vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

2)R(f) µ R(g);

3)f(x) = g(x) DLQ L@BOGO x 2 D(f).

pUSTX TEPERX f 2 Map(X; Y ) I A µ X. tOGDA f ODNOZNA^NO OPREDELQET OTOBRAVENIE g 2 Map(A; Y ), PO PRAWILU g(x) = f(x) DLQ L@BOGO x 2 A. |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ OGRANI^ENIEM (BeschrÄankung) OTOBRAVENIQ f NA A I OBOZNA^AETSQ fjA, A W NEKOTORYH KONTEKSTAH, GDE FIGURIRUET MNOGO RAZLI^NYH PODMNOVESTW I NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX W UKAZANII TOGO, ^TO, OTKUDA I KUDA OGRANI^IWAETSQ, TAKVE resXA (f) (OT ANGLIJSKOGO restriction). tAKIM OBRAZOM, OGRANI^ENIE MOVNO RASSMATRIWATX KAK OTOBRAVENIE resXA : Map(X; Y ) ¡! Map(A; Y ).

2. pRODOLVENIE OTOBRAVENIQ. nAOBOROT, ESLI ZADANO OTOBRAVENIE g 2 Map(A; Y ), TO EGO MOVNO PRODOLVITX DO OTOBRAVENIQ f 2 Map(X; Y ), WOOB]E GOWORQ, MNOGIMI RAZLI^NYMI SPOSOBAMI. l@BOE OTOBRAVENIE f 2 Map(X; Y ) TAKOE, ^TO fjA = g, NAZYWAETSQ PRODOLVENIEM OTOBRAVENIQ g. iNOGDA, OSOBENNO ESLI PRI \TOM PROISHODIT IGRA NE TOLXKO S OBLASTX@ OPREDELENIQ, NO I S OBLASTX@ ZNA^ENIJ, GOWORQT TAKVE O SUVENII (EinschrÄankung) I RAS[IRENII OTOBRAVENIJ.

kOMMENTARIJ. oSOBENNYJ INTERES BUDUT PREDSTAWLQTX DLQ NAS SLU^AI, KOGDA W

KAKOM-TO KLASSE OTOBRAVENIJ SU]ESTWUET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE: PRODOL-

VENIE PO LINEJNOSTI, PRODOLVENIE DO GOMOMORFIZMA I T.D. tAKIE SITUACII OPREDE-

LQ@T TAK NAZYWAEMYE UNIWERSALXNYE ILI SWOBODNYE OB_EKTY, PRIMERAMI KOTORYH QWLQ@TSQ, SREDI PRO^EGO, SWOBODNYE MODULI (W ^ASTNOSTI, WEKTORNYE PROSTRANSTWA I SWOBODNYE ABELEWY GRUPPY); SWOBODNYE GRUPPY; GRUPPOWYE I POLUGRUPPOWYE ALGEBRY (W ^ASTNOSTI, KOLXCA MNOGO^LENOW, MNOGO^LENOW lORANA I T.D.), TENZORNYE, SIMMETRI^ESKIE I WNE[NIE ALGEBRY I T.D. tAKVE I W ANALIZE TAKIE SITUA-

CII ^REZWY^AJNO WAVNY (PRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI, ANALITI^ESKOE PRODOLVE-

NIE), A NEKOTORYE BOLX[IE RAZDELY MATEMATIKI, TAKIE KAK TEORIQ OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, ZANIMA@TSQ PO^TI ISKL@^ITELXNO IZU^ENIEM WOZMOVNOSTI PRODOLVENIQ OTOBRAVENIJ, ZADANNYH NA^ALXNYMI ILI KRAEWYMI USLOWIQMI (ZADA^A kO[I, ZADA^A dIRIHLE I T.D.).

x 18. oBRAZY I PROOBRAZY

wAVNEJ[IMI PONQTIQMI, S KOTORYMI NA^INA@]IJ DOLVEN POLNOSTX@ OSWOITXSQ, S TEM, ^TOBY SOZNATELXNO ISPOLXZOWATX OTOBRAVENIQ I PONIMATX IH SWOJSTWA, QWLQ@TSQ PONQTIQ OBRAZA I PROOBRAZA.

