МАТЕМАТИКА_КР2

Выясним,

имеет

ли

функция

наклонные

асимптоты.

k lim

f (x)

lim

x

1

,

x

x

x 1 x

x2

x2

x x2

x

b lim( f (x) kx) lim

x

lim

lim

1 .

x

1 x

x

x

x 1

x

x

1

Следовательно,

прямая

y x 1 является

наклонной

-3

-2 -1

0

1

2

3

x

x 2

1

3.1. y

y x2

.

3.2.

e

x .

(x 2)

2

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4.

ТЕМА 4.

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Рассмотрим

функцию двух

переменных

z f (x, y) ,

определенную в некоторой области

D, являющейся частью

плоскости (x, y). Частной

производной

от

функции

z f (x, y)

по

независимой

переменной х

называется

производная

z lim

f (x x,y) f (x,y)

f

(x, y),

x

x

x0

x

z

lim

f (x, y y) f (x, y)

f (x, y),

y

y

y0

y

2 z

2 z

2 z

;

;

.

x 2

y 2

x y

тогда

2 z

2 z

, то

есть не

важно,

в какой

x y

y x

последовательности вычисляется смешанная производная.

Градиентом

функции

z f (x, y)

в точке

M 0 (x0 , y0 )

z (M

),

z (M

grad z

0

0

) .

x

y

данного направления. Для любого направления, задаваемого

вектором l

, производная

функции

z f (x, y)

в

точке

M 0 (x0 , y0 )

по направлению этого

вектора

может

быть

выражена следующим образом:

z

(M

0

)

grad z

M 0

cos ,

l

где знак модуля означает длину вектора градиента в

точке M 0 , а ─ угол между градиентом и направлением l .

Пример. Найти градиент функции z arctg

y

в точке

1 x2

z

1

2xy

2xy

.

x

y 2

(1 x 2 )2

(1 x 2 )2 y 2

1

(1 x 2 )2

Аналогично, рассматривая х как постоянную величину,

получаем:

z

1

1

1 x2

.

y

y 2

1 x2

(1 x2 )2 y 2

1

(1 x2 )2

Находим

значения

частных

производных в точке

М ( 1;2):

z

(M )

2 ( 1) 2

1

,

x

(1 ( 1)2 )2 22

2

z

(M )

1 ( 1)2

1

.

( 1)2 )2 22

y

(1

4

1

1

Таким образом, grad z (M )

,

.

2

4

4.7

z e

6 x3 y

x2 y 2

y

, M (1; 2).

x3

y x

x

4.8

z e

x

2x, M (1;1).

3x 2 y 2

x2

y 2

1

1

4.11

z 4

x2 3y 2 ,

M (

;

).

x

1

2

2

2

4.16 z sin( x 2 y 2 3)

x

2xy, M (2;1).

y 1

z

1

arcsin 2

y

3y3

5x,

4.17

M (2; 3).

2

x

y x 2

y

4xy 2 ,

4.18

z e y

M (1;1).

2x

3y 2

4.19

z

32 x3 y

x 2 y

x

2 ,

M (2; 1).

ln 3

x

2 3y

4.20

z x2 3xy3 4y2

e3x4 y ,

M (4;3).

Функция

F (x) называется первообразной для функции

f (x) на некотором промежутке, если для всех значений x из

этого промежутка выполняется равенство F (x) f (x) .

Например, функция sin x

является

первообразной для

функции cos x , так как при любом x ( ; )

(sin x) cos x .

Можно заметить,

что первообразной для cos x является не

только, sin x

но

и

функция

sin x +

С, где С ─

любая

постоянная. Это

справедливо

для

любой функции

f (x) ,

имеющей первообразную.

Теорема.

Пусть

F (x)

является

первообразной для

функции

f (x) в некотором

интервале

(a,b);

тогда

функция F(x) C , где С ─ любая постоянная, также будет

только на постоянное слагаемое.

Если F (x) ─

первообразная для функции

f (x) , то

совокупность всех

первообразных F(x) C , где

С ─

интегралом

от

функции

f (x) и обозначается

символом

f (x)dx . Таким образом, f (x)dx = F(x) C .

Функция

f (x) называется подынтегральной

функцией,

произведение

f (x)dx ─ подынтегральным выражением,

переменная x -

переменной

интегрирования, а символ -

7.

du

1

arctg

u

C

1

arcctg

u

C ,

a 0

a2 u2

a

a

a

a

8.

du

1

u a

C

1

ln

u a

C

ln

a2 u2

u 1

u a

2a

2a

du

9.

ln

u u2 a2

C , a 0

u2 a2

10.

du

arcsin

u

C arccos

u

C , a 0

a2 u2

a

a

11.

du

tgu C

cos2 u

12.

du

ctgu C

sin2 u

13.

du

ln

tg

u

C

sin u

2

du

u

14.

ln

tg

C

cos u

2

4

Тогда

f ( (x))d (x) F ( (x)) C или

f ( (x)) (x)dx

f (u)du F (u) C .

Пример 4. Вычислить интеграл sin3 x cos xdx .

Решение. Так как cos xdx d sin x,

то sin3 x cos xdx = sin3 xd sin x

sin 4

x

C .

4

Здесь мы применили формулу 1 таблицы интегралов.

Вычислить интеграл

xdx

Пример 5.

.

x2 3

Решение.

Заметим, что d (x2 3) 2xdx , тогда имеем:

xdx

=

1

2xdx

1

d (x2 3)

1

ln(x2 3)

C .

x2

2

x2 3

2

x2 3

2

3

f (x)dx = f ( (t)) (t)dt .

Пример6. Вычислить интеграл

x

dx .

3

1

x

Решение.

Применим

подстановку

x t6 , а затем

продифференцируем это равенство: dx 6t5dt .

x

dx =

3

1

x

t3 6t5

dt 6

t8

dt 6 (t6

t 4 t 2 1

1

)dt

t 2 1

t 2 1

t 2 1