vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

Y

kOMMUTATIWNOSTX W \TOM KONTEKSTE OZNA^AET, x TO f = f ±¼ (SM. x ? PO POWODU OB]EGO OPREDELENIQ KOMMUTATIWNYH DIAGRAMM). rEZ@MIRUEM POLU^IW[IJSQ REZULXTAT.

pREDLOVENIE. l@BOE OTOBRAVENIE f : X ¡! Y PREDSTAWLQETSQ KAK KOMPOZICIQ S@R_EKTIWNOGO I IN_EKTIWNOGO OTOBRAVENIJ.

dOKAZATELXSTWO. pO SAMOMU POSTROENI@ FAKTOR-MNOVESTW KANONI^E- SKAQ PROEKCIQ S@R_EKTIWNA: ¼(X) = Y . oSTALOSX PROWERITX LI[X, ^TO f IN_EKTIWNO. w SAMOM DELE, ESLI f(x) = f(y) DLQ NEKOTORYH KLASSOW x I y, TO PO OPREDELENI@ f TOGDA f(x) = f(y) DLQ PREDSTAWITELEJ \TIH KLASSOW. nO \TO I OZNA^AET, ^TO x y, TAK ^TO, OKON^ATELXNO, x = y.

pUSTX TEPERX f : Xn ¡! Y — OTOBRAVENIE n ARGUMENTOW. gOWORQT, ^TO ONO SOGLASOWANO S OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI », ESLI IZ TOGO,

^TO x1 » y1; : : : ; xn » yn WYTEKAET, ^TO f(x1; : : : ; xn) = f(y1; : : : ; yn). w \TOM SLU^AE MY MOVEM OPREDELITX OTOBRAVENIE f : (X=»)n ¡! Y ,

POLAGAQ f(x1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xn).

4. kOLI^ESTWO RAZBIENIJ NA BLOKI DANNYH RAZMEROW: POLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY

bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY OTWE^A@T RAZBIENIQM X NA DWA KLASSA.

4. zADA^A. sKOLXKO SU]ESTWUET TAKIH RAZBIENIJ X NA DWA KLASSA

X = Y `Z, ^TO jY j = m?

uKAZANIE. oTWET ZAWISIT OT TOGO, RASSMATRIWAEM MY RAZBIENIQ KAK POME^ENNYE ILI NET. pOSMOTRITE WNA^ALE, SKOLXKO TAKIH RAZBIENIJ W SLU^AE n = jXj = 4, m = 2.

5. pOLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. pUSTX TEPERX X – PROIZ-

WOLXNOE n-\LEMENTNOE MNOVESTWO. oBOB]AQ BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY BUDEM TEPERX RASSMATRIWATX OTOBRAVENIQ f : X ¡! m =

f1; : : : ; mg. nAPOMNIM, ^TO QDROM TAKOGO OTOBRAVENIQ NAZYWAETSQ RAZBIENIE X = X1 `: : : `Xm, GDE Xi = f¡1(i). nABOR (n1; : : : ; nm),

GDE ni = jXij, NAZYWAETSQ PORQDKOM QDRA. pRI \TOM ni – NEOTRICATELXNYE NATURALXNYE ^ISLA NE PREWOSHODQ]IE n.

6.oPREDELENIE. pUSTX jXj = n. ~ISLO WSEH OTOBRAVENIJ f :

X ¡! m, QDRO KOTORYH IMEET PORQDOK (n ; : : : ; n ), NAZYWAETSQ PO-

1 m µ ¶ n

LINOMIALXNYM KO\FFICIENTOM I OBOZNA^AETSQ n1; : : : ; nm .

bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY QWLQ@TSQ ^ASTNYM SLU^AEM POLINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW, WOZNIKA@]IMI W SITUACII, KOGDA m = 2.

rE[ENIE. wOSPOLXZUEMSQ INDUKCIEJ PO m. w SLU^AE m = 2 FORMU-

^TO MY UVE ZNAEM, ^TO DLQ OTOBRAVENIJ W m ¡ 1 FORMULA SPRAWEDLIWA.

