Boyarshinov_ChM_T3
.pdfВпределах каждого элемента Гj значения u~j и q~j считаются постоянными
иприведенными к центру этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением
N
j ,
j 1
выражение (6.4) можно преобразовать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
uk |
|
~ k |
|
~ |
N ~ |
|
k |
N |
~ |
|
|
|
2 |
u |
d q kd f kd uj |
n |
d qj kd f kd , |
|||||||||
|
|
n |
|
|
j 1 |
|
j |
j 1 |
|
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где u~j , q~j – величины, подлежащие определению, k – функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения (6.1) при точечном источнике, расположенном в центре k-го граничного элемента.
Пусть
|
|
|
|
|
|
k d |
1 |
, |
k j, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
Gkj |
k d ; |
j |
n |
|
|
|
||||
|
Hkj |
|
k |
|
|
|
|
|||
j |
n |
|
|
d , |
k j. |
|||||
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
Теперь выражение (6.4) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений
N |
N |
f kd , |
|
|
Gkjq~j |
Hkju~j |
k 1,N , |
(6.5) |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центры всех граничных элементов. В системе уравнений (6.5) содержатся 2N величин u~j, q~j . Однако из них известны NU величин u~ U на границе ГU и NQ значений q~ Q на границе ГQ. Следовательно, система N уравнений (6.5) содержит ровно N величин, подлежащих определению.
После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области выражение (6.2) позволяет отыскать искомое решение в любой точке xk, лежащей внутри исследуемой области. В этом случае функцияk является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке xk.
Построение фундаментального решения
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение
L u 0.
121
Собственные функции n, удовлетворяющие оператору L, определяются соотношением
L n n n ,
где n – собственные значения.
Пример 6.4. Рассмотрим уравнение u 0. Собственными функциями для
него являются, например, |
|
n |
A enx, |
|
n 1, 2, Действительно, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n Ann2enx n2 n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
причем собственные значения n |
n2, |
|
|
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Для того же уравнения имеется другая система собственных функций, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n An sinnx Bn cosnx, |
|
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n Ann2 sinnx Bnn2 |
cosnx n2 n, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2, |
|
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 6.5. |
|
Пусть |
|
в |
|
|
области |
|
x, y |
|
x a,a , |
y b,b задано |
||||||||||||||||||||||||
дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с однородными граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u a, y u a, y u x, b u x,b 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Собственными функциями для этого уравнения являются |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
A sin n xsin n y , |
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка этого выражения в исходное уравнение дает |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n |
|
2 |
n |
A |
|
n2 2 |
sin |
n x |
sin |
n y |
A |
|
n2 2 |
sin |
n x |
sin |
n y |
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
b2 |
|
a |
|
b |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
n a2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
2 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
n x |
|
n y |
n |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
b |
2 |
An sin |
a |
|
sin |
b |
|
|
|
2 |
b |
2 |
n , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
2 1 |
|
|
1 |
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводятся скалярное произведение
u,v uvd
122
и норма |
|
|
|
|
|
u u,u |
|
|
|
1 2 |
|
|
u2d . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для построения фундаментального решения уравнения |
|||||
L k x xk |
(6.6) |
может применяться следующий конструктивный алгоритм. Пусть имеется замкнутая ортонормированная система собственных функций n, n 1, для линейного дифференциального оператора L. Коэффициенты разложения функции x xk в ряд Фурье по этой системе равны
p x xk , p x x xk p x d p xk .
