Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА_КР2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

lim	x2	5x 6	lim	(x 1)(x 6)	lim(x 6) 7.
		x 1		x 1
x1			x1		x1

Рассмотрим lim

Pn (x)

, где Pn (x)

и Qm (x) ─ многочлены

x Q (x)

степени n и m : P (x) p

p x ... p

xn ;

(x) q

q x ...

xm .

Пусть n m. Разделим числитель и знаменатель почленно

на xn :

P (x)

lim

/ xn p / xn1 ... p

lim

/ xn q / xn 1

... q

/ xn m

x Q (x)

x q

Нетрудно

видеть,

что при

все слагаемые

числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом,

lim	Pn (x)	по аналогии с примером 2.
lim		по аналогии с примером 2.
x Q (x)
	m
	Если	n m , то lim	Pn (x)	lim		1	, а дробь в
	Если	n m , то lim		lim			, а дробь в
		x Q (x)		x Q (x) / P (x)
			m		m	n

знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

lim		1	0, так как величина, обратная


x Q (x) / P (x)
	m	n

бесконечно большой, есть бесконечно малая величина. Рассмотрим теперь случай n m. Поделив числитель и

знаменатель почленно на xn , получим:

P (x)

lim

/ xn p

/ xn1 ... p

lim

/ xn q

/ xn 1 ... q

x Q (x)

x q

		, если	n m,
	Pn (x)
Таким образом, lim		0, если n m,
Таким образом, lim		0, если n m,
x Qm (x)			если n m.
		pn / qn ,	если n m.

Рассмотрим два предела: lim	sin x	и lim(1 x)1 / x .
	x
x0		x0
С помощью несложных оценок		можно показать, что

lim	sin x	1.	Вычисление второго предела требует бóльших
	x
x0

усилий, но можно доказать, что он равен числу e (основанию

натурального логарифма): lim(1 1 ) x e . Доказательства

x x

можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют

замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

lim(1 x)1 / x

e.; lim

ln(1 x)

lim

a x 1

ln a ;

lim

ex 1

; lim

(1 x)

Поэтому

можно утверждать, что при x 0 sin x~ x ,

ln(1 x)~ x ,

a x 1~ x ln a ,

1~ x ,

(1 x) ~ x , где знак ~

означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.

Пример 4. Вычислить предел:

lim

n 2 3 n 4

n 4 16n6 5n5 1 5 n7 n 3

Решение.

lim

n 2

3 n

4 1

n 4

16n

n 3

lim

(1 1/ n2 2 / n3 ) 3 n4 (1 1/ n4 )

n 4 16n6 (1

5 /(16n) 1/(16n6 )) 5 n7 (1 1/ n6

3/ n7 )

lim

n3 / 2

1 1/ n2 2 / n3 n4 / 3 3 1 1/ n4

n 4n3 / 2 4 1 5 /(16n) 1/(16n6 ) n7 / 5 5 1 1/ n6

3/ n7

lim

n3 / 2 ( 1 1/ n2 2 / n3 n 1 / 6 3 1 1/ n4 )

n 4n3 / 2 ( 4

5 /(16n) 1/(16n6 ) n 1 / 10 5 1 1/ n6 3/ n7

)

Очевидно, что все подкоренные выражения при n стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках ─ к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

lim	n3 / 2	1	.

n 4n3 / 2		4

Пример 5. Вычислить предел lim	x5 2x 1	.
	x3 1
x 1			x 1,
Решение. Подставив в заданную функцию
убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида				0	.
				0

Известно, что если x0 ─ корень	многочлена Pn (x) ,			то

Pn (x) (x x0 )Qn1 (x) , где Qn1 (x) ─ многочлен степени	n 1.
Следовательно, x5 2x 1 (x 1)Q (x) . Проще	всего
4
узнать вид многочлена Q (x) , разделив x5 2x 1 на	x 1.
4

Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

x5 2x 1		x 1

x5 x4	x4 x3 x2 x 1
x4 2x
x4 x3

x3 2x x3 x 2

x2 2x x2 x

x 1

Следовательно, x5 2x 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

lim

2x 1

lim

(x 1)(x4

x 1)

x3 1

(x 1)(x2 x 1)

x 1

lim

x3 x2 x 1

x2 x 1

x 1

Пример 6. Вычислить предел lim (

x 2 4

x 2 1) .