1. oBRAZ PODMNOVESTWA. pUSTX f : X ¡! Y I A µ X. tOGDA f(A) = ff(x) j x 2 Ag NAZYWAETSQ OBRAZOM MNOVESTWA A OTNOSITELXNO (ILI POD DEJSTWIEM) OTOBRAVENIQ f. oTMETIM TRI ^ASTNYH SLU^AQ \TOGO OPREDELENIQ:

a)f(?) = ?;

b)dLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNQETSQ f(fxg) = ff(x)g;

c)oBRAZ f(X) OBLASTI X = D(f) POD DEJSTWIEM f OBOZNA^AETSQ OBY^NO Im(f) (OT ANGLIJSKOGO image) I NAZYWAETSQ OBRAZOM OTOBRAVENIQ f. iNYMI SLOWAMI, Im(f) – \TO MNOVESTWO TAKIH y 2 Y , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET TAKOE x 2 X, ^TO f(x) = y.

2.pROOBRAZ I POLNYJ PROOBRAZ \LEMENTA. wOOB]E GOWORQ, DLQ y 2 Im(f) MOVET SU]ESTWOWATX MNOGO x SO SWOJSTWOM f(x) = y. l@BOJ x 2 X TAKOJ, ^TO f(x) = y NAZYWAETSQ PROOBRAZOM y (pre-image). w NEKOTORYH SITUACIQH PRINQTO GOWORITX OB OBRATNOM OBRAZE y (inverse image) SRAWNI OPREDELENIE OBRATNOJ FUNKCII NIVE I OBRATNOGO OTNO[ENIQ W x 3.

mNOVESTWO WSEH PROOBRAZOW NEKOTOROGO y 2 Y OBOZNA^AETSQ f¡1(y) I NAZYWAETSQ POLNYM PROOBRAZOM \LEMENTA Y (A W GEOMETRI^ESKOM KONTEKSTE SLOEM f NAD y ILI MNOVESTWOM UROWNQ f, OTWE^A@]IM ZNA^ENI@ y). rAZUMEETSQ, ESLI y 2= Im(f), TO f¡1(y) = ?.

wOOB]E, DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA B µ Y EGO POLNYJ PROOBRAZ f¡1(B) OPREDELQETSQ KAK f¡1(B) = fx 2 X j f(x) 2 Bg. qSNO, ^TO f¡1(B) = [f¡1(y), y 2 B.

zADA^A. pUSTX Y µ X, ¶ : Y ,! X – KANONI^ESKOE WLOVENIE. tOGDA DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA Z µ X IMEEM ¶¡1(Z) = Z \ Y .

3. kOLLIZIQ OBOZNA^ENIJ. pREDPOLOVIM, ^TO PODMNOVESTWO A µ X SAMO QWLQETSQ \LEMENTOM X. kAK RAZLI^ITX ZNA^ENIE FUNKCII f NA \LEMENTE A I EE OBRAZ NA PODMNOVESTWE A, ESLI I TO I DRUGOE OBOZNA^A- ETSQ ^EREZ f(A)? kURATOWSKIJ I mOSTOWSKIJ [KM] WWODQT OBOZNA^ENIE f1(A) DLQ OBRAZA NA PODMNOVESTWE A, T.E. Im(fjA). pRI \TOM ONI SMELO PI[UT f¡1(A), A WEDX ISPOLXZOWANIE \TOGO OBOZNA^ENIQ WEDET TO^NO K TAKOJ VE DWUSMYSLENNOSTI! Nobody is perfect.

kAK POKAZYWAET SLEDU@]AQ ZADA^A, \TO NESOWER[ENSTWO OBOZNA^E- NIJ MOVET PRIWODITX K SERXEZNYM O[IBKAM ([Bu], ZADA^A II–3–11).

zADA^A. nAJTI O[IBKU W SLEDU@]EM RASSUVDENII: pUSTX N — MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, A — MNOVESTWO CELYH ^ISEL n > 2, DLQ KOTORYH SU]ESTWU@T TRI TAKIH STROGO POLOVITELXNYH CELYH ^ISLA x; y; z, ^TO xn +yn = zn. mNOVESTWO A NEPUSTO (INA^E GOWORQ, “WELIKAQ TEOREMA fERMA” NEWERNA). w SAMOM DELE, PUSTX B = fAg I C = fNg; TAK KAK B I C – MNOVESTWA, SOSTOQ]IE IZ EDINSTWENNOGO \LEMENTA, TO SU]ESTWUET BIEKCIQ f MNOVESTWA B NA MNOVESTWO C. tAKIM OBRAZOM, f(A) = N; ESLI BY A BYLO BY PUSTO, TO MY POLU^ILI BY N = f(?) = ?, ^TO ABSURDNO.

