Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

konetstststs

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
1.23 Mб
Скачать
☆

то при дискретизации этого сигнала получим следующий результат:

При невыполнении теоремы Котельникова картина изменится, из-за наложения спектров:

БИЛЕТ 6. Дискретное преобразование Фурье. Его свойства. Понятие частотного

разрешения. Способы увеличения частотного разрешения.

 

 

Аналоговые

 

Цифровые

Периодические

Непериодические

Периодические

Непериодические

 

 

1)Преобразование Фурье

Ряд Фурье

Интеграл Фурье

(интеграла не будет, т.к. сигнал определѐн в

 

 

дискретных точках)

 

 

2)Дискретное преобразование Фурье

 

j

2

k

 

F k F e

 

N

 

 

 

 

Берѐм аналоговый сигнал

 

 

 

Как его дискретизировать? Как выбрать fд ?

Во-первых нужно определиться, какой диапазон частот нас интересует, т.е ограничить спектр нашего сигнала некоторой частотой f max

И по теореме Котельникова выбираем fд

Частотное рассеяние

Рассмотрим рассеяние на примере спектра двух синусов. Так как частоты синусов не попадают на границы интервалов дискретизации, мы наблюдаем рассеяние.

Чтобы улучшить картину, нужно увеличить Это можно объяснить по следующей формуле. Выразим X e j через X k :

 

 

 

N

 

 

 

 

 

N 1

N 1

X k

 

sin

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

e

2

X e j

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

k

 

j

 

k

k 0

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e N

 

 

 

2

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

Когда частоты сигнала попадают на границы интервалов дискретизации, множитель A 0 и рассеяния нет.

Когда частоты сигнала попадают в интервалы дискретизации, множитель A 0

Т.е. для того, чтобы уменьшить рассеяние, нужно увеличивать N . Идеальный вариант:

Когда частота сигнала не кратна интервалу дискретизации, у нас образуются осцилляции (рассеяние).

При отсутствии рассеяния проблем с частотным разрешением нет, а в нашем случае есть. Увеличение N приведет к улучшению разрешения

Дискретное преобразование Фурье

 

 

N 1

j

2

kn

X k x n e

N

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

1

N 1

 

2

 

 

x n

x k e j

 

N

kn

 

 

 

 

 

N n 0

 

 

 

 

 

-прямое

-обратное

ДПФ определяет значения в дискретных точках на оси частот. По ним можно целиком восстановить спектр сигнала.

Выражение X z через X k :

 

 

N 1

 

 

 

 

N 1

1 N 1

 

 

 

j

2

kn

 

 

 

 

 

 

 

X z x n z n

 

x

k e

 

N

z n

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

n 0

N k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

X k N 1

j

2

kn

 

N 1 X

k

 

 

1 z N

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

N

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

 

j

2

 

kn

 

k 0

n 0

 

 

 

 

k 0

 

 

1 z 1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

Свойства ДПФ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Линейность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Сдвиг

 

 

 

x n X k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x n n0 X k e N kn0

3. Симметрия Если сигнал действительный, то в результате ДПФ мы получаем отсчеты, симметричные по

модулю и антисимметричные по фазе.

Re X k

Re X N k

 

 

 

 

Im X k

Im X N k

 

 

 

 

Если сигнал комплексный, то свойство симметрии не будет соблюдено.

4. Свертка

БИЛЕТ 7. Z-преобразование. Свойства z-преобразования. Z-преобразование базовых

дискретных сигналов. Обратное z-преобразование. Соотношение между z-преобразованием и преобразованием Фурье.

Представляет собой разложение сигнала в степенной ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

X z x n z n

 

где z комплексная переменная.

 

n

 

 

 

 

 

 

Преобразование Фурье является

частным случаем

z преобразований, то есть при

z e j

получаем преобразование Фурье.

 

 

 

 

Сходимость z преобразования:

 

 

 

 

Если последовательность x n конечна,

т.е. отлична от 0 только в ограниченном интервале

n1, n2 , то ее

z преобразование

X z

сходится в

z плоскости, за исключением, быть может,

точек z 0 и

z .

 

 

 

 

Если последовательность x n бесконечна, то сходимость надо уточнять.

Обратное z преобразование:

x n

1

x(z) zn1dz

2 j

 

 

Таблица соответствий.

