- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
Залача о мгновенной скорости движения. Пусть точка М движется вдоль числовой оси ОХ и в каждый момент времени t ее координата равна s(t). Тогда равенство s = s(t) называется уравнением движения точки М. Пусть рассматривается момент to, и t - некоторый другой момент, (см. рис.2). В момент tо точка М имеет координату s(tо) и в момент t координату s(t). Тогда разность s = s(t) s(tо) есть расстояние, пройденное точкой М за время
t = (t to), а отношение =естьсредняя скорость движения.
s
0 s(t0) s(t) x
Рис.2.
Но более правильное представление о скорости движения в момент t0 дает предел этого отношения, когда t стремится к to, и этот предел называется мгновенной скорстью движения точки М:
Ясно, что этот предел является производной функции s(t) в точке to. Получен следующий физический смысл производной: если функция s(t) задает уравнение движения точки, то производная s(to) есть мгновенная скорость движения точки в момент to.
Аналогично показывается, что производная второго порядка s(to) есть мгновенное ускорение движения точки в момент to,.
Пример 6. Пусть S = t3 – 6t2 + t расcтояние в метрах, пройденное телом в течение t секунд. Определить скорость и ускорение при t = 3 c.
Решение. Скорость v в момент t равна производной S= 3t2 12t + 1, тогда при t = 3 скорость равна v = 332 123 + 1= м/с. Ускорение w в момент t есть производная от скорости: w = v = 6t 12. При t = 3 ускорение равно w = 63 12 = 6 м/с2.
Задача о предельных издержках производства. Пусть х обозначает количество выпускаемой продукции и у издержки производства. Тогда у считается функцией от количества выпускаемой продукции: у = f(x). Пусть в некоторые моменты времени выпуски продукции составили хо и х (ед.), а издержки производства равны f(xo) и f(x) (ден. ед.), соответственно. Тогда х = х хо есть прирост продукции, у = f(x) f(xo) приращение издержек производства, и отношение =называетсясредним приращением издержек производства на единицу продукции. Но для характеристики скорости изменения денежных затрат вводятся так называемые предельные издержки производства, которые определяются, как производная этой функции:
Аналогично с помощью производной могут быть определены предельная выручка, предельная себестоимость и другие предельные величины. При этом средние величины характеризуют состояние соответствующего экономического объекта, а предельные величины характеризуют скорость изменение этого объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса. Однако, следует учесть, что экономика и другие социальные науки не всегда позволяют использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических объектов и в силу прерывности экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев оказывается возможным отвлечься от дискретности этих показателей и эффективно использовать предельные величины.
Задача о темпе производственной функции. Пусть функция у = f(t) описывает некоторый производственный показатель. Тогда рассматривается относительная скорость изменения этой функции, которая называется темпом данного показателя и определяется как логарифмическая производная:
Например, рассматривают темпы роста производительности труда, темпы изменения себестоимости продукции.
Задача об эластичности функции. Эластичностью функции у = f(x) называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента х при х 0:
Коэффициент эластичности Ех(y) показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y при изменении аргумента х на 1%. Например, если y – спрос на некоторый товар и х – цена товара, то Ех(y) показывает: на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если |Ех(y)| > 1, то спрос считают эластичным, если |Ех(y)| = 1, то – нейтральным, если |Ех(y)| < 1, то спрос неэластичен.
Задача о касательной. Рассматривается график функции у = f(x) и точка Мо(хо; уо) на этом графике. Требуется найти уравнение касательной к графику в точке Мо.
Так как Мо лежит на графике, то ее координаты удовлетворяют уравнению графика, т.е. выполняется равенство: уо = f(xo).
y
y M
у = f(x) y
y0 M0 dy
0 x0 х x
Рис.3.
Пусть М(х; у) – произвольная точка на графике, тогда ее координаты удовлетворяют равенству: у = f(x). Пусть эти точки проецируются на оси координат (см. рис. 3), и MоN параллельна оси ОХ. В треугольнике МNMo: MоN = (х хо) =х, NM = (у уо) = у, отношение NM к MоN равно тангенсу угла NMоM, т.е. =tg(NMоM). Касательной к графику функции f(x) в точке Мо называется прямая линия, к которой стремятся хорды МоМ, когда точка М стремится к точке Мо по графику. Если точка М будет двигаться по графику к точке Мо, то х будет приближаться к хо, и отношение будет стремиться кtg, где угол наклона касательной к оси ОХ . Величина tg называется
угловым коэффициентом касательной. В то же время предел отношения прих хо равен производной функции f(x) в точке хо. Получен следующий геометрический смысл: производная функции f(x) в точке хо равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке Мо.
