- •Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Учреждение образования
- •«Белорусский государственный университет
- •Информатики и радиоэлектроники»
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •2. Перечень тем практических занятий, их содержание и объем в часах
- •3. Литература
- •3.2 Дополнительная
- •4. Контрольные работы, их характеристика
- •5. Учебно-методическая карта дисциплины
- •Теоретический раздел Лекция 1
- •1.1 Введение
- •1.2 Основные понятия
- •1.3 Аксиомы теории вероятностей
- •1.4 Непосредственный подсчет вероятностей
- •1.5 Основные комбинаторные формулы
- •Лекция 2
- •2.1 Геометрическое определение вероятностей
- •2.2 Теоремы сложения вероятностей
- •2.3 Условная вероятность
- •2.4 Зависимые и независимые события
- •2.5 Теоремы умножения вероятностей
- •2.6 Вероятность безотказной работы сети
- •Лекция 3
- •3.1 Формула полной вероятности
- •3.2 Формула Байеса
- •3.3 Теорема о повторении опытов
- •Формула Пуассона
- •Формулы Муавра-Лапласа
- •Лекция 4
- •4.1 Случайные величины. Закон распределения вероятностей
- •4.2 Функция распределения
- •4.3 Ряд распределения
- •4.4 Плотность распределения
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики случайной величины
- •5.1.1 Математическое ожидание
- •5.1.2 Начальные моменты
- •5.1.3 Центральные моменты
- •5.1.4 Дисперсия
- •5.1.5 Среднее квадратическое отклонение
- •5.1.6 Мода
- •5.1.7 Медиана
- •6.2 Типовые законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1 Равномерное распределение
- •6.2.2 Экспоненциальное распределение
- •6.2.3 Нормальное распределение
- •Лекция 7
- •7.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •7.1.1 Монотонно возрастающая функция
- •7.1.2 Монотонно убывающая функция
- •7.1.3 Немонотонная функция
- •7.2 Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •7.2.1 Характеристическая функция случайной величины
- •Лекция 8
- •8.1 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
- •8.1.1 Двухмерная функция распределения
- •8.1.2 Матрица распределения
- •8.1.3 Двухмерная плотность распределения
- •8.2 Зависимые и независимые случайные величины
- •8.3 Условные законы распределения
- •Лекция 9
- •9.1 Числовые характеристики двухмерных величин
- •9.1.1 Смешанные начальные моменты
- •9.1.2 Смешанные центральные моменты
- •9.1.3 Корреляционный момент
- •9.1.4 Коэффициент корреляции
- •9.2Условные числовые характеристики
- •9.2.1 Pегрессия
- •Лекция 10
- •10.1 Нормальный закон распределения на плоскости
- •10.2 Закон распределения функции двух случайных величин
- •10.3 Многомерные случайные величины
- •10.3.1 Функция распределения
- •10.3.2 Плотность распределения
- •10.3.3 Числовые характеристики
- •11.2.2 Теорема о дисперсии суммы
- •11.3 Числовые характеристики произведения случайных величин
- •11.3.1 Теорема о математическом ожидании произведения
- •11.3.2 Теорема о дисперсии произведения
- •Лекция 12
- •12.1 Закон больших чисел
- •12.1.1 Неравенство Чебышева
- •12.1.2 Теорема Чебышева
- •12.1.3 Теорема Бернулли
- •12.2 Центральная предельная теорема
- •Лекция 13
- •13.1 Математическая статистика. Основные понятия
- •13.2 Оценка закона распределения
- •13.2.1 Эмпирическая функция распределения
- •13.2.2 Статистический ряд распределения
- •13.2.3 Интервальный статистический ряд
- •13.2.4 Гистограмма
- •Лекция 14
- •14.1 Точечные оценки числовых характеристик
- •14.1.1 Оценка математического ожидания
- •14.1.2 Оценка начального момента
- •14.1.3 Оценка дисперсии
- •14.1.4 Оценка центрального момента
- •14.1.5 Оценка вероятности
- •14.2 Оценка параметров распределения
- •14.3 Интервальные оценки числовых характеристик
- •14.3.1 Доверительный интервал для математического ожидания
- •14.3.2 Доверительный интервал для дисперсии
- •14.3.3 Доверительный интервал для вероятности
- •Лекция 15
- •15.1 Проверка статистических гипотез
- •15.1.1 Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
- •15.2 Критерии согласия
- •15.2.1 Критерий Пирсона
- •15.2.2 Критерий Колмогорова
- •Лекция 16
- •16.1 Статистическая обработка двухмерных случайных величин
- •16.1.1 Оценка корреляционного момента
- •16.2.1 Гипотеза о равенстве математических ожиданий
- •16.2.2 Гипотеза о равенстве дисперсий
- •16.2.3 Гипотеза о равенстве законов распределения
- •Лекция 17
- •17.1 Оценка регрессионных характеристик
- •17.1.1 Метод наименьших квадратов
- •Практический раздел Контрольные работы Указания по выбору варианта
- •Контрольная работа №1. Теория вероятностей Задача 1. Случайные события. Вероятность события Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Основные комбинаторные формулы
- •Примеры
- •Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 4. Формула Бернулли Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 5. Дискретная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 6. Непрерывная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 8. Двухмерные случайные величины Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка закона распределения
- •Точечные оценки числовых характеристик
- •Интервальные оценки числовых характеристик
- •Проверка статистических гипотез
- •Примеры
- •Задача 11. Обработка двухмерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка регрессионных характеристик
- •Примеры
- •8,74746;
- •8,86278
16.2.2 Гипотеза о равенстве дисперсий
Гипотезы о дисперсии имеют в технике большое значение, так как есть мера таких характеристик, как точность машин, ошибки измерительных приборов, точность технологических процессов и т. п.