вида .

Решение.

Это

неопределенность

Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на

сопряженную сумму

x2 4

x2 1:

lim

(

x2 4

1)(

4 x2 1

( x2 4)2

(

x2 1)2

lim

x2 4

x2 1

4 x2 4

x2 1

3x 4

Пример7. Вычислить предел lim

x 4

Решение. В данном случае имеем дело с

неопределенностью

вида

1 . Преобразуем

выражение в

скобках,

выделив

единицу

бесконечно малую

функцию:

x 2 1

(x 2 x 4) (x 5)

x 5

x 2 x 4

x 2 x

Тогда

x 2 1

3x 4

x 5

3x 4

lim 1

lim

x 4

x x

x 4

lim 1

x 5



x 2 x 4

x2 x 4		x 5


x 5		2
x 5	x	2	x 4
	x		x 4

(3x 4) .

Так как при	x	x 5	─ бесконечно малая

		x2 x 4
величина,

то			x 5
	lim 1
		x 2
	x		x 4

x2 x 4

x 5

Поскольку		lim f (x)
		x a
		x2 x 4


	x 5	x 5
	x 5	x 5
lim 1
lim 1	x 2 x 4
x	x 2 x 4

u( x) lim				lim u( x)	, получаем:
u( x) lim				f (x) x a	, получаем:
		x a
	x 5					( x 5)(3x 4)
			(3x 4)
			(3x 4)

	x2 x 4			lim e		2	x 4	e 3 .
				lim e		x	x 4	e 3 .

Пример 8. Найти предел

lim

2 tg x 2

Решение.

При

рассматриваемая

функция

имеет

неопределенность

вида

Введем новую

переменную

y x . Когда переменная

переменная y 0 . Тогда

рассматриваемый предел принимает вид:

lim

4 y

lim

2 y

2 lim

y 0 2 (tg( y) 1)

y 0 tg

tg y

y 0

1 tg y

1 tg

tg y

2 lim

y(1 tg y)

y 0

2tg y

так как y ~tg y , а 1 tg y 1.

Пример 9.

Найти предел lim

sin 2

( 4x 2

x 4 )

x 0

1 3x 2

Решение.

Неопределенность

вида

При

x 0

4x 2 x 4 2

1 x 2 / 4 ~ 2

. Поэтому sin

4x 2 x 4 ~ 2

Далее,

1 3x2 1 (1 3x2 )

1 ~

x2 .

Поэтому

lim

sin2 ( 4x2 x4 )

lim

4x2

1 3x2 1

x 0

Пример10.

Найти предел lim

ln x 1

x e

Решение.

Неопределенность

вида

Введем новую

переменную y x e. Тогда получим:

lim	ln x 1	lim	ln ( y e) 1	lim
	x e		y
x e		y 0		y 0

ln ( y e) ln e y

	ln	y e
lim		e	lim	ln (1 y / e)	lim	y / e	1	.

		y		y		y	e
y 0			y 0		y 0
Здесь учтено, что ln(1 y / e) ~ y / e при							y 0 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Найти следующие пределы.

1.1 а)

lim

(2n 3)50

n (2n 2) 48 (n 3) 2

1.2. а) lim

1 2x 1

x 0

1.3. а) lim

x 1 3

x 1

x 2 1

1.4. а)

lim

x 4

3x x

1.5. а) lim

e x 1

x 0 ln(1 2x)

1.6. а)

lim

x arctgx

2x 3

x 0

1.7. а) lim

5x 2

3x 5

3 7

2 x

1.8. а)

lim

2 x

1 x 2

1.9. а) lim

2x 3 3

x 6 2x 3

б)

lim sin x tgx
x 0	x 2

2x2 1

x 2 x 5 lim

x x 3

lim e x e

x 1 x2 1

lim (1		2	)	n 3
		3n
n

lim	1 x 2 1

	8 x 2
x0				2	2

1 x

lim 1 sin 2 x x 2

x 0

lim		4 x		3x
lim				3x
x 4 x				3x

lim	sin 2				x 2 4x

			1	2x 1
x 0			1	2x 1
		4
lim		4	x	1


	3 2		3 2x
x 0	3 2		3 2x

1.10.а)