Это означает, что сама -функция представима в виде
x xk p p x p xk p x .
p 1 p 1
Пример 6.6. Представление функции x на отрезке [– , ] с помощью ряда Фурье
x xk 1 a0 |
|
ap cos px bp sin px , |
|||||
|
|||||||
|
|
|
2 |
p 1 |
|
|
|
где коэффициенты ap, bp определяются по формулам Эйлера-Фурье |
|||||||
ap 1 |
|
|
|
|
|
|
|
t xk cos pt dt 1 cos pxk , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bp 1 |
|
|
|
|
|
1 sin pxk , p 0, . |
|
t xk sin pt dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть для определенности xk = 0, тогда |
|
||||||
|
ap 1 , |
bp 0, |
p 0, , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и -функция представляется разложением |
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 cos px. |
|||||
|
|
|
|
2 |
p 1 |
|
|
Очевидно, что в точке x = 0 функция обращается в бесконечность, |
|||||||
0 1 |
|
|
|
|
|
||
1 cos0 |
1 |
1 1 . |
|||||
|
2 |
p 1 |
|
2 |
p 1 |
123
Интеграл от этого ряда |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x dx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 cos pxdx 1 |
1 sin px |
1. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
p 1 |
|
p 1 |
p |
|
|
На рис. 6.1 показано поведение ряда Фурье для -функции при различных |
||||||||||
p вблизи точки x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
7 |
|
|
10 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
-3 |
|
-1 |
|
1 |
x |
-3 |
-1 |
|
1 |
x |
80 |
|
|
250 |
|
3200 |
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
2400 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
10000 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
100 |
|
1600 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
800 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
-800 |
|
|
|
|
-0,1 |
-0,05 |
0 |
0,05 |
x |
-0,002 |
0 |
|
x |
||
Рис. 6.1. Ряды Фурье для -функции при различных p (обозначены на рисунках) |
||||||||||
|
|
|
|
вблизи точки x = 0 |
|
|
|
|
Представим искомое фундаментальное решение k(x) разложением в ряд
Фурье по той же системе функций n, |
n 1, , |
k x q q x .
q 1
Подстановка разложения функции k(x) в силу линейности оператора L приводит к выражению
124
|
|
|
|
|
|
q q |
|
qL q |
x q q q x . |
L k L |
x |
|||
q 1 |
|
q 1 |
q 1 |
Сучетом этого уравнение (6.6) приводится к виду
q q q x p xk p x .
q 1 p 1
В силу независимости собственных функций n, n 1, имеет место
n n n xk , |
n 1, . |
|
Отсюда следует, что |
|
|
n |
n xk , |
n 1, , |
|
n |
|
и фундаментальное решение уравнения (6.6) принимает вид
k x p xk n x .
n 1 n
Контрольные вопросы и задания
Получите разрешающие соотношения метода граничных элементов с использованием метода взвешенных невязок (на примере уравнения Пуассона).
Дайте определение фундаментального решения краевой задачи.
Для чего используется -функция Дирака при получении фундаментального решения заданного дифференциального уравнения.
Обоснуйте необходимость применения фундаментального решения в методе граничных элементов.
Покажите, что функция k ln r 2 является фундаментальным решением двумерного уравнения k x xk .
Предложите систему собственных функций для дифференциального уравнения u u 0.
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения u u 0.
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.4.
Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.5.
