![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Актуальность
Актуальность данной рассматриваемой темы очень хорошо просматривается, т. к. канторовская теория применима в большом спектре научных областей: информатике, химии и др.
Теория Георга Кантора
Основные понятия теории частично упорядоченных множеств:
Определение и примеры
Предпорядки
Частично упорядоченное множество P=‹P,
› -основные понятия
Особые элементы
Ранжирование частично упорядоченных множеств.
Порядковые гомоморфизмы
Идеалы и фильтры
Конусы
Точные грани
Определение и примеры
Определение:
Пару,
где
- непустое множество, а
- рефлексивное, антисимметричное и
транзитивное бинарное отношение на
нем, часто называютчастично
упорядоченным множеством( сокращенно
ч.у. множеством)
Рефлексивность
(R) :;
Антисимметричность:
(AS):
Транзитивность(T):
Примеры:
- классический пример ч. у. множества( упорядочивание множеств по включению,
и
- два упорядочивания одного множества
Предпорядки
Рассмотрим данную тему сразу на примере:
Пример:
Пусть
- множество людей,
- рост, а
– вес человека. Определим на отношение
на
:
Является ли
отношением частичного порядка на
Ответ: Нет.
т.к.
– рефлексивно и транзитивно, но не
является антисимметричным отношением:
(могут
найтись два человека с одинаковым ростом
и весом)
Отношения
со свойствами (и
называются предпорядками.
.
Частично упорядоченное множество P= (P,
- основные понятия:
Если
, то
и
сравнимы
иначе они несравнимы
Полный (линейный) порядок, если
Если в
нет ни одной пары различных сравнимых элементов, то это тривиально упорядоченное множество
непосредственно предшествует
непосредственно следует за
если
- интервал
- цепь
, а совокупность попарно несравнимых элементов – антицепь в
.
епь максимально( насыщенная), если при добавлении к ней любого элемента она перестает быть цепью
- двойственный к
порядок:
Частично упорядоченные множества: особые элементы
Определение:
элемент
ч. у. множества
называют:
Максимальным, если
Минимальным, если
Наибольшим, если
Наименьшим, если
Для любых
Элемент наибольший, если все другие элементы содержатся в нем, и он минимальный, если нет элементов , содержащих его ( аналогично для наименьшего и минимального элементов.
1
2
Наибольший(1) и наименьший(0) –граничные элементы. В конечном частично упорядоченном множестве имеется как минимум по одному максимальному и минимальному элементу
Ранжирование частично упорядоченных множеств
Цепное условие Жордана - Дедекинда: Все максимальные цепи между двумя данными элементами локально конечного ч.у. множества имеют одинаковую длину.
Если ч. у.
множество удовлетворяет условию Жордана
– Дедекинда и имеет наименьший элемент
0 , то оно ранжируемо, т. е. на нем можно
определить функцию ранга
и такое множество имеет слои
-----
-
-
-
Если множество ранжируемо, то любой его слой( ноне только) является антицепью.
Порядковые гомоморфизмы
Определение:
Отображение
носителей ч. у. множеств называется
соответственно
Изотонным( монотонным, порядковым гомоморфизмом) если
Обратно изотонным, если
Антиизотонным, если
Если
изотонно, обратно изотонно и инъективно,
то это вложение или (порядковый)
мономорфизм ( символически
)
Cюръективный мономорфизм
- ( порядковый) изоморфизм ( символически)
Изоморфизм ч.у. множества в себя - (порядковый) автоморфизм
Идеалы и фильтры частично упорядоченных множеств
Определение:
Подмножество
элементов ч.у. множества
называется его ( порядковым) идеалом,
если
Подмножество
элементов
называется его (порядковым) фильтром,
если
∅ и все
множество
–
порядковые идеалы. Важное свойство:
объединение и пересечение порядковых
идеалов есть порядковый идеал.
Обозначение:
- множество всех порядковых идеалов
частично упорядоченного множества
.
Конусы
Определение:
Пусть
- ч.у. множество и
.
Множества
.
И
Называют
верхними и нижними конусами множества
,
а их элементы – верхними и нижними
гранями множества
соответственно. Для одноэлементного
множества
Понятно,
что если
идеал,
а
- фильтр
– такие идеалы и фильтры называют
главными
Конечнопорожденный
идеал:
Точные грани
Определение:
Пусть
- ч. у. множество и
.
Наименьший элемент в
называется точной верхней границей гранью множества
Наибольший элемент в
называется точной нижней гранью множества
Пример: (sup Aи/или inf A могут и не существовать)
,но
множество
не имеет инфимума⇒
sup
отсутствует.
отсутствует inf
[2]
c d
a b
Применение частично упорядоченных множеств на практике
Частично упорядоченное множество - один из типов бинарного отношения. Отношение частичного порядка является одним из фундаментальных общематематических понятий и широко используется в теоретической математике, в системах логического вывода и во многих других приложениях. Оно является обобщением таких широко известных бинарных отношений как "меньше или равно" (Ј) для чисел и "включено или равно" (Н) для множеств. Обозначение "Ј" часто используется не только для обозначения отношения "меньше или равно" на множестве чисел, упорядоченных по величине, но и для обозначения произвольного отношения частичного порядка[3]. А так же для создания графов, решения задач с помощью ч.у. множеств и многое другое. Как мы видим, спектр применения частично упорядоченных множеств довольно широк.