![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательство: (метод деления пополам).
- •Второй замечательный предел:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Доказательство:
Возьмем
число
>0.
Так как функция
непрерывна
в точке
то
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(1)
А
так как функция
непрерывна в точке
,
то для положительного числа
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(2)
Возьмем
любое число
такое, что
.
Тогда в силу (2)
число
удовлетворяет неравенству
,
и поэтому в силу (1)
.
Так как все эти вычисления проведены
для любого
>0,
то непрерывность функции
в точке
доказана.
БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.
Определение:
-точка
разрыва функции
,
если в точке
функция
не
является непрерывной.
Определение:
точка-точка
устранимого разрыва функции
,
если существует
,
но
не
определена в точке
,
либо
.
Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:
-
непрерывна в точке
.
Пример:
.
,
-
точка устранимого разрыва
.
Если
не
существует, то
-точка
неустранимого
разрыва
.
Определение:
Пусть точка-точка
неустранимого разрыва функции
,
тогда:
-
если существует
, то
.
-
если
, то
-точка разрыва функции
1-го рода.
-
если
, то
-точка разрыва функции
2-го рода.
Примеры:
1).
.
,
-
точка разрыва
1-го
рода.
2).
.
,
-
точка разрыва
2-го
рода.
3).
,
-
точка разрыва
2-го
рода.
4).
не
существует
точка
-
точка разрыва
2-го
рода.
,
.
Точка
-
точка разрыва
2-го
рода.
БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции.
Определение:
непрерывна на
,
если
непрерывна в точке
,
непрерывна
на
,
если
непрерывна в точке
,
и
Существует
,
.
Теорема:
Пусть
определена на
и
,
причем
.
Тогда
.
Пусть
,
.
Используем метод деления отрезка
пополам.
Обозначим:
,
.
Определим
1)
=0
.
2)
<
0
,
.
3)
>
0
,
и так далее.
.
.
По
лемме о вложенных отрезках:
,
то есть
.
непрерывна
в точке
.
.
0
()
.
.
0
()
БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть
.
Тогда
ограничена
на
.
Доказательство:
Докажем,
что
.
Предположим
противное, то есть
.
Возьмем
=1,2,3…
Получим
:
1)
2)
Из
этих определений получаем
.
=>
-подпоследовательность
последовательности
:
.
-непрерывна
в точке
=>
.
-подпоследовательность
последовательности
:
=>
.
Противоречие.
Замечание:
Замкнутость
по
существу.
,
,
но
Не
является ограниченной на
.
БИЛЕТ 24. Обратная функция. Примеры. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции (без доказательства).
Определение: Пусть на множестве D определена функция у = f(x) и E –множество ее значений. Определим новую функцию, х = h(y), которая определена на множестве Е и каждому значению у ставит в соответствие то самое значение х из множества D, для которого у = f(x). Эта новая функция х = h(y) называется функцией, обратной к функции у = f(x). Таким образом, для нахождения функции, обратной к функции у = f(x), надо решить уравнение у = f(x) относительно х.
Примеры:
-
Найти функцию обратную для :
-
Область определения функции: D(f) =(-∞;+∞), область значений функции: E(f)=(-∞;+∞)
-
Выразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)
-
– это обратная функция функции и наоборот.
-
Найти функцию обратную для . :
-
Область определения функции: D(f)=ℝ, область значений функции: E(f)=(0;+∞)
-
Выразим x через y - . (По сути это и есть обратная функция, но следует записывать так:)
-
– это обратная функция функции и наоборот.
Теорема: Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [f(a),f(b)] определена обратная функция f(-1)(x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).
БИЛЕТ 26. Производная функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Геометрический смысл производной.
Производной от
функции
в
точке
называется предел отношения
приращения функции к
приращению аргумента
:
при
,
если он
существует, то есть:
или
Определение:
Пусть функция f(x) определена в окрестности
точки
.Если
ее приращение
можно представить в виде
,то
говорят ,что f(x) дифференцируема в точке
(иногда
пишут
-величина
более высокого порядка, чем
а это означает, что
)
-линейная
функция от
.Она
называется дифференциалом функции f(x)
и обозначается
Пример:
Критерий дифференцируемости:
Для
того, чтобы функция y=f(x)
была дифференцируема в точке
необходимо и достаточно, чтобы существовала
производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость.
f(x)
дифференцируема в точке
это означает
.
Разделим это равенство на
и перейдем к пределу
,т.е. существует
,
т.е. производная существует.
2.Достаточность.
Пусть существует
или
,
т.е. f(x)
дифференцируема в точке
.
Итак,
,
т.е.
.Отсюда
следует новое обозначение производной
и эту величину можно рассматривать как
один символ, так и как частное
дифференциалов.
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол
наклона секущей AB.
Таким
образом, разностное отношение равно
угловому коэффициенту секущей. Если
зафиксировать точку A и двигать
по направлению к ней точку B,
то неограниченно
уменьшается и приближается к 0, а секущая
АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного
отношения равен угловому коэффициенту
касательной в точке A. Отсюда
следует: производная функции в точке
есть угловой коэффициент касательной
к графику этой функции в этой точке. В
этом и состоит геометрический
смысл производной.
БИЛЕТ 27. Дифференцирование сложной функции.