SLEDU@]EE UTWERVDENIE: PROEKCIQ NA PRQMU@ PERESE^ENIQ UBYWA@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI MNOVESTW NA PLOSKOSTI RAWNA PERESE^ENI@ IH PROEKCIJ.

nEZADA^A132. zA 20 SEKUND NAJTI O^EWIDNYJ KONTRPRIMER K UTWERVDENI@ lEBEGA.

rE[ENIE. zAFIKSIRUEM x 2 R I RASSMOTRIM MNOVESTWA Xn = f(x; y) j 0 < y < 1=ng, n 2 N. tOGDA TXn = ?. w TO VE WREMQ pr1(Xn) = fxg DLQ L@BOGO n 2 N, TAK ^TO Tpr1(Xn) = fxg.

lEMMA W RABOTE lEBEGA BYLA SFORMULIROWANA BEZ DOKAZATELXSTWA, WIDIMO ON S^ITAL EE O^EWIDNOJ. kONTRPRIMER K \TOMU O^EWIDNOMU UTWERVDENI@ BYL OBNARUVEN mIHAILOM sUSLINYM W 1916 GODU I PRIWEL sUSLINA I lUZINA K SOZDANI@ TEORII ANALITI^ESKIH MNOVESTW. ‘o^EWIDNYE’ (NO NEWERNYE!) UTWERVDENIQ — ODIN IZ OSNOWNYH ISTO^NIKOW MATEMATI^ESKIH O[IBOK, NARQDU S NEPRAWILXNYM CITIROWANIEM ^UVIH REZULXTATOW.

sAMO OPREDELENIE SLOWA O^EWIDNO SOWER[ENNO NE QWLQETSQ O^EWIDNYM: Ce que l'un voit, l'autre ne le voit pas. sTIWEN kRANC133 PERESKAZYWAET SLEDU@]IJ FRAGMENT pRINSTONSKOGO FOLXKLORA: “In the fifties, it was said in Princeton that there were four definitions of the word “obvious”. If something was obvious in the sense of Beckenbach, then it is true and you can see it immediately. If something is obvious in the sense of Chevalley, then it is true and it will take you several weeks to see it. If something is obvious in the sense of Bochner, then it is false and it will take you several weeks to see it. If something is obvious in the sense of Lefschetz, then it is false and you can see it immediately.” tAM VE ON WSPOMINAET OPREDELENIE TEOREMY, “WERNOJ W SMYSLE kARTANA”: “A theorem was true in the sense of Cartan, if Grauert could not find a counterexample in the space of one hour.”

x 19. uRAWNITELX OTOBRAVENIJ

sEJ^AS MY WWEDEM E]E ODNU IZ WAVNEJ[IH KONSTRUKCIJ, SWQZANNYH S OTOBRAVENIQMI, KOTORAQ OB_QSNQET, ^TO TAKOE NA SAMOM DELE RE[ENIE URAWNENIJ, O KOTOROM STOLXKO GOWORITSQ W [KOLXNOM KURSE MATEMATIKI.

1. uRAWNITELX. wOT E]E ODIN WAVNEJ[IJ SLU^AJ RASSLOENNYH PROIZWEDENIJ.

oPREDELENIE. pUSTX f; g : X ¡! Y — DWA OTOBRAVENIQ S ODNOJ I TOJ VE OBLASTX@ I KOOBLASTX@. iH URAWNITELEM NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO

E = Eq(f; g) = fx 2 X j f(x) = g(x)g µ X:

iSPOLXZUEMOE NAMI OBOZNA^ENIE Eq(f; g) PODSKAZANO ANGLIJSKIM NA-

132David Gale, We all make mistakes II — Math. Int., 1992, V.14, N.1, P.54.

133S.G.Krantz, Mathematical anecdotes. — Math. Int., 1990, vol.12, N.4, p.32–38.