125
П Р Е Д М Е Т Н Ы Й
А |
|
|
аппроксимация ............................................. |
|
|
квадратичная........................................ |
|
42 |
кусочно-линейными функциями |
........51 |
|
линейная............................................... |
|
40 |
Б |
|
|
Бреббиа К.................................................... |
|
5 |
В |
|
|
вычислительный эксперимент................ |
|
111 |
Г |
|
|
Гамильтон У. Р.......................................... |
|
68 |
Генки Г...................................................... |
|
93 |
гипотеза единой кривой........................... |
|
94 |
граничные условия ....................................... |
|
|
I рода.................................................... |
|
55 |
II рода............................................. |
|
50, 51 |
III рода.................................................. |
|
56 |
кинематические................................... |
|
68 |
силовые................................................ |
|
68 |
функция завихренности..................... |
|
104 |
функция тока...................................... |
|
103 |
Грина Дж..................................................... |
|
7 |
Гук Р........................................................... |
|
71 |
Д |
|
|
давление................................................... |
|
102 |
деформация объемная............................... |
|
72 |
Дирак П. А. М........................................... |
|
18 |
З |
|
|
закон Гука...................................... |
76, 88, 94 |
|
Зенкевич О................................................... |
|
4 |
значение собственное............................. |
|
122 |
К |
|
|
координата естественная.......................... |
|
36 |
коэффициенты .............................................. |
|
|
Ляме...................................................... |
|
70 |
Пуассона .............................................. |
|
71 |
Юнга..................................................... |
|
72 |
Л |
|
|
Лаплас П. С................................................. |
|
9 |
Лежандр А. М............................................ |
|
40 |
М |
|
|
метод ............................................................. |
|
|
внутренний............................................. |
|
6 |
граничных интегральных уравнений..10 |
У К А З А Т Е Л Ь |
|
|
граничных элементов.............. |
4, 10, 114 |
|
дополнительных нагрузок................... |
|
96 |
коллокаций........................................... |
|
12 |
конечных разностей............................ |
|
16 |
конечных элементов.............................. |
|
4 |
моментов.............................................. |
|
11 |
наименьших квадратов........................ |
|
14 |
переменных параметров упругости.... |
94 |
|
подобластей......................................... |
|
13 |
множество .................................................... |
|
|
плотное................................................. |
|
21 |
слабо компактное................................ |
|
21 |
модуль Юнга............................................. |
|
72 |
Н |
|
|
нагружение простое.................................. |
|
93 |
напряжения ................................................... |
|
|
дополнительные.................................. |
|
96 |
полные.................................................. |
|
96 |
упругие................................................. |
|
96 |
невязка................................................... |
|
6, 51 |
О |
|
|
оператор ....................................................... |
|
|
H-эллиптический................................. |
|
23 |
Лапласа............................................... |
|
118 |
ортогонального проектирования........ |
22 |
|
осадка полосы........................................... |
|
79 |
Остроградский М. В................................ |
|
105 |
П |
|
|
переменные внутренние........................... |
|
53 |
полиномы ..................................................... |
|
|
иерархические...................................... |
|
37 |
Лежандра.............................................. |
|
40 |
последовательность ..................................... |
|
|
сильно сходящаяся.............................. |
|
21 |
слабо сходящаяся................................. |
|
21 |
слабо фундаментальная....................... |
|
21 |
фундаментальная................................. |
|
20 |
поток тепловой.............................. |
50, 51, 56 |
|
предел слабый........................................... |
|
21 |
проектор.................................................... |
|
22 |
производная ................................................. |
|
|
ковариантная........................................ |
|
90 |
обобщенной функции.......................... |
|
19 |
пространство ................................................ |
|
|
банахово............................................... |
|
21 |
вложенное............................................ |
|
21 |
гильбертово.......................................... |
|
21 |
126
основное............................................... |
|
17 |
полное.................................................. |
|
21 |
сепарабельное...................................... |
|
21 |
сопряженное........................................ |
|
21 |
Р |
|
|
решение ........................................................ |
|
|
обобщенное.................................... |
|
23, 26 |
обобщенное, по Галеркину................. |
|
23 |
фундаментальное................... |
4, 116, 121 |
|
ряд Тейлора............................................. |
|
104 |
С |
|
|
символы Кристоффеля.............................. |
|
90 |
состояние ...................................................... |
|
|
осесимметричное................................. |
|
89 |
плоско-деформированное................... |
|
75 |
плоско-напряженное........................... |
|
88 |
сумма пространств прямая....................... |
|
21 |
схема разностная .......................................... |
|
|
Крэнка-Николсона............................... |
|
66 |
неявная................................................. |
|
66 |
