинейной формы равновесия, скорее всего они будут выходить

8

из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести σ т (при пластичном материале) или предела прочности σ в (при хрупких материалах).

Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стерж- ней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъ- емности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стерж- ня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100. С подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике. Как показывают опыты, критические напряжения для них получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

На основании обширного опытного материала, собранного как у нас (проф. Ясинский), так и заграницей, было установлено, что критические напря- жения при таких гибкостях меняются по закону близкому к линейному:

σ кр = a − b λ ,

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала, λ – гибкость стержня. Для стали 3 при гибкостях от 40 до 100 a = 310 МПа, b =1.14 МПа . Для дерева

(сосна): a = 29.3 МПа , b = 0.194 МПа.

Критическую силу можно получить умножая σ кр на площадь брутто

( A = Aбр ): Fкр = σ кр A .

Полный график критических напряжений

Комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов можно пост- роить полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На рис. 10. 4 приведен такой график для стали 3.

9

График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при λ ≥ 100 , наклон- ной прямой (прямая Ясинского) при 100 < λ < 40 и горизонтальной прямой, соответствующей σ кр = σ т , при λ ≤ 40 .

Таким образом, можно считать, что задача определения критических на- пряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для практичес- ких целей точностью.

Коэффициент запаса на устойчивость

Ранее было отмечено, что [σ у] = σ кр nу . Таким образом, для установле-

ния допускаемого напряжения на устойчивость [σ у ] нам остается теперь вы-

брать только коэффициент запаса nу .

На практике nу колеблется для стали в пределах от 1.8 до 3.0 и выбирает-

ся выше коэффициента запаса на прочность n , равного 1.5 – 1.6. Это объясняе- тся наличием рядом обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривиз- на, эксцентриситет действия нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и поч- ти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (растяжение, кручение, изгиб).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна nу ко-

[σ у ] = ϕ [σ ].

Здесь, ϕ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба).

Зависимость ϕ = f (λ) для каждого материала своя и устанавливается опытным путем. Обычно они для различных материалов представляются в виде таблиц, которые можно найти в любом учебнике по сопротивлению материалов или строительным конструкциям. Значения коэффициента ϕ для стали 3 приведены в табл. 10.3:

Табл. 10. 3

10

Практический расчет сжатых стержней

Наличие полной диаграммы критических напряжений и введение поня- тия коэффициента ϕ позволяет произвести подбор сечения сжатого стержня.

Вначале записываем условие устойчивости:

σ ≤ [σ у ] или FA ≤ [σ у ] , где [σ у ] = ϕ [σ ], тогда FA ≤ ϕ [σ ] .

Так как имеем одно уравнение, а неизвестных два – площадь поперечного сечения A и коэффициент ϕ , то одной из этих величин необходимо задаться, т.е. подбор приходится осуществлять путем последовательных приближений.

Поскольку 0 < ϕ < 1, то удобно задаться ϕ1 = 0.5 в первом приближении,

Заметим, что гибкость здесь удобно выражать через площадь. Аналогич- ные выражения можно получить и для других типов сечений. Далее, по вычис- ленному значению гибкости, в зависимости от заданного материала, по таблице коэффициентов ϕ , используя линейную аппроксимацию, находим ϕ11 . Обычно

левой и правой частями неравенства должна быть меньше одного процента. Если это так, то за расчетные принимаем A2 , λ2 , ϕ2 . В противном случае дела- ется третье приближение. Обычно хватает трех или четырех приближений.

Заметим, что окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности:

где Aнет - площадь поперечного сечения в ослабленном месте стержня.

11

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается явление потери устойчивости?

2.Что называется критической силой и критическими напряжениями

3.Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?

4.Что называется гибкостью стержня?

5.Какой вид имеет формула Эйлера, определяющая величину критической силы?

6.Как влияют жесткость EI поперечного сечения и длина L стержня на вели- чину критической силы?

7.Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера?

8.Что представляет собой коэффициент приведения длины и чему он равен при различных условиях закрепления концов сжатого стержня?

9.Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?

10.Что называется предельной гибкостью?

11.Какой вид имеет формула Ясинского для определения критических напря- жений и при каких гибкостях она применяется для стержней из стали Ст. 3?

12.Как определяется критическая сила по Ясинскому?

13.Какой вид имеет полный график зависимости критических напряжений от гибкости для стальных стержней?

14.Если сжатый стержень ошибочно рассчитан по формуле Эйлера в области ее неприменимости, опасна ли эта ошибка или она приведет к перерасходу материала на изготовление стержня?

15.Какой вид имеет условие устойчивости сжатого стержня? Какая площадь поперечного стержня подставляется в это условие?

16.Что представляет собой коэффициент ϕ , как определяется его значение?

Как производится проверка стержней на устойчивость с его помощью? 17. Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?