1.11.а)

1.12. а)

1.13. а)

1.14. а)

			б) lim	tgx sin x
lim ( x 2	3x 5	x 2 x 3)

x			x 0 x sin x

(3n 5)

б)

lim

1 sin x

lim

x (3n 2)57 (n 3)3

x (2x )2

x 2

2x 3

б)

lim

sin 3x

lim

x 0 3 2x 9

2x 5 5x 6

1 cos 4x

lim

3x x

б)

lim

1 2x 2

x 0

x 2

3x 4

x 2

б)

x 1

lim

3x 1

1.15. а) lim

1 3 5 ...(2n 1)

б) lim

cos3

n 3

1 x6 1

x 0

1.16. а) lim

1 3 ... n

б)

lim

e4 x

e3x

n 2

x 0

1 10n

1.17. а) lim

б)

lim

n 1 10n 1

x 16

x 4

3x2

1.18. а) lim

б)

x 2

lim

x x

1.19. а) lim

2x 2

б)

lim

3x 2 5x

sin 2x

x 1

ln x

x 0

1.20. а) lim

(1 x)4 (1 x)4

б)

lim

e3x 1

(1 x)3

x 0 ln(1 3x)

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2.

ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Пусть на интервале (a,b) задана функция y f (x) .

Возьмем некоторое число x (a,b)		и придадим аргументу x
приращение	x . Тогда значение функции		получит
приращение	y f (x x) f (x) .	Рассмотрим	отношение

y	f ( x	x) f ( x)	.	Если

x		x			yx ,
конечный		предел дроби
производной функции				y f (x)
символом
		y (x) (или		f (x)):

при	x 0		существует
то	этот	предел	называют
в	точке	x и обозначают

		f (x x) f (x)
y (x)	lim			.
y (x)	lim		x	.
	x 0		x
Нахождение				производной	называют

дифференцированием функции.

Функцию f (x) называют дифференцируемой в точке x , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:

y A x ( х) х .

Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом A y (x) .

Выражение A x y (x) x называют дифференциалом функции и обозначают dy . Приращение аргумента x

называют дифференциалом независимой переменной	и

обозначают dx (dx x) . Таким образом, dy y (x) dx.
Геометрически дифференциал dy есть приращение
касательной, проведенной к графику функции в точке x ,	и

может быть как меньше, так и больше приращения функцииy . Для линейной функции y k x b y dy.

Если производная существует для всех x из интервала (a,b) , то тем самым производная определена как функция


f (x) в этом интервале, и можно говорить о производной от
этой	функции, называемой второй производной		функции
f (x) :	y		высших
		f (x). Аналогично вводится понятие

производных (производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка).

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования

y u v

y u v .

y c u

( c – постоянная) y

c u .

y u v

u v

u v u v

y v

Производная

сложной функции:

если

y f (z(x)), то

где производные функций в правой части

y (x) f (z)

z (x),

равенства берутся по аргументам z и x соответственно. Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:

1.	y c ( c – постоянная)	y 0
2.	y x	y 1
3.	y x	y x 1
4.	y ax ( a – постоянная)	y ax ln a, a 0, a 1
5.	y ex	y ex
6.	y loga x	y			1	, a 0, a 1

				x ln a
				x ln a
	y ln x		1

7.		y	x
7.		y	x
8.	y sin x	y cos x
9.	y cos x	y sin x

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.20192.44 Mб5Матем (ПОСОБИЕ). doc моё.doc
#
01.04.2015150.45 Кб24матем.docx
#
01.04.20151.97 Mб18Математика Лин алгебра КР 2012.doc
#
20.08.20191.77 Mб1Математика(1).doc
#
10.12.20181.77 Mб4математика.doc
#
14.03.20161.58 Mб11МАТЕМАТИКА_КР2.pdf
#
02.04.2015575.63 Кб12Математические метод.pdf
#
16.11.2019139.78 Кб5Матер к зан.07.09.doc
#
25.11.2019132.49 Кб5Материал для распечатки к 101112.docx
#
22.12.2018338.94 Кб9Материал для студентов.doc
#
01.04.2015537.6 Кб31Материаловедение.doc