STORONY, ^ISLO OTOBRAVENIJ X n f¡1(1) W (m ¡ 1)-\LEMENTNOE MNOVE-

dLQ ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA OSTALOSX PRIMENITX INDUKCIONNOE PREDPOLOVENIE K OGRANI^ENI@ OTOBRAVENIQ f NA X n f¡1(1).

wYRAVAQ SOMNOVITELI W PRAWOJ ^ASTI ^EREZ FAKTORIALY I PEREMNOVAQ, MY POLU^AEM QWNU@ FORMULU DLQ POLINOMIALXNYH KO\FFICENTOW.

tEOREMA. pUSTX n; n1; : : : ; nm 2 N0. eSLI n1 + : : : + nm = n, TO IMEET MESTO RAWENSTWO

µ ¶

n n!

n1; : : : ; nm = n1! : : : nm!;

µ ¶ n

W PROTIWNOM SLU^AE n1; : : : ; nm = 0.

wPRO^EM, \TOT FAKT LEGKO DOKAZATX I NEPOSREDSTWENNO, KAK SLEDSTWIE TEOREMY O SWQZI ORBIT I STABILIZATOROW.

264 NIKOLAJ WAWILOW

dOKAZATELXSTWO. pUSTX X = X1 t : : : t Xn, PRI^EM jXj = n A jXij =

ni DLQ i = 1; : : : ; m. kAVDOE RAZBIENIE X = Y1 t : : : t Yn PORQDKA (n1; : : : ; nm) QWLQETSQ OBRAZOM RAZBIENIQ (X1; : : : ; Xn) POD DEJSTWIEM

NEKOTOROGO \LEMENTA GRUPPY G = S » S , jGj = n!. tAKIM OBRAZOM,

X = n

OB]EE KOLI^ESTWO TAKIH MNOVESTW RAWNO jGY j = jG=Hj = jGj=jHj, GDE H = StabG(X1; : : : ; Xn). oSTALOSX ZAMETITX, ^TO H PREDSTAWLQET SOBOJ PODGRUPPU `NGA H = Sn1 £ : : : £ Snm , PORQDOK KOTOROJ RAWEN jHj = n1! : : : nm!

k WY^ISLENI@ POLINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW MOVNO PODOJTI I INA^E, PROWODQ INDUKCI@ NE PO m, A PO n. w SLEDU@]EJ ZADA^E MY PREDLAGAEM POLU^ITX REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE DLQ POLINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW, ANALOGI^NOE TREUGOLXNIKU pASKALQ.

9. zADA^A. dOKAVITE, ^TO

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM 0 · i · m TAKIM, ^TO ni =6 0.

rE[ENIE. zAFIKSIRUEM TO^KU x 2 X. eSLI ni = 0, TO f(x) =6 i. eSLI VE ni > 0, I f(x) = i, TO KOLI^ESTWO FUNKCIJ g : X n fxg ¡! m TAKIH,

w ^ASTNOSTI, OBY^NOE TREUGOLXNOE REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE DLQ BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW W NA[IH NOWYH OBOZNA^ENIQH ZAPI[ETSQ

A DLQ TRINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW POLU^AETSQ SLEDU@]EE TETRA\DRALXNOE REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE

7. sUMMA POLINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW. tAK KAK OB]EE ^IS-

LO OTOBRAVENIJ X ¡! m RAWNO mn, MY POLU^AEM SLEDU@]U@ FORMULU DLQ SUMMY WSEH POLINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW S FIKSIROWANNYM n.

Xµ n ¶ = mn; n1; : : : ; nm

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM (n1; : : : ; nm) TAKIM, ^TO n1 + : : : nm = n. 10. zADA^A. dOKAVITE, ^TO

X(¡1)n2+n4+n6+:::µ n ¶ = (1 ¡ (¡1)m)=2 n1; : : : ; nm

11. zADA^A. pRI IGRE W BRIDV 52 KARTY POROWNU SDA@TSQ 4 IGROKAM. sKOLXKO WOZMOVNYH NA^ALXNYH SITUACIJ MOVET PRI \TOM WOZNIKNUTX?

7. ~ISLO RAZBIENIJ NA DANNOE KOLI^ESTWO BLOKOW: ^ISLA sTIRLINGA

dLQ L@BOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA X NE SU]ESTWUET NI ODNOGO RAZBIENIQ X NA 0 KLASSOW I SU]ESTWUET ROWNO ODNO RAZBIENIE NA ODIN KLASS. sLEDU@]AQ ZADA^A PODGOTOWIT NAS K WWEDENI@ ^ISEL sTIRLINGA.

zADA^A. sKOLXKO WSEGO RAZBIENIJ X NA DWA KLASSA?