ZWANIEM equaliser*, KOTOROE W NEKOTORYH BOLEE NOWYH KNIGAH PEREDAETSQ PO-RUSSKI BEZ ZATEJ KAK \KWALIZATOR ILI WOWSE \KWALAJZER! s DRUGOJ STORONY, WO MNOGIH STARYH KNIGAH URAWNITELX NAZYWAETSQ RAZNOSTNYM QDROM ILI DAVE BEZZASTEN^IWO PROSTO QDROM (OT ANGLIJSKOGO difference kernel). |TA POSLEDNQQ TERMINOLOGIQ KRAJNE NEUDA^NA, KAK DLQ MNOVESTW, GDE MY PRIDALI SLOWU QDRO SOWER[ENNO DRUGOJ SMYSL, TAK I W OB]EM SLU^AE. nAPRIMER, W TEORII GRUPP URAWNITELQMI QWLQ@TSQ PROIZWOLXNYE PODGRUPPY, W TO WREMQ KAK QDRAMI LI[X NORMALXNYE PODGRUPPY! kROME TOGO, URAWNITELI DEJSTWITELXNO OTWE^A@T ZA RE[ENIE URAWNENIJ.

zADA^A: URAWNIWA@]IE OTOBRAVENIQ. pUSTX E – URAWNITELX PARY f; g. dOKAVITE, ^TO TOGDA WLOVENIE i : E ¡! X DEJSTWITELXNO QWLQETSQ URAWNIWA@]IM OTOBRAVENIEM DLQ OTOBRAVENIJ f I g.

|TO ZNA^IT, ^TO

i)f ± i = g ± i, I, WO-WTORYH, ^TO i QWLQETSQ UNIWERSALXNYM OTOBRAVENIEM S TAKIM SWOJSTWOM, T.E. WYPOLNQETSQ SLEDU@]EE USLOWIE.

ii)dLQ L@BOGO MNOVESTWA Z I L@BOGO OTOBRAVENIQ h : Z ¡! X

TAKOGO, ^TO f ± h = g ± h, SU]ESTWET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE k : Z ¡! E TAKOE, ^TO h = i ± k.

2. rE[ENIE URAWNENIJ. mY OSTANOWILISX NA TERMINE URAWNITELX NE IZ PO^WENNYH SOOBRAVENIJ (Mein Reich ist in der Luft), A ISKL@^ITELXNO DLQ TOGO, ^TOBY POD^ERKNUTX, ^TO RE^X ZDESX IDET, PO SU]ESTWU, OB OSNOWNOJ TEME [KOLXNOJ ALGEBRY — RE[ENII URAWNENIJ. rE[ITX URAWNENIE f(x) = g(x) NA QZYKE TEORII MNOVESTW OZNA^AET NAJTI URAWNITELX Eq(f; g). pRI \TOM \LEMENTY \TOGO URAWNITELQ, T.E. TE \LEMENTY x 2 X, DLQ KOTORYH FAKTI^ESKI WYPOLNQETSQ RAWENSTWO f(x) = g(x), NAZYWA@TSQ RE[ENIQMI ILI, W NEKOTORYH SITUACIQH, KORNQMI \TOGO URAWNENIQ.

nAPRIMER, W SLU^AE, KOGDA X = Y = K ESTX NEKOTOROE POLE,

Eq(f; g) = Eq(f ¡ g; 0);

TAK ^TO WY^ISLENIE L@BYH URAWNITELEJ SWODITSQ K SRAWNENI@ FUNKCII S POSTOQNNOJ FUNKCIEJ 0 = co0. |LEMENTY x 2 K, DLQ KOTORYH f(x) = 0 NAZYWA@TSQ W \TOM SLU^AE KORNQMI FUNKCII f. nE BUDET

*sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO ZDESX, KAK I WS@DU W NASTOQ]EM KURSE, MY ISPOLXZUEM ISKL@^ITELXNO BRITANSKU@ ORFOGRAFI@, AMERIKANSKOE NAPISANIE \TOGO SLOWA equalizer. w DALXNEJ[EM PODOBNYE RAZNO^TENIQ, KAK PRAWILO, NE KOMMENTIRU- @TSQ.

BOLX[IM PREUWELI^ENIEM SKAZATX, ^TO OKOLO TREH ^ETWERTEJ [KOLXNOGO KURSA ALGEBRY POSWQ]ENO RE[ENI@ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ. nAPOMNIM, ^TO ALGEBRAI^ESKIM URAWNENIEM (ILI, ESLI BYTX SOWSEM TO^NYM, CELYJ ALGEBRAI^ESKIM URAWNENIEM) NAZYWAETSQ URAWNENIE WIDA f(x) = 0, GDE f — POLINOMIALXNAQ FUNKCIQ.