Пусть ,- независимые случайные выборки из генеральных совокупностей случайных величинX и Y. Вычислены оценки дисперсий величин X и Y
которые оказались приблизительно равны.
Формулируется двухальтернативная гипотеза:
H0: , т.е. дисперсии величин X и Y равны.
H1: .
Для проверки данной гипотезы используется F-критерий. В качестве критерия используем величину:
. (16.12)
т.е. большую дисперсию выбирают в качестве числителя.
Величина F удовлетворяет F-распределению с (n1 -1, n2 -1) степенями свободы. Критическая область выбирается следующим образом. Для уровня значимости α по таблице F-распределения определяем критическое значение . ЕслиF, вычисленное по выборке, больше, чем это критическое значение, то гипотезаН0 должна быть отклонена.
16.2.3 Гипотеза о равенстве законов распределения
Пусть ,- независимые случайные выборки из генеральных совокупностей случайных величинX и Y.
Формулируется двухальтернативная гипотеза:
H0: , т.е. две выборки к одной и той же генеральной совокупности;
H1: .
Относительно закона распределений величин X и Y никаких предположений не делается. Способы проверки, при которых не делается предположений о распределении в генеральной совокупности, называются способами, свободными от параметров, в противоположность рассматривавшимся выше параметрическим критериям, в которых предполагалась нормальная распределенность X и Y.
Для проверки данной гипотезы используется критерий Уилкоксона. Значения иобеих выборок упорядочиваются вместе в порядке их возрастания. Пара значений(хi yj;) образует инверсию, если yj < хi . Пусть, например, для n1 = 4 и n2 = 5 получилась такая последовательность: y5 x3 x4 y1 y2 x2 y4 y3 x1 . В нашем примере x3 и x4 образуют по одной инверсии (с y5), x2 образует три инверсии (с y5 y1 y2), а x1 образует пять инверсий (со всеми у).
В качестве критерия используется величина U — полное число инверсий. Если гипотеза верна, значение U не должно слишком сильно отклоняться от своего математического ожидания . Данная величина распределена по закону Уилкоксона и от гипотезыН0 отказываются, если U больше критического значения Uα, взятого из таблицы Уилкоксона для заданного уровня значимости α. Для больших объемов выборки (n1 и n2 больше 25) критическое значение Uα определяется по формуле
, (16.13)
где - значение аргумента функции Лапласа, т.е.
Лекция 17
17.1 Оценка регрессионных характеристик
Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых двухмерная случайная величина (Х,У) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двумерную выборку вида Необходимо на основании имеющейся выборки выявить характер связи между величинами X, Y, т.е. получить оценку условного математического ожидания оценку регрессии Y на х. Данная оценка представляет собой некоторую функцию:
,
где - неизвестные параметры.
Таким образом, во-первых, необходимо установить тип зависимости - т.е. является ли она линейной, квадратичной, показательной и т.д., во-вторых, определить значения неизвестных параметров. Для определения типа зависимости строитсядиаграмма рассеивания или корреляционное поле, которую можно получить, если результаты опытов изобразить в виде точек на плоскости в декартовой системе координат (см. рисунок). На основании анализа корреляционного поля выбираем тип эмпирической линии регрессии , которая должна проходить через точки(х1,y1)....(xn,yn) так, чтобы ее график наилучшим образом соответствовал бы к неизвестной линии регрессии, т.е. ее значения должны быть приблизительно равны средним арифметическим значений Y для каждого значения Х=х.
Во многих случаях тип зависимости может быть выбран на основе теоретических или иных соображений.
Для определения значений параметров, при которых обеспечивается наилучшее согласования кривой и экспериментальных точек {(х1, у1), (х2, у2 ,…, (хn, уn)}, используется метод наименьших квадратов.