Теперь, применяют уравнение (6) из главы 2 части 1, и получают следующее уравнение касательной к графику f(x) в точке Мо:
(3)
у = f (xo)(х xo) + f(xo)
Пример 7. Найти уравнения касательных к параболе у = 0,4х2 3,2х + 7,8 в точках пересечения ее с прямой у = 0,4х + 2,2.
Решение. Координаты точки пересечения линий удовлетворяют обоим уравнениям, тогда эти координаты являются решениями системы:
у = 0,4х + 2,2 и у = 0,4х2 3,2х + 7,8. Здесь два решения: х1 = 7, у1 = 5 и х2 = 2, у2 = 3. Следовательно, получены две точки пересечения А(7; 5) и В(2; 3). Абсциссу вершины параболы С находят из уравнения у(x) = 0, т.е. 0,8x 3,2 = 0, отсюда x = 4. Это подставляют в уравнение параболы: y = 1,4; тогда C(4; 1,4) вершина параболы (см. рис.4). Далее, применяют уравнение (3). Для этого находят производную: у = 0,8х 3,2. Значения у в точках х1 = 7 и х2 = 2 являются угловыми коэффициентами касательных в точках А и В: k1 = 0,873,2 = 2,4 и k2 = 0,82 3,2 = 1,6. Эти значения подставляют в (3).
1) у = 2,4х 11,8 уравнение касательной в точке А. 2) у = 1,6х + 6,2 уравнение касательной в точке В.
y y = 0,4x2 3,2x + 7,8
y=0,4x+2,2 A
B
С y =2,4x11,8
y =1,6x+6,2
0 x
Рис.4.
Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную в точке х0 :
0 при х 0; отсюда y = f (x0)х + х . При этом первое слагаемое является линейной частью приращения относительно ,а второе слагаемое является бесконечно малой 2-го порядка.
Определение 3. Дифференциалом функции f(x) для x0 и х, называется линейная часть f (x0)х приращения ; обозначения: dy, df.
В частности, дифференциал функции y = x равен х, т.е. dх = х. Поэтому вместо х пишут dх, тогда dy принимает вид:
(4)
dy = f (x0)dх
На рис.3 дифференциал dy удачно выделен, как часть y, и говорят, что dy есть приращение касательной. Если f (x0)0, то dy является главной частью приращения функции y. Поэтому можно считать, что при достаточно малом х приращение функции y приближенно равно ее дифференциалу: y dy. Отсюда получается формула для приближенного вычисления значений функции:
f(x) f(x0) + f (x0)dх
(5)
При этом считается, что погрешность такого равенства имеет порядок (.
Пример 8. Для функции y = x3 – 2x +1, найти приращение y и дифференциал dy, соответствующие x0 = 1 и х = 0,1.
Решение. Здесь x0 = 1, х = 0,1, поэтому х = 1,1.
Тогда f(x) = f(1,1) = 1,13 – 2. 1,1 +1 = 0,131; f(x0) = f(1) = 13 – 2. 1 +1 = 0, 1;
f (x)= 3x2 – 2; f (x0)= f (1)3. 12 – 2 = 1. Получается: y = f(x) – f(x0) = 0,131– 0 = 0,131; dy = f (x0)dх = 10,1 = 0,1. Тогда погрешность равна 0,031, и это соответствует порядку ( = 0,01.
Пример 9. Вычислить приближенно 34 помощью дифференциала.
Решение. Рассматривается функция y = x, и пусть x0 = 36, х = 34. Тогда х = 34 – 36 = 2; f(x0) = 36 = 6; f (x)= ; следовательно, dy = = ∙(-2) -0,167. Теперь, применяется формула (5):34
- 0,167 5,833. Пусть истинное значение34 = 5,831 (найдено с помощью калькулятора). Тогда получена погрешность 0,002.