tUT, PRAWDA, ESTX ODIN SU]ESTWENNYJ N@ANS. wO MNOGIH WAVNYH SITUACIQH, NAPRIMER, W SLU^AE ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ, GOWORQ O RE[ENII URAWNENIQ f(x) = g(x), OBY^NO IME@T W WIDU NAHOVDENIE URAWNITELQ FUNKCIJ f I g NE W KATEGORII MNOVESTW, A W KATEGORII MULXTIMNOVESTW, T.E. KORNI URAWNENIQ I]UTSQ WMESTE S IH S KRATNOSTQMI. |TO ZNA^IT, NAPRIMER, ^TO WE]ESTWENNYE RE[ENIQ URAWNENIJ x = 0 I x2 = 0 RAZLI^NY, POTOMU ^TO KRATNOSTX KORNQ 0 RAWNA 1 W PERWOM SLU^AE I 2 WO WTOROM, HOTQ SOOTWETSTWU@]IE TEORETIKOMNOVESTWENNYE URAWNITELI SOWPADA@T.

x 20. pREDMETY I Q]IKI

mATEMATIK (WYNIMAQ IZ GOLOWY [AR) q WYNUL IZ GOLOWY [AR.

q WYNUL IZ GOLOWY [AR. q WYNUL IZ GOLOWY [AR. q WYNUL IZ GOLOWY [AR.

aNDREJ sEMENOWI^

pOLOVX EGO OBRATNO. pOLOVX EGO OBRATNO. pOLOVX EGO OBRATNO. pOLOVX EGO OBRATNO.

dANIIL hARMS, mATEMATIK I aNDREJ sEMENOWI^

sEJ^AS MY OBSUDIM E]E ODNU TRADICIONNU@ METAFORU FUNKCII, KOTORU@ L@BQT ISPOLXZOWATX SPECIALISTY PO KOMBINATORIKE I TEORII WEROQTNOSTEJ.

1. pREDMETY I Q]IKI. wMESTO TOGO, ^TOBY BESHITROSTNO GOWORITX OB OTOBRAVENIQH, TRADICIONNAQ KOMBINATORIKA POWESTWUET O ZADA- ^AH RAZME]ENIQ, W KOTORYH TREBUETSQ RAZMESTITX n PREDMETOW PO m Q]IKAM (NAPRIMER, RASSADITX n KROLIKOW PO m KLETKAM, ZASUNUTX m [AROW W n URN, RASKRASITX n STRAN W m CWETOW I T.D.). s NA[EJ TO^- KI ZRENIQ RE^X IDET OB OTOBRAVENIQH n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA X W m-\LEMENTNOE MNOVESTWO Y , UDOWLETWORQ@]IH OPREDELENNYM OGRANI^ENIQM. pRI \TOM \LEMENTY MNOVESTWA X SOOTWETSTWU@T PREDMETAM, \LEMENTY MNOVESTWA Y — Q]IKAM, A OTOBRAVENIE f SOPOSTAWLQET

KAVDOMU PREDMETU EGO Q]IK. pRI \TOM NA OTOBRAVENIE f MOGUT NAKLADYWATXSQ TE ILI INYE USLOWIQ.

2.iN_EKTIWNYE, S@R_EKTIWNYE, BIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ. oTOBRAVENIE NAZYWAETSQ IN_EKTIWNYM, ESLI W KAVDYJ Q]IK POPADAET NE BOLEE ODNOGO OB_EKTA. pRO TAKOE OTOBRAVENIE MOVNO SKAZATX, ^TO ONO UDOWLETWORQET PRINCIPU ZAPRETA pAULI: DWA FERMIONA NE MOGUT IMETX ODIN I TOT VE NABOR KWANTOWYH ^ISEL. oTOBRAVENIE NAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM, ESLI W KAVDYJ Q]IK POPADAET HOTQ BY ODIN OB_EKT. nAKONEC, OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ BIEKTIWNYM, ESLI W KAVDYJ Q]IK POPADAET ROWNO ODIN OB_EKT, INA^E GOWORQ, ESLI ONO ODNOWREMENNO IN_EKTIWNO I S@R_EKTIWNO. mNOVESTWA IN_EKTIWNYH, S@R_EKTIWNYH I BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W Y OBOZNA^A@TSQ ^E- REZ Inj(X; Y ), Sur(X; Y ) I Bij(X; Y ), SOOTWETSTWENNO.

