допзанятие 1 20_02_2016
.pdfСПбГУ Экономический факультет Адаптационная математика
1 курс 2 семестр 2015/2016 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна
ЗАНЯТИЕ 1. (20.02.2016, 13.1514.30 (ПрЗан новые задачи) (10мин перерыв) 14.40-15.40 (Конс по пройденному материалу, «старые» задачи с другими данными), 3 ак.ч. )
Тема 1. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
Правило Лопиталя
Раскрытие неопределенностей типа |
0 |
и |
|
||||||||
0 |
|
||||||||||
|
f x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
lim |
f x |
и т.д. |
|
|
|
|
||||
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
x a |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неопределенности типа 1 , |
00 , 0 раскрываются с |
помощью предварительного логарифмирования и
нахождения |
предела |
|
логарифма |
степени |
|||||||||
uv ev ln u |
u 0, v 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно ev ln u |
eln uv |
eloge uv uv |
|
||||||||||
Напоминание: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Первый замечательный предел lim |
sin x |
1 |
|||||||||||
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Второй замечательный предел |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
lim 1 |
|
|
|
e |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении примеров будем иметь ввиду: |
|
||||
lim |
ln 1 x |
1 |
(1) |
||
|
|
||||
x 0 |
x |
|
|||
|
|
|
|
||
lim |
ax 1 |
ln a |
(2) |
||
|
|||||
x 0 |
x |
|
|||
|
|
|
|
||
lim |
1 x m 1 m |
(3) |
|||
x 0 |
x |
|
|||
|
|
|
|
Таблица эквивалентных б.м. величин при x 0
1.sin x ~ x
2.arcsin x ~ x
3.tgx ~ x
4.arctgx ~ x
5.ex 1 ~ x
6.ax 1 ~ x ln a
7.ln 1 x ~ x
8. |
log a 1 x |
~ |
|
x |
|
|
|
||||
ln a |
|||||
|
|
|
|||
9. |
1 x k 1 ~ kx |
||||
10. |
1 cos x ~ |
x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
Неопределенности бывают
00 , , ,0 ,00 ,1 , 0
2
Таблица пределов функций
(можно посмотреть в интернете)
3
4
5
Задача 1.1 (правило Лопиталя+ еще 2 способа)
Найти предел ф-ции
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 1 x 1 |
|
0 |
? |
|||
|
x |
|
0 |
||||
x 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Подсказка.
1 сп. (по таблице эквивалентных б.м. величин)
6
1 x k 1 ~ kx
2 сп. (домножить на недостающую скобку) |
|
|
|||||
n ,an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 |
|
||||||
в частности, a3 b3 a b a2 ab b2 . Заметим, |
|
||||||
что в числителе получится разность кубов, если |
|
||||||
умножить числитель и знаменатель на |
|
|
|||||
недостающую скобку. |
|
|
|||||
a5 b5 a b a5 1 a5 2b a5 3b2 a5 4b5 2 b5 1 |
|
|
|||||
3 сп. (правило Лопиталя) |
|
|
|||||
|
f x |
|
|
|
|
||
lim |
lim |
f x |
и т.д. |
|
|
||
x |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|||
x a |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 13
Задача 1.2 (правило Лопиталя + еще 1 способ)
Найти предел ф-ции
lim |
sin 2 x 2sin x 1 |
|
0 |
? |
|
sin 2 x sin x 2 |
|
|
|||
x 2 |
|
0 |
|
Подсказка.
1 сп.(правило Лопиталя)
2 сп. (разложить на множители относительно sin x и сократить)
7
Ответ: 0
Задача 1.3 (правило Лопиталя + еще 1 способ)
Найти предел ф-ции
lim |
ex e x |
|
|
0 |
? |
|
ln 1 x |
0 |
|||||
x 0 |
|
|
Ответ: 2
Задача 1.4 (правило Лопиталя)
Найти предел ф-ции
|
|
|
1 x 1 |
1 ? |
|
lim 1 |
|
|
|||
|
|||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Подсказка.
uv ev ln u u 0, v 0
|
lim (v ln u ) |
u 0, v 0 |
lim uv ex x0 |
||
x x0 |
|
|
1 |
сп. (правило Лопиталя) |
|
2 |
сп. (таблица эквивалентных б.м.величин) |
Ответ: e 1
Задача 1.5 (правило Лопиталя)
Найти предел ф-ции
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
? |
|
lim |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
x 0 |
x |
thx |
|
tgx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Подсказка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразовать к |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shx |
|
es e x |
|
|
|
thx |
shx |
|
1 th2 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
|||||
2 |
|
|
|
|
chx |
|
|||||||
chx |
es e x |
|
|
thx |
shx |
1 tg 2 x |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
chx |
|
|
ch2 x sh2 x 1
В процессе числитель и знаменатель разделить на x2
Показать, что
lim thx 1
x 0 x
Вспомнить, что
lim tgx 1
x 0 x
Ответ: 32
Задача 1.6 (правило Лопиталя)
Найти предел ф-ции
lim xx x 1 ?
x 0
Подсказка.
9
uv ev ln u u 0, v 0
lim uv |
|
lim (v ln u ) |
u 0, v 0 |
|
||
ex x0 |
|
|
||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
lim xx |
x |
|
lim x x lim ln x |
1 e1 1 |
1 |
|
|
1 ex 0 x 0 |
|||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1
Формула Тейлора. Формула Маклорена.
] f x диф (n+1)-раз в некот интер сод a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n |
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f x f a |
|
f a |
x a |
|
|
|
a |
x a 2 |
|
|
|
x a n R , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
f n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где R |
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
, где лежит межу |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
1 ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точками a и x, т.е. a x a ,0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При a 0 получаем формулу Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x f 0 |
|
f |
0 |
x |
f 0 |
x |
2 |
|
f n 0 |
x n |
|
|
f n 1 x |
x n 1 ,0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
n 1 ! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I |
ex 1 x |
x2 |
|
xn |
|
o xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
x2n 1 |
|
o x |
2n |
|
||||||||||||||||||
II |
sin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
2n 1 ! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
III |
cosx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
o x2n 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
2n ! |
|
|
|
10