1. ~ISLA sTIRLINGA I ^ISLA bELLA. ~ISLOM sTIRLINGA WTO-

ROGO RODA Sn;m NAZYWAETSQ KOLI^ESTWO NEUPORQDO^ENNYH RAZBIENIJ n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA NA m BLOKOW. pOSKOLXKU MY NE BUDEM OBSUVDATX ^ISLA sTIRLINGA PERWOGO RODA, W DALXNEJ[EM MY NAZYWAEM Sn;m PROSTO ^ISLAMI sTIRLINGA.

oB]EE KOLI^ESTWO WSEH RAZBIENIJ n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA OBOZNA^AETSQ ^EREZ BnPI NAZYWAETSQ ^ISLOM bELLA. tAKIM OBRAZOM, PO

OPREDELENI@ Bn = Sn;m, 0 · m · n.

pERE^ISLIM WSE RAZBIENIQ MNOVESTW f1; 2g, f1; 2; 3g I f1; 2; 3; 4g:

±f1; 2g, f1g t f2g;

±f1; 2; 3g, f1; 2g t f3g, f1; 3g t f2g, f2; 3g t f1g, f1g t f2g t f3g;

±f1; 2; 3; 4g, f1; 2; 3gtf4g, f1; 2; 4gtf3g, f1; 3; 4gtf2g, f2; 3; 4gtf1g, f1; 2gtf3; 4g, f1; 3gtf2; 4g, f1; 4gtf2; 3g, f1; 2gtf3gtf4g, f1; 3gtf2gt f4g, f1; 4gtf2gtf3g, f2; 3gtf1gtf4g, f2; 4gtf1gtf3g, f3; 4gtf1gtf2g, f1g t f2g t f3g t f4g;

2.zADA^A (‘TREUGOLXNIK sTIRLINGA’). dOKAVITE, ^TO DLQ L@-

BYH n, m IMEET MESTO RAWENSTWO Sn;m = Sn¡1;m¡1 + mSn¡1;m. tEPERX, ^TOBY POLNOSTX@ WOSSTANOWITX WSE ^ISLA sTIRLINGA, DOSTATO^NO WOS-

POLXZOWATXSQ ‘GRANI^NYMI USLOWIQMI’ S0;0 = 1, Sn;0 = 0 PRI n ¸ 1 I Sn;n = 1 PRI WSEH n.

uKAZANIE. tO VE, ^TO W zADA^E ?.?. pOSMOTRITE, ^TO PROISHODIT PRI DOBAWLENII ODNOJ TO^KI. nIVE W zADA^E 5 MY POSMOTRIM, ^TO PROISHODIT PRI DOBAWLENII ODNOGO BLOKA.

zADA^A. wY^ISLITE PERWYE SEMX STRO^EK TABLICY ^ISEL sTIRLINGA. wY^ISLITE PERWYE 7 ZNA^ENIJ ^ISEL bELLA.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO DLQ m ¸ 2 WYPOLNQETSQ SLEDU@]EE REKURRENTNOE SOOTNO[ENIE DLQ ^ISEL sTIRLINGA

Xµn ¡ 1¶

Sn;m = i Si;m¡1;

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM m ¡ 1 · i · n ¡ 1.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO IMEET MESTO SLEDU@]EE REKURRENTNOE SOOTNO-

[ENIE DLQ ^ISEL bELLA Bn+1 = Pµni¶Bi, GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM

0 · i · n.

3. qDRO OTOBRAVENIQ. pUSTX f : X ¡! Y – PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE. eMU MOVNO SOPOSTAWITX RAZBIENIE MNOVESTWA X, BLOKAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ POLNYE PROOBRAZY f¡1(y) TO^EK y 2 Im(f). |TO RAZBIENIE NAZYWAETSQ QDROM OTOBRAVENIQ f I (W KOMBINATORIKE) OBOZNA^AETSQ Ker(f) ILI N(f) (OT ANGLIJSKOGO kernel ILI nucleus). iNYMI SLOWAMI, QDRO – \TO RAZBIENIE X, OTWE^A@]EE OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI, OPREDELENNOMU SLOQMI alias MNOVESTWAMI UROWNQ OTOBRAVENIQ f. dLQ \TOGO OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI x1 » x2 W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA f(x1) = f(x2).

w ALGEBRE, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ GOMOMORFIZMY ALGEBRAI^E- SKIH SISTEM, QDRO OPREDELQET NE PROSTO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA X, A KONGRU\NCI@ NA X. pO\TOMU WSE QDRO POLNOSTX@ OPREDELQETSQ ZADANIEM ODNOGO IZ SWOIH BLOKOW (OBY^NO PROOBRAZA NEJTRALXNOGO \LEMENTA) I IMENNO \TOT BLOK NAZYWAETSQ QDROM I (W ALGEBRE) OBOZNA- ^AETSQ Ker(X).

zADA^A. sKOLXKO SU]ESTWUET S@R_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ n-\LEMENT- NOGO MNOVESTWA NA m-\LEMENTNOE?