 

Образ

 

 

x n

 

X z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u n

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r n

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an u n

 

 

 

 

z

 

 

a 1

 

 

 

 

 

z a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1 a

an

r

 

z a z 1

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства z преобразования.

1. Линейность.

x1 n X1 z x2 n X2 z

a x1 n b x2 n a X1 z b X2 z

2. Задержка (сдвиг).

x n X z

x n n0 X z z n0

3. Свертка.

y n x n h n

Y z X z H z

4. Перемножение последовательностей.

y n x1 n x2 n

Y z

1

 

X1

X

 

z

1d

 

2

 

 

2 j

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Теорема Парсеваля– аналог закона сохранения энергии. Вся энергия, содержащаяся в сигнале

должна перейти в z

 

преобразование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x n

2

 

x j

2 d

 

 

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графическое представление z преобразований.

z преобразования

используются для

проектирования фильтров (линейных систем). Нужно

h n H z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция H z , так

же как H j

 

называется передаточной функцией системы. Есть

соответствие между Z-преобразованиями и преобразованиями Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X z x n z n

z e j x j x n e j n

 

 

n

 

 

 

 

 

n

z преобразование определено на всей комплексной плоскости, а преобразование Фурье на единичной окружности, которая является осью частот.

БИЛЕТ 8. Быстрое преобразование Фурье. Явление частотного рассеяния, способы его

уменьшения.

Это способ вычисления дискретного преобразования Фурье. Ускорение происходит за счет исключения одинаковых значений.

Метод перестановок во времени:

8-ми точечное преобразование Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

j

nk

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x k x n e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x k x 0 e

j

nk

0

x 1 e

j k

1

x 2 e

j k

2

x 3 e

j k

3

 

 

 

 

 

N

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 e

j k

4

x 5 e

j k

5

x 6 e

j k 6

x 7 e

j k 7

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы вычислить N коэффициентов надо произвести N 2 комплексных умножений и N (N 1) комплексных сложений.

При k 1, n 2 и k 2 ,

n 1 результат тот же.

 

N 2

 

 

 

N 2

 

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

N 1

Пусть WN

 

N

 

, тогда

x k x n WNkn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n0

W 2

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

N

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

W k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W 2

e j

 

 

2

 

e

 

N 2 W

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

2

 

 

 

N

 

 

2

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

j

 

k

 

 

 

 

e

j

 

k

e j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

2

 

 

e

 

N

 

 

 

2

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x 2 x 4 x 6

 

x 1 x 3 x 5 x 7

 

 

 

x n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2n

x 2n 1

 

 

N 2 1

N

2 1

 

N

2 1

 

N 2 1

x k x2n WN2nk x2n 1 WN2n 1 k x2n WN2nk WNk x2n 1 WN2nk

n 0

n 0

 

n 0

 

n 0

 

 

N 2 1

 

N 1 1

 

 

 

x2n

WNnk WNk x2n 1

WNnk

 

 

 

n 0

2

n 0

2

 

 

 

 

 

 

Бабочка. Алгоритм Тюки и Кули.

x1 k x11 k WNk x12 k

полное четные нечетные

Количество элементов последовательности должно быть N 2l

Бабочка– базовый элемент преобразования Фурье:

x 0

 

x 1

x 2

 

x 3

x 4

x 5

x 6

 

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x 2

x 4

x 6

 

x 1

x 3

x 5

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x 4

x 2

x 6

 

x 1

x 5

x 3

x 7

x1 k x11 k WN k x12 k

x

0 x 0 W

0 x 4 x 0 x 4

 

 

 

 

 

 

21

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x 0 W 1 x

4 x 0 x 4

 

 

 

 

 

 

21

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

e

j k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k x

k W k

x

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

21

 

N

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k

x

k W k

x

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

23

 

N

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x11 0 x21 0 x22 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k x

1 W 1

x

1

x

1 W 2

x

1

 

 

11

 

21

 

N

22

 

 

21

 

8

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 x

2 W 2

x

 

2 x

 

2 W 4

x

 

2 x

0 x

0

11

 

21

 

N

22

 

 

21

 

8

22

21

22

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x21 2 x21 0 ;

x22 2 x22 0

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности