курсовая
.docxВведение.
-
Что изучает аналитическая геометрия? Основной метод аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических предметов аналитическим способом (с помощью формул).
Основным методом аналитической геометрии является метод координат. Суть метода во взаимно-однозначном соответствии между точками плоскости (пространства) и парами (тройками) вещественных чисел.
-
Координаты на плоскости. Связь между ними.
Декартовая система координат.
Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось (ось ординат); горизонтальная – ось (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка на плоскости определяется двумя числами , называемыми координатами . Точки расположены на плоскости в соответствии с своими координатами (М(х,у)).
Полярная система координат.
Полярная система координат состоит из точки, которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси. Тогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением(М).
Переход от полярных к декартовым и обратно.
Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах. Так, если точка имеет в декартовой системе координаты , а в полярной – , то , . Отсюда следует и обратное выражение ,.
-
Что такое линия на плоскости? Как задать линию на плоскости? Что называется уравнением линии на плоскости? Текущие координаты. Виды уравнений линии. Как найти точки пересечений двух линий.
Линия на плоскости-множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством.
Положение линии на плоскости определяется уравнением (равенством), связывающим координаты точек линии.
Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение F(х;у)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.
Координаты Х и У в уравнении линии рассматриваются как координаты переменной точки, лежащей на линии. В уравнении линии они называются текущими координатам.
F(x;y)=0-уравнение линии
X;y-текущие координаты
Виды уравнений линии:
-
Параметрические уравнения линии
Х=Х/t
Y=Y/t где х и у координаты точки М (х,у),лежащей на линии. Они зависят от переменной t-параметра.
-
Векторное уравнение линии
r=r/t,где t-скалярный параметр. Каждому значению t соответствует радиус-вектор.
Точка пересечения двух линий.
Две линии заданы уравнениями: F(x,y)=0; Ф(х,у)=0.
Чтобы найти точки пересечения, надо решить систему, состоящую из этих уравнений. Каждая пара чисел будет определять точку пересечения.
1.Вводная часть:
Что такое полярная система координат? Как построить точку в полярной системе координат? Как определить координаты точки в полярной системе координат? Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R. Какие линии заданы уравнениями и , записать их в декартовых координатах.
Полярная система координат- система, которая состоит из точки, которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси.
Чтобы построить точку в полярной системе координат, нужно:
-
От оси отложить угол α
-
Провести луч
-
Отложить количество нужных единиц
Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (М ).
Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R: r=R
Линии, заданные уравнениями и , называются линиями окружности в полярной системе координат.
2. Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах. Преобразования прямоугольной системы координат. Канонические уравнения кривых второго порядка. Как общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду?
Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах: A11x^2+2A12xy+A22y^2+2A31x+2A32y+A33=0
Преобразования прямоугольной системы координат:
Переход от одной системы координат к другой, которая осуществляется с помощью формул перехода, позволяющих по существующим координатам, определить ее координаты в другой.
Канонические уравнения кривых второго порядка:
-
Элипс: x^2/a^2+y^2/b^2=1
-
Гипербола: x^2/a^2-y^2/b^2=1
-
Парабола: y=2px
Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду можно двумя способами:
-
Выписать коэффициенты перед а11,2а12,а22,2а32,а33.
-
Составить инвариант: а11*а22-а12^2>0-элиптический вид
а11*а22-а12^2 <0-гиперболический тип
а11*а22-а12^2=0-параболический тип
-
а11*а22-а12^2≠0-элиптический или гиперболический тип
Определить центр линии 2-го порядка из системы
А11x0+f12y0=-a13
A12x0+a22y0=-a32 O’(x0;y0)
-
Записать формулы перехода и подставить их в исходное уравнение, при этом коэффициенты при квадратах текущих координат останутся те же, коэффициенты при 1-ой степени надо пересчитать свободный член.
х=х’+x0
y=y’+y0
a11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0
-
Избавиться от слагаемого со смешанным произведением, для этого повернем Оху на угол α.
1 способ поворота:
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы коэффициентов
-составим характеристическое уравнение
-найдем направление осей новой системы координат. Оси направлены по собственным векторам матрицы коэффициентов.
2 способ поворота:
α=1/2arctg a11-a22/2а12
Формулы перехода
X’=x”cosα-y”sinα
Y’=x”sinα+y”cosα
Подставим в уравнение а11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0
3. Общая схема исследования функции.
-
Находим область определения и точки разрыва ( там, где функция не существует)
-
Определяем четность/нечетность функции.
Если f(-x)=f(x)- функция четная и график симметричен относительно Оу
Если f(-x)=-f(x)-функция нечетная и график симметричен относительно начала координат
Периодичность f(x+T)=f(x),если не выполняется, то функция общего вида.
-
Точки пересечения с осями координат.
С Ох при у=0 (решаем уравнение f(x)=0)
C Oy при x=0 (решаем уравнение f(0))
-
Асимптоты:
Вертикальные: х=а-асимптота,где точка разрыва х=а-точка разрыва, если limf(x)=∞,при х, стремящемся к а±0
Наклонные: y=kx+b
K=limf(x)/x,при х, стремящемся к ±∞-число
B=lim[f(x)-kx],при х, стремящемся к ±∞-число, если к=0, то y=b-вертикальная,наклонная,горизонтальная.
-
Производные
-
Промежутки возрастания, убывания (монотонности), точки экстремума графика функции.
Критические точки: стационарные f’(x0)=0
F’(x0)- не существует
-
Промежутки выпуклости,вогнутости и точки перегиба графика функции.
Линия y=f(x)-выпуклая на [a,b]необходимо и достаточно, чтобы f”(x)<0
Линия y=f(x)-вогнутая на [a,b]необходимо и достаточно, чтобы f”(x)>0
-
Другие точки, уточняющие график функции.
-
Как построить линию, заданную параметрическими уравнениями?
Чтобы построить линию,заданную параметрическими уравнениями, нужно исключить параметр t из системы. Мы получим уравнение линии в декартовой системе координат.
Каждому значению параметра T из заданного промежутка [a;b] соответствуют определенные значения Х и У (вычисляемые по формулам ), которые и определяют положение точки (x;y) в системе координат Oxy.
Для построения линии, заданной параметрическими уравнениями, выбирают достаточное количество значений параметра t, вычисляют соответствующие значения x;y. Затем на координатной плоскости отмечают точки, которые потом соединяют непрерывной линией.