oTWET. sTOLXKO VE, SKOLXKO UPORQDO^ENNYH RAZBIENIJ n-\LEMENTNO- GO MNOVESTWA NA m BLOKOW, T.E. m!Sn;m.

x 15. sHEMY I DIAGRAMMY `NGA

oSOBENNO BOLX[U@ ROLX WO MNOGIH RAZDELAH MATEMATIKI I FIZIKI IGRA@T OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI NA KONE^NYH MNOVESTWAH. w \TOM SLU^AE OBY^NYJ SPOSOB IZOBRAVENIQ OTNO[ENIJ GRAFAMI ABSOL@TNO NE\FFEKTIWEN. dELO W TOM, ^TO GRAF OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI PREDSTAWLQET SOBOJ NESWQZNOE OB_EDINENIE POLNYH GRAFOW I IZOBRAVATX TAKOJ GRAF S NESKOLXKIMI DESQTKAMI WER[IN SOWER[ENNO

BEZYDEJNO. pO\TOMU TRADICIONNO OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI WIZUALIZIRU@TSQ DRUGIM SPOSOBOM, PRI POMO]I SHEM I DIAGRAMM `NGA.

sHEMY I DIAGRAMMY `NGA. w \TOM PUNKTE X BUDET OBOZNA^ATX n-\LEMENTNOE MNOVESTWO, W KA^ESTWE KOTOROGO OBY^NO BERUT MNOVESTWO PERWYH n NATURALXNYH ^ISEL I = f1; : : : ; ng. mY BUDEM RASSMATRIWATX OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI NA I ILI, ^TO TO VE SAMOE, RAZBIENIQ MNOVESTWA I. pUSTX I = [Xi — KAKOE-TO RAZBIENIE I NA DIZ_@NKTNYE PODMNOVESTWA X1; : : : ; Xt. qSNO, ^TO S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA (T.E. S TO^NOSTX@ DO PERESTANOWKI \LEMENTOW I, SM. x ?) OTNO[E- NIE \KWIWALENTNOSTI POLNOSTX@ OPREDELQETSQ PORQDKAMI SWOIH KLASSOW. w ^ASTNOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TO KAVDYJ IZ KLASSOW X SOSTOIT IZ POSLEDOWATELXNYH NATURALXNYH ^ISEL, I, TAKIM OBRAZOM, ESLI nm = jXmj OBOZNA^AET PORQDOK m-GO KLASSA, TO i 2 Xm W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA n1 + : : : + nm¡1 + 1 · i · n1 + : : : + nm.

w ^ASTNOSTI, n PREDSTAWLQETSQ W WIDE n = n1 + : : : + nt. l@BOJ NABOR NATURALXNYH ^ISEL º = (n1; : : : ; nt) NAZYWAETSQ RAZBIENIEM ^ISLA n. w DEJSTWITELXNOSTI, TAK KAK MY POKA INTERESUEMSQ LI[X OPISANIEM OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA, MOVNO DAVE S^ITATX, ^TO º – NEUBYWA@]EE RAZBIENIE, T.E. ^TO n1 ¸ n2 ¸ : : : ¸ nt (WO MNOGIH KNIGAH RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO RAZBIENIQ UDOWLETWORQ@]IE \TOMU DOPOLNITELXNOMU OGRANI^ENI@). tAKIE RAZBIENIQ NAGLQDNEE WSEGO PREDSTAWLQ@TSQ GRAFI^ESKI POSREDSTWOM SHEM ILI TABLIC `NGA. sHEMA `NGA IZOBRAVA@]AQ NEUBYWA@]EE RAZBIENIE º PREDSTAWLQET SOBOJ TABLICU, SODERVA]U@ n KLETOK, RASPOLOVENNYH SLEDU@]IM OBRAZOM: PERWAQ STROKA \TOJ TABLICY SODERVIT n1 KLETOK, WTORAQ — n2, I TAK DALEE WPLOTX DO POSLEDNEJ STROKI S NOMEROM t, KOTORAQ SODERVIT nt KLETOK. w KA^ESTWE PRIMERA IZOBRAZIM SHEMU `NGA PREDSTAWLQ@]U@ RAZBIENIE (6; 4; 4; 2; 1) ^ISLA 17:

nAPOMNIM, ^TO STROKI \TOJ TABLICY KODIRU@T INFORMACI@ O PORQDKAH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI n. nAPRIMER, SHEMA `NGA UNIWERSALXNOGO OTNO[ENIQ (n) SOSTOIT IZ ODNOJ STROKI, A SHEMA `NGA TOVDESTWENNOGO OTNO[ENIQ (1; : : : ; 1) — IZ n STROK, W KAVDOJ IZ KOTORYH STOIT PO ODNOJ KLETKE, T.E. IZ ODNOGO STOLBCA.