3.rAZLI^IMYE I NERAZLI^IMYE PREDMETY I Q]IKI. kAK PREDMETY, TAK I Q]IKI MOGUT BYTX RAZLI^IMYMI, NERAZLI^IMYMI

ILI ^ASTI^NO RAZLI^IMYMI. |TO ZNA^IT, ^TO MY MOVEM PODS^I- TYWATX ^ISLO OTOBRAVENIJ X ¡! Y S KAKIMI-TO OGRANI^ENIQMI, LIBO ^ISLO ORBIT TAKIH OTOBRAVENIJ POD DEJSTWIEM SIMMETRI^ESKIH

GRUPP SX I/ILI SY (SM. ?.?) ILI KAKIH-LIBO IH PODGRUPP. pRI \TOM MY BUDEM POLU^ATX SU]ESTWENNO RAZLI^NYE OTWETY. nAPRIMER, SU]E- STWUET m SPOSOBOW POLOVITX ODIN PREDMET W m RAZLI^IMYH Q]IKOW I EDINSTWENNYJ SPOSOB POLOVITX \TOT VE PREDMET W m NERAZLI^I- MYH Q]IKOW. s TO^KI ZRENIQ INDIWIDUALXNOGO STUDENTA SOWER[ENNO NE WSE RAWNO, KAKU@ OCENKU ON POLU^IL NA \KZAMENE, NO S TO^KI ZRENIQ STATISTIKI USPEWAEMOSTI WAVNO LI[X SKOLXKO STUDENTOW POLU^I-

LO NA \KZAMENE OCENKU PO^TI UDOWLETWORITELXNO ILI WESXMA HORO[O. w NEKOTORYH RAZDELAH KOMBINATORIKI (NAPRIMER, W TEORII GRAFOW) W \TOM KONTEKSTE OBY^NO GOWORQT O POME^ENNYH I NEPOME^ENNYH PREDMETAH I Q]IKAH.

x 21. iN_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ

sLEDU@]IJ KLASS OTOBRAVENIJ NA KAVDOM [AGU WSTRE^AETSQ W MATEMATIKE. w DEJSTWITELXNOSTI, O^ENX ^ASTO NAM NUVNY TAKIE FUNKCII, DLQ KOTORYH ZNA^ENIE ARGUMENTA x ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZNA- ^ENIEM FUNKCII f(x).

oPREDELENIE. eSLI POLNYJ PROOBRAZ f¡1(y) KAVDOJ TO^KI y 2 Y SODERVIT NE BOLEE ODNOGO \LEMENTA, TO OTOBRAVENIE f : X ¡! Y

NAZYWAETSQ IN_EKTIWNYM.

iNYMI SLOWAMI, OTOBRAVENIE f IN_EKTIWNO, ESLI DLQ L@BYH DWUH

\LEMENTOW x1; x2 2 X RAWENSTWO f(x1) = f(x2) WLE^ET RAWENSTWO x1 = x2. iN_EKTIWNYE OTOBRAVENIQ ^ASTO NAZYWA@TSQ PROSTO IN_EKCI-

QMI. sLOWO IN_EKCIQ LATINSKOGO PROISHOVDENIQ I OZNA^AET WLOVENIE. oDNAKO W RUSSKOM MATEMATI^ESKOM UZUSE TERMIN WLOVENIE OBY^NO PRIMENQETSQ TOLXKO K SITUACII, KOGDA X µ Y , PRI^EM OTOBRAVENIE A PEREWODIT KAVDYJ x W SEBQ. ~TOBY POD^ERKNUTX, ^TO f IN_EKCIQ, ISPOLXZUETSQ SPECIALXNAQ ZAPISX f : X ½ Y , A DLQ OBOZNA^ENIQ TOGO, ^TO f WLOVENIE — ZAPISX f : X ,! Y . TEXNI^ESKI STRELKA ‘½’ NAZYWAET-

SQ nrightarrowtail, A STRELKA ‘,!’, SOOTWETSTWENNO, nhookrightarrow. mNOVESTWO IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W Y OBOZNA^AETSQ ^EREZ

Inj(X; Y ).

wOZWRATIMSQ TEPERX K WOPROSU OB OBRAZE PROOBRAZA I PROOBRAZE OBRAZA, KOTORYJ MY RASSMATRIWALI W x ?.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

²OTOBRAVENIE f : X ¡! Y — IN_EKTIWNO,

²DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA A µ Y WYPOLNQETSQ RAWENSTWO A = f¡1(f(A)).

