Г л а в а 9
Планарные графы
9.1. Определения
Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно так нарисовать на этой поверхности, что никакие два ребра не будут иметь общей точки, кроме, возможно, общей вершины. На таком рисунке ребра графа изображаются линиями, а вершины – точками. Граф называется планарным, если его можно уложить на плоскости.
Плоский граф – это граф, уложенный на плоскости. Очевидно, каждый планарный граф изоморфен некоторому плоскому графу.
При проектировании печатного монтажа для электронной схемы возникают задачи определения планарности графа, разложения графа на планарные подграфы, а также укладки планарного графа на плоскости.
Гранью плоского графа называется область плоскости, ограниченная ребрами, любые две точки которой могут быть соединены линией, не пересекающей ребра графа. Каждый плоский граф имеет единственную неограниченную грань, которая называется внешней. Все остальные его грани являются внутренними. Плоский граф, из ображенный на рис. 9.1, имеет три грани: f1 и f2 – внутренние грани, f3 – внешнюю.
f1 |
f2 |
f3 |
|
|
|
Рис. 9.1. Плоский граф
Т е о р е м а Э й л е р а. Для всякого связного плоского графа, имеющего п вершин, т ребер и f граней, имеет место соотношение п – т + f = 2.
Действительно, для дерева имеем т = п – 1 и f = 1. Следовательно, данная формула для дерева верна. Увеличивая число ребер в графе на некоторую величину при сохранении числа вершин, мы увеличиваем число граней на ту же величину. Следовательно, соотношение сохраняется. Оно называется
формулой Эйлера.
Максимальным планарным графом называется планарный граф с числом вершин не меньше пяти, который перестает быть планарным при добавлении любого нового ребра. Пример такого графа дан на рис. 9.2
Легко показать, что каждая грань в таком графе ограничена тремя ребрами.
54