nA SHEMAH `NGA MOVNO WWODITX RAZLI^NYE OTNO[ENIQ PORQDKA, POLU^AQ TAKIM OBRAZOM INTERESNYE PRIMERY UPORQDO^ENNYH MNOVESTW. pROILL@STRIRUEM, W ^ASTNOSTI, PRIMERY, O KOTORYH POJDET RE^X W x ?. nA MNOVESTWE SHEM `NGA S n KLETKAMI MOVNO WWESTI LEKSIKOGRAFI^ESKIJ PORQDOK: IZ DWUH SHEM TA BOLX[E, U KOTOROJ BOLX[E KLETOK W PERWOJ STROKE, ILI, ESLI W PERWOJ STROKE U NIH ODINAKOWOE KOLI^ESTWO KLETOK, TA, U KOTOROJ BOLX[E KLETOK WO WTOROJ STROKE I TAK DALEE. pOLU^A@]IJSQ TAKIM OBRAZOM PORQDOK LINEEN.

nA MNOVESTWE WSEH SHEM `NGA (T.E., PO SU]ESTWU, WSEH NEUBYWA@]IH RAZBIENIJ WSEWOZMOVNYH NATURALXNYH ^ISEL) OBY^NO RASSMATRIWAETSQ DRUGOJ PORQDOK, ^ASTI^NYJ. pRI \TOM S^ITA@T, ^TO SHEMA A MENX[E SHEMY B, ESLI A MOVNO WLOVITX W B. oTNOSITELXNO \TOGO PORQDKA UVE NELXZQ SKAZATX, ^TO (n) > (1; : : : ; 1). nIVE PRIWODITSQ PRIMER WLOVENIQ SHEMY (4; 4; 2; 1; 1) W SHEMU (5; 4; 4; 3; 2) (DLQ NAGLQDNOSTI KLETKI MENX[EJ SHEMY ZA[TRIHOWANY):

pORQDOK OBOZNA^AETSQ OBY^NO SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ OBOZNA^ENIQ TOGO, ^TO xRy PI[UT x · y. tAKAQ ZAPISX NAZYWAETSQ (NESTROGIM) NERAWENSTWOM I ^ITAETSQ, NAPRIMER,

²x MENX[E ILI RAWNO y,

²x NE BOLX[E y,

²x PRED[ESTWUET y,

²x MINORIRUET y,

I MILLIONOM DRUGIH SPOSOBOW. sFORMULIRUEM E]E RAZ QWNO W \TIH OBOZNA^ENIQH DANNOE WY[E OPREDELENIE PORQDKA:

mNOVESTWO X WMESTE S RASSMATRIWAEMYM NA NEM BINARNYM OTNO[E- NIEM · NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNYM, ESLI OTNO[ENIE · UDOWLETWORQET TREM SLEDU@]IM USLOWIQM:

²x · x (REFLEKSIWNOSTX);

²x · y I y · x =) x = y (ANTISIMMETRI^NOSTX);

²x · y I y · z =) x · z (TRANZITIWNOSTX);

DLQ L@BYH x; y; z 2 X.

oBRATNOE K R OTNO[ENIE R¤ OBY^NO ZAPISYWAETSQ x ¸ y I ^ITAETSQ

²x BOLX[E ILI RAWNO y,

²x NE MENX[E y,

²x SLEDUET y,

²x MAVORIRUET y.

tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@ x ¸ y () y · x.

pRI \TOM DWA \LEMENTA x I y MNOVESTWA X NAZYWA@TSQ SRAWNIMYMI, ESLI x · y _ y · x. w PROTIWNOM SLU^AE x I y NAZYWA@T

NESRAWNIMYMI, I PI[UT x k y.

oTNO[ENIE R n NAZYWAETSQ STROGIM PORQDKOM NA X. pRI \TOM (x; y) 2 R ZAPISYWAETSQ x < y, NAZYWAETSQ (STROGIM) NERAWENSTWOM

I^ITAETSQ

²x MENX[E y,

²x STROGO MENX[E y,

²x STROGO PRED[ESTWUET y,

²x STROGO MINORIRUET y.

iNYMI SLOWAMI, x < y OZNA^AET, ^TO x · y I x 6= y. w TERMINAH OTNO[ENIQ R =< OPREDELENIE PORQDKA OZNA^AET, ^TO R \ R¤ = ? I R ¢ R µ R. pROTIWOPOLOVNOE STROGOE NERAWENSTWO x > y ^ITAETSQ

² x BOLX[E y,