zADA^A. pOKAVITE, ^TO IN_EKTIWNOSTX OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y \KWIWALENTNA TOMU, ^TO DLQ L@BYH A; B µ X IMEET MESTO RAWENSTWO f(A\B) = f(A)\f(B). uBEDITESX, ^TO DOSTATO^NO DAVE NAKLADYWATX \TO TREBOWANIE TOLXKO NA TAKIE PARY, ^TO A \ B = ?.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO IN_EKTIWNOSTX OTOBRAVENIQ f : A ¡! B \KWIWALENTNA TOMU, ^TO DLQ L@BYH A; B µ X IMEET MESTO RAWENSTWO f(A nB) = f(A) nf(B). uBEDITESX, ^TO DOSTATO^NO DAVE NAKLADYWATX \TO TREBOWANIE TOLXKO NA TAKIE PARY, ^TO A µ B.

zADA^A. pOKAVITE, ^TO ESLI g ± f IN_EKTIWNO, TO f IN_EKTIWNO.

pRIMERY IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ. pRIWEDEM PERWYE PRIME-

RY IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ. mNOGO TAKIH PRIMEROW WSTRETITSQ NAM

WDALXNEJ[EM.

²eSLI Y µ X, TO KANONI^ESKOE WLOVENIE ,!: Y ,! X? y 7!y, IN_EKTIWNO.

²dLQ L@BYH DWUH MNOVESTW X; Y I L@BOGO OTOBRAVENIQ f : X 7!Y OTOBRAVENIE (id; f) : X 7!X £ Y , x 7!(x; f(x)), IN_EKTIWNO.

²dLQ L@BOGO MNOVESTWA X OTOBRAVENIE X 7!2X, x 7!xfg, IN_EKTIWNO (NO NIKOGDA NE QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM!)

x 22. kOLI^ESTWO IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ: PERESTANOWKI I FAKTORIALY

zDESX MY WY^ISLIM KOLI^ESTWO IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ n-\LE- MENTNOGO MNOVESTWA W m-\LEMENTNOE.

1. uBYWA@]IJ FAKTORIAL. pUSTX m; n 2 N0. wYRAVENIE

[n]m = n(n ¡ 1) : : : (n ¡ m + 1)

NAZYWAETSQ UBYWA@]IM FAKTORIALOM DLINY m. dLQ m = 0 PROIZWEDENIE PUSTO, PO\TOMU [n]0 = 1 DLQ WSEH n 2 N0. sLEDU@]IJ PROSTOJ, NO KL@^EWOJ REZULXTAT DOKAZYWAET, ^TO j Inj(X; Y )j = [jY j]jXj.

tEOREMA. eSLI jXj = m, jY j = n, TO KOLI^ESTWO WSEH IN_EKTIWNYH OTOBRAVENIJ f : X ¡! Y RAWNO [n]m = n(n ¡ 1) : : : (n ¡ m + 1).

dOKAZATELXSTWO. pUSTX X = fx1; : : : ; xng. bUDEM RASSUVDATX INDUKCIEJ PO m:

±oBRAZOM f(x1) MOVET BYTX L@BOJ \LEMENT y 2 Y , TAK ^TO DLQ NEGO IMEETSQ n WOZMOVNOSTEJ.

±oBRAZOM f(x2) MOVET BYTX L@BOJ \LEMENT y 2 X, y 6= f(x1), TAK ^TO DLQ NEGO — NEZAWISIMO OT WYBORA f(x1) — IMEETSQ n ¡ 1 WOZMOVNOSTX.

±oBRAZOM f(x3) MOVET BYTX L@BOJ \LEMENT y 2 X, y 6= f(x1); f(x2), TAK ^TO DLQ NEGO — NEZAWISIMO OT WYBORA f(x1); f(x2) — IMEETSQ n¡2

WOZMOVNOSTI.

pRODOLVAQ \TO RASSUVDENIE, MY WIDIM, ^TO DLQ OBRAZA f(xm) — KAK WSEGDA, NEZAWISIMO OT WYBORA f(x1); : : : ; f(xm¡1) — IMEETSQ n¡(m¡1) WOZMOVNOSTX. tAK KAK WSE PROIZWEDENNYE WYBORY NEZAWISIMY, NAM OSTAETSQ PEREMNOVITX POLU^IW[IESQ ^ISLA.

