Boyarshinov_ChM_T3

Поскольку модуль упругости стали равен E = 2 1011 Мпа, коэффициент Пуассона = 0,3, площадь конечного элемента S1 = ½, коэффициенты матрицы

Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов { F1} и { F2} равны нулю.

Для подсчета значений {F1} вся граница первого конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г1 + Г2 + Г3 , при этом считается, что вдоль каждой границы конечного элемента поверхностные нагрузки постоянны. На границе Г1 касательная нагрузка Fy1 0 в силу симметрии расчетной схемы; на

81

Суммированием полученных значений определяется значений всего интеграла на всей границе Г,

Fx 1d Fx12 Fx322.

Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется аналогично,

Fy 1d Fy1 1d Fy2 1d Fy3 1d ,

Для первого конечного элемента построен вектор поверхностных нагрузок

82

Fx1

F2

y

и сформирована система алгебраических уравнений для первого конечного элемента

83

Предполагается, что вдоль соответствующих границ поверхностные нагрузки постоянны, при этом на свободной поверхности Г4 нагрузки Fy4 0, Fx4 0, на границе Г5 усилие Fx5 0 вследствие симметрии расчетной схемы.

Вычисляются интегралы, содержащие функцию 1 1 x,

Вектор граничных нагрузок для второго конечного элемента (рис. 4.3)

Система алгебраических уравнений для второго конечного элемента

84

Для выполнения ансамблирования системы алгебраических уравнений для каждого из элементов расширяются за счет добавления неизвестных величин узловых перемещений. В первую систему уравнений добавляются u2, v2 , во вторую – неизвестные u4, v4 . Теперь системы уравнений принимают вид

Почленное сложение левых и правых частей обеих расширенных систем уравнений позволяет избавиться от внутренних усилий Fx3, Fy3 , действующих на внутренней границе Г3,

85

Полученная система, содержащая восемь уравнений, имеет определитель, равный нулю. В этом легко убедиться, поскольку сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений.

Для получения корректного решения следует изменить граничные условия рассматриваемой задачи: необходимо поставить условия закрепления выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симметрии

где – величины заданного перемещения. В результате оказываются неизвестными и подлежат определению лишь узловые перемещения полученной системы восьми уравнений выбираются уравнения, не содержащие неизвестные усилия Fx1, Fy2, Fy5 на границе,

1,4u1 0,4v1 1,8u2 1v2 0,4u3 0,6v3 0u4 0v4 0,

0u1 1v1 0,4u2 0,4v2 1,8u3 0v3 1,4u4 0,6v4 0.

Подстановка указанных кинематических граничных условий приводит к системе двух уравнений относительно двух неизвестных,

1,8u2 0,4u3 0,6 ,

0,4u2 1,8u3 0,6 .

Отсюда следует

u2 u3 3 7.

86

Теперь, используя заданные и найденные перемещения, из оставшихся уравнений системы определяются усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует

E3

1,4 0,4 0.

1,04 7

Второе уравнение дает

Из шестого уравнения системы получается

Fy2 E 1u1 0v1 0,6u2 1,4v2 0u3 1,8v3 0,4u4 0,4v4 1,04

Знак минус в последнем результате показывает, что усилие Fy2 действует в направлении, противоположном указанному на рис. 4.3.

Для оценки точности полученные значения сравниваются с аналитическим решением той же задачи, приведенным в []. Перемещение плиты связано с величиной развиваемого плитами давления P соотношением

1 2 PE.

Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением P,

U 1 PE .

Исключение давления P из этих выражений дает

P E 1 2 , U 1 1 2 .

Для взятых значений E и получается

Это означает, что численное решение рассмотренной задачи, полученное с помощью метода взвешенных невязок, оказалось точным.

87

Плоско-напряженное состояние

В плоско-напряженном состоянии находятся тела, имеющие пренебрежимо малый размер в одном из направлений: пластины, оболочки, мембраны и тому подобные. В этом случае напряженное состояние в указанном направлении (на рис. 4.4 – вдоль оси z) практически не изменяется по толщине (при равных давлениях с внешних сторон напряжение zz по модулю равно этому давлению).

y

Рис. 4.4. Расчетная схема плосконапряженного состояния

z

Если поверхности пластины (оболочки) свободны от нагрузки, то можно полагать zz 0. Принимается, что в плоскостях Oxz и Oyz сдвиговые деформации отсутствуют, то есть xz 0, yz 0. Обратимся к соотношениям закона Гука (4.14) для установления связи между компонентами тензоров напряжения и деформации при плоско-напряженном состоянии. Из условия

zz xx yy zz 2G zz 0

88

Полученные выражения позволяют установить связь векторов напряжения и деформации в виде (4.15), где

Система уравнений относительно коэффициентов разложения решения в ряд по пробным функциям соответствует выражению (4.18) с матрицами [Bk], [ k], {F} и { F}, определенными ранее.

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние

При условиях осевой симметрии формы рассматриваемой конструкции и осесимметричных граничных кинематических и силовых условиях (форма тела и условия его нагружения не зависят от угла , рис. 4.5) принимается допущение, что сдвиговые деформации

и, согласно закону Гука (4.14), компоненты тензора напряжения

Это, в свою очередь, означает, что при анализе напряженнодеформированного состояния можно рассматривать не все тело, а только его сечение в плоскости Orz.

Установим зависимость между компонентами тензоров напряжения и деформации согласно (4.14),

E

rr 2G rr zz 1 1 2 1 rr zz ,

E

1 1 2 rr 1 zz ,

Эти выражения позволяют записать связь компонентов тензоров напряжения и деформации в матричной форме (4.15), где обозначено

89