Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.

Пусть производится серия из n ‒ независимых испытаний (опытов), в каждом из которых событие A наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие A не произойдет, обозначим: q=1 ‒ p.

Вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие произойдет ровно m ‒ раз, находится по формуле Бернулли:

‒ формула Бернулли.

Пример.

Вероятность попадания мяча в кольцо составляет:

Вероятность промаха мяча в кольцо составляет

Найти:

1. Вероятность того, что при 7 бросках мяч попадет 4 раза (событие A).

2. Вероятность того, что мяч попадет не менее 4-х раз, то есть или, или, или, или.

Решение:

Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов).

Определение. Число наступления событияA в n ‒ независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события, по крайней мере, не меньше вероятностей других событий.

Наивероятнейшее число наступления события (число успехов) удовлетворяет следующему неравенству:

где ;вероятность наступления события в отдельном испытании.

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали . Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных и выбрать среди них наивероятнейшее число бракованных деталей.

Решение:

1 способ.

вероятность изготовления стандартной детали.

;

вероятность появления брака.

Тогда

Следовательно, наивероятнейшее число бракованных деталей .

2способ.

Оценим с помощью неравенства:

Следовательно, ,множество целых чисел.

Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная).

При большом значении n применение формулы Бернулли затруднительно. Тогда используют формулу Муавра‒ Лапласа. Муавр доказал частный случай для p =1/2.

где

‒ функция Лапласа, значения в таблице № 1.

если ,

Пример.

Установлено, что 94% лиц, которым сделали прививку от туберкулеза, приобретают иммунитет. Найти вероятность того, что среди 100 000 граждан, которым делали прививки, 5800 не защищены от туберкулеза.

Решение:

Интегральная формула Лапласа.

Если требуется найти вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие наступит не меньше a ‒ раз и не больше b ‒ раз, то применяют интегральную формулу Лапласа:

,

где

‒ интегральная функция Лапласа, значения в таблице № 2.

Ф(‒х) = ‒ Ф(x) ‒ функция нечетная.

При х

Пример.

Из каждых 100 семей 80 имеют телефоны.

Найти вероятность того, что:

1. Из каждых 400 семей 300 имеют телефоны.

2. От 300 до 360 семей из каждых 400 имеют телефоны.

3. Не менее 360 семей из 400 семей имеют телефоны ()

Решение:

1.

2.

3. Так как , то

Формула Пуассона.

Если p(начинается с сотых долей), то формула Муавра ‒ Лапласа дает большую погрешность по сравнению с формулой Бернулли. В этом случае пользуются формулой Пуассона:

где λ = np ‒ параметр Пуассона, где ≤ 10.

Пример.

На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что 1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение: Вероятность того, что день рождения студента 1-го сентября ‒ мала,n = 1825 ‒ велико, λ = np = 5 ≤ 10. Следовательно, воспользуемся формулой Пуассона:

7. Понятие случайной величины и ее числовые характеристики.

1. Понятие случайной величины.

2. Дискретная случайная величина и законы распределения.

3. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

4. Дисперсия и её свойства.

Под случайной величиной, связанной с некоторым испытанием, понимается всякая величина, которая при осуществлении испытания принимает то или иное числовое значение.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга, значения с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Случайные величины обозначаются а их возможные значения соответственно,.

Закон распределения случайной величины Х может иметь вид:

1) Ряд распределения случайной величины

X				…
P				…

2) Многоугольник распределения

По оси х ‒ откладываются значения случайной величины, а по оси у ‒ их вероятности. Соединив полученные точки ломаной, получим многоугольник распределения.