2. wOZRASTA@]IJ FAKTORIAL. sEJ^AS MY WWEDEM E]E ODNU WERSI@ FAKTORIALA, KOTORAQ STANOWITSQ INTERESNOJ, ESLI IN_EKTIWNOSTX NE IMEET MESTA. pUSTX m; n 2 N0. wYRAVENIE

[n]m = n(n + 1) : : : (n + m ¡ 1)

NAZYWAETSQ WOZRASTA@]IM FAKTORIALOM DLINY m. dLQ m = 0

PROIZWEDENIE PUSTO, PO\TOMU [n]0 = 1 DLQ WSEH n 2 N0.

zADA^A. nAJTI ^ISLO UPORQDO^ENNYH RAZME]ENIJ n PREDMETOW PO m Q]IKAM.

uKAZANIE. a KAK wY DUMAETE, ZA^EM MY OPREDELILI WOZRASTA@]IJ FAKTORIAL? dLQ DOKAZATELXSTWA NUVNO LI[X ZAMETITX, SKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RAZMESTITX i-J OB_EKT, ESLI i ¡ 1 OB_EKT UVE RAZME- ]ENY.

zADA^A (O TREH POROSQTAH). pERE^ISLITE WSE UPORQDO^ENNYE RAZME]ENIQ TREH POROSQT W TREH DOMIKAH. s TO^KI ZRENIQ WOLKA OT- N@DX NE WSE RAWNO NE TOLXKO TO, W KAKOM IMENNO DOMIKE (SOLOMENNOM, DEREWQNNOM ILI KAMENNOM) NAHODQTSQ POROSQTA, NO I TO, W KAKOM PORQDKE S_EDATX POROSQT, OKAZAW[IHSQ W ODNOM DOMIKE. oN MOVET NA^ATX S SAMOGO VIRNOGO ILI, NAOBOROT, OSTAWITX SAMOGO VIRNOGO NA DESERT. |TA ZADA^A WO WSEWOZMOVNYH WARIANTAH (NERAZLI^I- MYE/RAZLI^IMYE POROSQTA/DOMIKI, IN_EKTIWNOSTX/NEIN_EKTIWNOSTX, S@R_EKTIWNOSTX/NES@R_EKTIWNOSTX — ESLI POROSQTA POSTROILI PQTX DOMIKOW — I T.D.) OBSUVDAETSQ W KNIGE mACUMASA aNNO ‘tRI POROSENKA’, ADRESOWANNOJ 1-MU KLASSU QPONSKOJ [KOLY (5–6 LET).

3. fAKTORIAL. nAPOMNIM, ^TO FAKTORIAL n! ^ISLA n 2 N0 OPREDELQETSQ KAK n! = 1 ¢ : : : ¢ n. dLQ n = 0 PROIZWEDENIE PUSTO, PO\TOMU 0! = 1. tAKIM OBRAZOM,

n! [n]m = (n ¡ m)!:

zADA^A. dOKAZATX, ^TO j Bij(X; Y )j = jXj! W SLU^AE jXj = jY j I 0 W PROTIWNOM SLU^AE.

4. sIMMETRI^ESKAQ GRUPPA. mNOVESTWO SX = Bij(X; X) QWLQET-

SQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO KOMPOZICII OTOBRAVENIJ, NAZYWAEMOJ SIMMETRI^ESKOJ GRUPPOJ MNOVESTWA X. wWEDEM OBOZNA^ENIE n DLQ NA- ^ALXNOGO OTREZKA DLINY n NATURALXNOGO RQDA: n = f1; : : : ; ng. gRUPPA Sn OBOZNA^AETSQ PROSTO Sn I NAZYWAETSQ SIMMETRI^ESKOJ GRUPPOJ STEPENI n. |LEMENTY \TOJ GRUPPY NAZYWA@TSQ PERESTANOWKAMI STEPENI n ILI PERESTANOWKAMI n SIMWOLOW, A SAMI ^ISLA 1; : : : ; n

NAZYWA@TSQ W \TOM POSLEDNEM SLU^AE SIMWOLAMI.

zADA^A. sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RASSTAWITX NA [AHMATNOJ DOSKE 8 LADEJ TAK, ^TOBY ONI NE BILI DRUG DRUGA.

kOMMENTARIJ. lEGKO WIDETX (I \TO SU]ESTWENNO PRI KLASSI^ESKOM OPREDELENII OPREDELITELQ) ^TO TAKIH SPOSOBOW 8! = 40320. |TO ^IS-

LO POPALO W “Guinness book of world records” W SLEDU@]EM KONTEKSTE. aNGLIJSKIJ KOLOKOLXNYJ ZWON (change ringing — ‘PEREBORY S WARIACIQMI’) PRINCIPIALXNO OTLI^AETSQ OT RUSSKOGO. dELO W TOM, ^TO W