![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
- •Раздел 2. Элементы линейной алгебры
- •Раздел 3. Элементы векторной алгебры
- •Раздел 4. Функции одной переменной
- •Раздел 5. Теория пределов
- •Раздел 6. Непрерывные функции
- •Раздел 7. Дифференциальные исчисления
- •Раздел 8 . Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 9. Функции нескольких переменных
- •Раздел 10. Неопределённый интеграл
- •Раздел 11. Определённый интеграл
- •Раздел 12. Ряды
- •Раздел 13. Дифференциальные уравнения
- •Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Тема 1. Элементы аналитической геометрии
- •Тема 2. Элементы линейной алгебры
- •Тема 3. Теория пределов
- •Тема 4. Дифференциальные исчисления
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Тема 6. Функция двух переменных
- •Тема 6. Интегральные исчисления
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •Формула интегрирования по частям
- •Площадь плоской фигуры
- •Задания для выполнения контрольной работ Задание 1. Прямая линия на плоскости
- •Задание 4. Предел функции
Тема 6. Функция двух переменных
Определение.
Если каждой
паре чисел
по некоторому закону
поставлено
одно определённое число
,
то говорят, что на множествеD
задана функция Z=f(x,y).
Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести понятие частной производной нескольких переменных.
Определение.
Величина
называется полным приращением функции
в точке(х,
у).
Если задать только приращение аргумента
или только приращения аргумента
,
то полученные приращения функции
соответственно:
и
называются
частными.
Определение.
Частной
производной от функции
по независимой переменной
называется конечный предел
,вычисленный
при постоянном
.
Определение.
Частной производной от функции
по
называется конечный предел
,вычисленный
при постоянном
.
Обозначается
частная производная так:
или
.
Пример 16 Найти частные производные функций:
a)
;
b)
.
Решение:
а)
при нахождении частной производной
по х
будем рассматривать
как величину постоянную. Получим:
.
Аналогично,
дифференцируя по у,
считаем
постоянной
величиной, т.е.
;
b) при
фиксированном
имеем степенную функцию отх,
таким образом,
;
при
фиксированном
функция является показательной
относительно
,
тогда
.
Полный
дифференциал функции
вычисляется по формуле
.
Пример 17
Найти полный дифференциал функции
.
Решение:
;
;
.
Тема 6. Интегральные исчисления
Неопределённый интеграл
Определение.
Функция F(x)
называется
первообразной функцией для функции
ƒ(х)
на
промежутке X,
если
в каждой точке
этого промежутка
F/ (x) = f(x).
Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.
Определение.
Совокупность
всех первообразных функции
ƒ(х) на
промежутке X называется неопределённым
интегралом от функции f(x)
и обозначается
т.е.
.
Свойства неопределённого интеграла
,
─постоянное число.
.
.
.
.
Таблица основных интегралов
№ |
Формула |
№ |
Формула |
1 |
|
8 |
|
2 |
|
9 |
|
3 |
|
10 |
|
4 |
|
11 |
|
5 |
|
12 |
|
6 |
|
13 |
|
7 |
|
14 |
|
Пример 18
Найти интеграл
.
Решение.
Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:
а)
,
если
;
б)
.
Пример 19 Найти интегралы.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
Одним из основных методов интегрирования является метод замены
переменной, описываемый следующей формулой:
,
где
─ функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
Пример 20 Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение: а);
б)
;
в)
;
г)