![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Задание №3
Требуется построить линейный блочный (n,k)-код. Определить теоретический предел для этого кода – найти максимальную кратность исправляемых ошибок qи.
Определить вероятность ошибочного декодирования кодовой комбинации Pош, если ошибки в отдельных символах в канале передачи происходят с вероятностью p, а ошибки в разных символах независимы. В ответе для величины Pош оставить 6 знаков после десятичной точки.
Исходные данные:
n |
k |
p |
43 |
15 |
0.179 |
Код Хэмминга имеет кодовое расстояние, равное трем, и полностью характеризуется числом проверочных символов r. В нашем случае имеем:
(3.1)
Определим число q-кратных ошибок выражением:
(3.2)
А общее количество ошибок определится как :
(3.3)
Чтобы любая из
ошибок могла быть исправлена, различным
ошибкам должны соответствовать различные
значения синдрома c.
Вектор c
состоит из r
двоичных символов, максимальное
количество различных ненулевых комбинаций
равно
.
Отсюда получаем неравенство Хэмминга:
(3.4)
(3.5)
Найдем значение
- максимальную кратность исправляемых
ошибок:
При
:
А при
:
, что не соответствует
условию , поэтому
.
Так как возникновение ошибки в том или ином разряде по условию задачи– события независимые, каждое из них совершаются с вероятностью p, то по биномиальной формуле определим вероятность того, что ошибка имеет кратность q как:
(3.6)
Вероятность ошибочного приема определяется теми ошибками, которые мы не сможем исправить, т.е. ошибки с кратностями qmax q n:
(3.7)
Подсчитаем
,
подставив данные в вышеприведенную
формулу:
Таблица ответов для проверки:
qи |
Pош |
S |
8 |
0.360 |
8.360 |
Глава 4. Расчётное задание №4. Задача №1.
1) Вероятность битовой ошибки при передаче цифрового сигнала
Источник информации создает цифровой поток B мегабит в секунду. На вход радиолинии с выхода передатчика подается последовательность двоичных радиоимпульсов, модулированных по закону М (М=1 для АМ, М=2 для ЧМ с ортогональными сигналами, М=3 для ФМ). Задана требуемая вероятность битовой ошибки Рош на выходе оптимального когерентного демодулятора Рош и величина ослабления в линии F. На входе приемника присутствует аддитивный белый гауссовский шум со спектральной плотностью No.
Определить требуемую среднюю мощность W передаваемых сигналов обоих видов (0 и 1) без использования корректирующего кода (W1) и при использовании (n,k)-кода Хэмминга в режиме исправления ошибки (W2). Определить в каждом из режимов вероятность битовой ошибки на выходе линии связи (декодера) (PБ1, PБ2 )
Примечания:
1) 1пВт=10-12 Вт.
2) При вычислении отношения сигнал/шум необходимо учитывать, что длительность передаваемых импульсов должна уменьшаться при увеличении избыточности, чтобы обеспечить заданную скорость передачи В информационных символов.
3) Вероятность битовой ошибки при демодуляции двоичного сигнала в когерентной системе определяется по формуле
,
где
– интеграл вероятности,
– отношение энергии разностного сигнала
(импульса) к спектральной плотности
мощности белого шума, зависящее не
только от средней мощности сигнала (Pc)
на выходе линии, но и от вида модуляции,
q2=Е/
No
при
.
Обратите внимание, что энергия сигнала зависит не только от его мощности, но и от длительности, E=WT.
Исходные данные:
N |
M |
F,дБ |
n |
k |
B,Мбит/с |
Рош*10^2 |
N0,пВт/Гц |
22 |
1 |
54 |
63 |
57 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
Ф(q/2)=0.997; (1)
где
отношение
энергии разностного сигнала к спектральной
плотности шума,
интеграл
вероятности (значение интеграла можно
определить из приложения№3
учебника Акулиничева).
;
(2)
;
(3)
При амплитудной
модуляции величины
связаны следующим соотношением:
,
;
(4)
.
(5)
где
отношение
средней энергии импульса на входе
демодулятора к спектральной
плотности шума.
.
(6)
Известно, что
,
где
средняя
энергия одного импульса (так как появления
0 и 1 равновероятно).
,
(7)
Мощность сигнала на входе приёмника можно рассчитать по формуле:
,
(8)
где
время
длительности сигнала;
бодовая
скорость.
,
(9)
Необходимо также
учесть, что в линии происходит затухание
сигнала, поэтому мощность, дошедшая до
приёмника, в
раз меньше, чем на передатчике.
В таком случае мощность на передатчике:
(10)
2) Необходимо найти
среднюю мощность W
передаваемых сигналов обоих видов (0 и
1) при использовании
кода
Хэмминга (
).
В этом случае в
результате избыточности кода необходимо
за один и тот же промежуток времени
передать больше сигналов, следовательно,
при использовании корректирующего кода
бодовая скорость увеличивается в
раз.
(11)
где
заданная
бодовая скорость;
число
информационных символов;
длина
кодовой последовательности.
.
(12)
.
(13)
Учтём затухание в линии передачи:
(14)
Таблица результатов:
W1
^ |
W2^ |
|
|
S |
|
|
|
|
16.605 |
(Если учитывать степень и суммиовать в одной и той же степени то сумма ответов S=13.87062)