![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Глава I. Оchobы макроскопической электродинамики
- •§I. Четвертое уравнение Максвелла как обобщение экспериментального закона Кулона
- •1) Сначала отвлечемся от точки 2 и напишем формулу для любой точки поля: ,
- •§ 5. Система уравнений Максвелла
- •§ 6. Закон сохранения и превращения энергии электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга.
- •§ 7. Граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов электромагнитного поля
- •Глава 11. Электростатика
- •§ 8. Основные уравнения. Основные задачи электростатики
- •§ 9. Основные свойства поля. Скалярный потенциал, его связь с работой.
- •§10. Дифференциальные уравнения для потенциала, их общие решения. Нормировка потенциала. Решение 2-й задачи.
- •§ 11. Разложение потенциала системы зарядов на больших расстояниях,
- •§ 12. Проводник в электростатическом поле
- •§ 13. Диэлектрики в электростатическом поле
- •§ 14. Энергия в : лектростатике
§10. Дифференциальные уравнения для потенциала, их общие решения. Нормировка потенциала. Решение 2-й задачи.
Найдем дифференциальные уравнения для потенциала. Для этого запишем 4-е уравнение Максвелла и уравнение связи:
Используем тождество векторного анализа
при
этом полагая
Тогда
Подставим
вместо
из (2.6) выражение для
Согласно векторному анализу
Тогда
С
учетом этих преобразований вместо 4-го
уравнения Максвелла получаем уравнение
для
:
Или
разделив обе части уравнения на
,
получим:
Это
дифференциальное уравнение для
в
неоднородной среде. Стандартного решения
оно не имеет.
Для
однородной среды
.
Тогда вместо уравнения (2.10)
получаем:
Это
уравнение Пуассона для потенциала
.
Если
,
то получается уравнение Лапласа:
Уравнение Лапласа – однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных. Оно описывает потенциал поля вне заряженного тела в однородной среде. Общее решение уравнения:
Постоянную
интегрирования
можно выбрать в виде
где
– заряд
тела (см. Приложение III).
Тогда:
Постоянную
определим из условия нормировки.
Нормировка потенциала – процедура
придания однозначности потенциалу.
Иначе говоря, выбор определенного
значения
,
так
как согласно (2.13) и (2.14)
определяется неоднозначно.
Как
видно из решений (2.13) и (2.14) ,
убывает с ростом
.
Вполне
разумно
потребовать, чтобы в бесконечности
обращался в нуль;
если
,
то
.
Тогда для бесконечности имеем:
откуда
.
После нормировки общее решение запишется так:
Формально оно совпадает с потенциалом поля точечного заряда, известного из курса общей физики.
Решение
уравнения Пуассона найдем не строго,
чисто качественно.
Для этого разбиваем
весь объем
,
заряженный с объемной плотностью
на элементарные объемы
Причем
имеет заряд
такой,
чтобы его можно было считать точечным.
Рис.
18 Объем
Тогда
можно применить полученное решение
(2.15) для
:
Потенциал
от всех элементов
объема
находим по принципу суперпозции:
Итак,
Это и есть искомое решение уравнения Пуассона, строго оно получается в курсе "методы математической физики".
Решения
(2.15) и (2.16) отличаются при
.
В
самом деле, согласно (2.15)
при
.
Это означает, что применять решение
(2.15) при
нельзя, нарушается требование точечности
заряда.
Решение
(2.16) не расходится при
.
Рассмотрим решение для
:
Если
не уменьшается с уменьшением
.
при этом может обращаться в нуль, либо
быть постоянным. Так что (2.16) является
более общим решением.
В электродинамике дискутируется проблема, обусловленная неоднозначностью потенциала, существует две точки зрения:
1)
неоднозначен и поэтому является
вспомогательной функцией, никакого
физического смысла не имеет.
2)
неоднозначен, но можно придать ему
однозначность и физический смысл
Автор придерживается второй точки зрения.
Отметим, что неоднозначность потенциала не влияет на значение напряженности и работы. В самом деле:
,
т.к.
Аналогично для работы находим:
Напряженность и работа имеют одно вполне определенное значение.
К этой проблеме мы будем возвращаться скова в последующих главах.
Теперь учтем все возможные случаи распределения заряда и запишем потенциал:
Тогда электрическая напряженность равна:
Это и есть решение 2-й задачи электростатики в общем виде.