явная..................................................... |
|
66 |
Т |
|
|
тензор ............................................................ |
|
|
деформации.............................. |
68, 73, 92 |
|
деформации, второй инвариант |
..........93 |
|
деформации, девиатор......................... |
|
93 |
метрический, компоненты.................. |
|
69 |
напряжения.......................................... |
|
68 |
напряжения, второй инвариант.......... |
93 |
|
напряжения, девиатор......................... |
|
93 |
физико-механических свойств............ |
68 |
|
теорема ......................................................... |
|
|
Рисса..................................................... |
|
21 |
течение в замкнутой полости................. |
|
109 |
У |
|
|
уравнение ...................................................... |
|
|
Пуассона................................................. |
|
6 |
равновесия........................................... |
|
69 |
уравнения ..................................................... |
|
|
геометрические.............................. |
|
68, 73 |
давления............................................. |
|
107 |
Лапласа............................................... |
|
114 |
Навье-Стокса..................................... |
|
101 |
несжимаемости.................................. |
|
101 |
Пуассона............................................. |
|
114 |
равновесия........................................... |
|
68 |
теплового баланса......................... |
|
53, 54 |
теплопроводности, нестационарное...63 |
теплопроводности, стационарное...... |
50 |
|
физические..................................... |
|
68, 71 |
Ф |
|
|
формулировка .............................................. |
|
|
обратная......................................... |
|
8, 114 |
ослабленная.......................................... |
|
69 |
слабая..................................................... |
|
8 |
формулы Тома......................................... |
|
104 |
функции ........................................................ |
|
|
билинейные.......................................... |
|
46 |
высших степеней................................. |
|
34 |
двух переменных................................. |
|
40 |
иерархические...................................... |
|
37 |
квадратичные........................... |
35, 37, 58 |
|
кубические...................................... |
|
35, 37 |
линейные........................................ |
|
37, 41 |
пробные, векторные............................ |
|
69 |
степени p.............................................. |
|
35 |
трех переменных.................................. |
|
47 |
функция ........................................................ |
|
|
(-функция...................................... |
17, 116 |
|
ассоциируемая с узлом.................. |
|
31, 36 |
билинейная........................................... |
|
23 |
взвешивающая....................................... |
|
6 |
завихренности.................................... |
|
100 |
индикаторная....................................... |
|
13 |
кусочно-линейная................................ |
|
31 |
кусочно-постоянная............................ |
|
29 |
обобщенная.......................................... |
|
17 |
определение......................................... |
|
16 |
основная............................................... |
|
17 |
пробная............................................. |
|
6, 29 |
собственная........................................ |
|
122 |
тока..................................................... |
|
100 |
финитная.............................................. |
|
17 |
Хевисайда............................................. |
|
19 |
Х |
|
|
Хевисайд О................................................ |
|
20 |
Ч |
|
|
число Рейнольдса............................ |
101, 111 |
|
Э |
|
|
элементы конечные ...................................... |
|
|
ансамблирование............... |
53, 66, 74, 85 |
|
матрица жесткости.............................. |
|
79 |
параллелепипеды................................. |
|
49 |
сеточная область................................ |
|
111 |
тетраэдральные.................................... |
|
47 |
треугольные......................................... |
|
40 |
127
четырехугольные................................. |
46 |
Ю |
|
|
|
Юнг Т......................................................... |
71 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. – М.:
Мир, 1987. – 524 с.
2.Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. – М.: Мир, 1982. – 248 с.
3.Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967. – 416 с.
4.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.:
Мир, 1986. – 318 с.
5.Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. – 512 с.
6.Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 742 с.
7.Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1981. – 544 с.
8.Коннор Дж. Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. – Л.: Судостроение, 1979. – 264 с.
9.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.
10.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978. – 736 с.
11.Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 264 с.
12.Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. –
М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1981. – 344 с.
13.Рекач В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. – М.: Высшая школа, 1977. – 216 с.
14.Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. – 616 с.
15.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
16.Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. – 228 с.
17.Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.
18.Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.
19.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. – М.: Мир, 1988. – 352 с.
128
П Р И Л О Ж Е Н И Е
129
Бояршинов Михаил Геннадьевич
Численные методы
Часть 3 Учебное пособие
Лит. и техн. редактор Корректор
Лицензия ЛР № 020370 от 29.01.97
Подписано к печати 10.06.2001. Формат 60 90 / 16 Печать офсетная. Набор компьютерный. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 200. Заказ
Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29а