1.4. Форматы представления чисел

В математике широко используются две формы записи чисел: естественная и нормальная. Примеры естественной формы записи чисел: 1 256 – целое число, 0.0357 – правильная дробь, 4.89760 – неправильная дробь.

Запись одного числа в нормальной форме может быть различной в зависимости от ограничений, накладываемых на ее форму. Например, число 1256 может быть записано так: 1 256= 1,256*10³=0,1256* 10⁴ = 12 560*10^-1 и т.д.

При естественном представлении чисел в ЭВМ устанавливаются длины разрядной сетки, а также целой и дробной частей. При этом распределение разрядов между целой и дробной частями не изменяется и остается постоянным независимо от величины числа. В связи с этим такое представление числа называется формой с фиксированной запятой. В современных вычислительных машинах эта форма используется преимущественно для представления целых чисел.

Так как числа бывают положительные и отрицательные, то в разрядной сетке при машинном представлении один разряд отводится под знак числа, а остальные образуют поле числа. В знаковый разряд, который обычно располагается перед старшим разрядом числа, записывается информация о знаке числа. Знак положительного числа « + » изображается символом 0, а знак отрицательного числа « – » – символом 1. Если поле числа включает в себя n разрядов, то диапазон представления целых чисел в этом случае ограничивается значениями – (2ⁿ -1) и +(2ⁿ – 1).

Представление числа в ЭВМ в нормальной форме обычно называют представлением с плавающей запятой, так как положение запятой в записи числа, как показывают приведенные примеры, в этом случае может изменяться. В нормальной форме запись числа А имеет структуру

А= m_°q^p _,

где m – мантисса числа А; р – порядок числа А (характеристика числа).

Чтобы избежать неоднозначности представления чисел, используют так называемую нормализованную форму: m – число с запятой, фиксированной после определённого разряда. В двоичной системе представления чисел в ПК запятая фиксируется после первой значащей цифры (единицы) и поскольку кроме единицы там ничего быть не может, то эту единицу можно не хранить в памяти ЭВМ (скрытый или неявный бит).

В других системах счисления запятую в мантиссе принято располагать перед первой значащей цифрой и для m справедливо следующее условие:

q^-1 ≤ |m_A| <1,

где q – основание системы счисления.

Так, числа 12,5*10² и – 0,00543*10^-5 в нормализованном виде в соответствии с указанным выше условием должны быть записаны следующим образом:

0,125*10⁴; – 0,543*10^-7.

Формат машинного изображения числа с плавающей запятой содержит знаковые части и поля для мантиссы и порядка. Кодирование знаков остается таким же, как и при представлении числа в форме с фиксированной запятой.

Существует стандарт на представление чисел в ПК: IEEE-754 и более новый и общий IEEE-854.

В процессоре все числа хранятся в едином 80-битном расширенном формате. В оперативной памяти целые числа могут занимать 16, 32 или 64 бита, а числа с плавающей точкой – 32, 64 или 80 бит. 18-разрядные десятичные числа автоматически преобразуются в расширенный формат при загрузке в регистры процессора. Результаты вычислений при записи в оперативную память преобразуются в исходный формат, который был задан до загрузки в регистры процессора.