Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А
.).pdf2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. 1
u(~x) некоторое решение (1).
Замечание: О геометрическом смысле (5).
Как известно из курса математического анализа, математическое выражение
|
@q |
; : : : ; |
|
@q |
|
@x1 |
@xn |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть градиент функции q. множество уровня q. grad q ортогонален множеству уровня q.
grad q; F~ |
6= 0 , |
(5) |
, F не касается :
Иллюстрация при n = 2.
Пример.
y @u@x x@u@y = 0;
G плоскость x; y с выброшенной точкой (0; 0). (Точку выбрасываем, потому что в ней F1 = 0; F2 = 0. )
Составляем систему:
dx |
= |
|
dy |
; |
y |
x |
откуда
d(x2 + y2) = 0; u1(x; y) = x2 + y2 первый интеграл.
n = 2; n 1 = 1. Надо проверить, что система из одного первого интеграла является незави-
симой системой. |
@x1 |
; |
@y1 |
= k2x; 2yk : |
||
|
|
@u |
|
@u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rg |
|
@u |
@u |
= 1: |
||
@x1 ; |
@y1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x; y) = (x2 + y2) формула общего решения.
u1 = c; x2 + y2 = c
102 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Задача Коши: u(x; y) = h(x) при y = 0 ^ x > 0.
g(x; y) = y; y 0 x 1 = x 6= 0:
u1(x; y) = x2 ïðè x > 0 ^ y = 0
pp
íà x = u1; u(x; y) = h( x2 + y2) â G:
Глава 6. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
d~y |
= A(t)~y + f~(t); ~y = |
|
y.1 |
|
; f~ = |
|
f.1 |
|
( |
|
) |
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
yn |
|
|
fn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 : : : a1n
A =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
: : : ann; |
|
|
|
|||
A и f заданы, ~y(t) искомая функция, t |
|
|
|
t R; A; f; ~y êîì- |
||||||
~ |
|
|
|
|
независимая переменная. |
2 |
~ |
|||
плексные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = B + iC, f = ~g + ih, ~y = ~u + i~v; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B; C;~g; h; ~u; ~v вещественные. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
d~v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d~u |
= B~u |
|
C~v + ~g |
|
|
|
|
|
, |
6 |
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt = C~u + B~v + ~h |
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1. Уточнение исследования задачи Коши |
103 |
1. Уточнение исследования задачи Коши
~ |
2 [ ; ] è ~y0 произвольный |
|
Теорема: Пусть A(t) и f(t) непрерывны на [ ; ]. Пусть t0 |
||
вектор. Тогда существует и притом единственное решение уравнения |
( ), удовлетворяющее |
|
условию |
|
|
~y(t0) = ~y0 |
|
(1) |
и определ¼нные на вс¼м [ ; ].
Замечание: Ценность этого утверждения заключается в подч¼ркнутой части.
Доказательство: j j j~ j
A(t) 6 a1 f(t) 6 b
~y(t) = ~y0 |
+ Zt0t |
A( )~y( ) + f~( ) d |
|
|
|
Ïðè t > t0: (если не выполняется, делаем замену t на t)
Z t
j~y(t)j 6 j~y0j + aj~y( )j + b d :
t0
Z t
j~y(t)j 6 j~y0j + b( ) + a j~y( )j d
t0
По неравенству Гронуолла (см. 1 Главы 3) получаем
y(t) 6 j~y0j + b( ) eajt t0j 6 j~y0j + b( ) ea( ) = C1
D : f 6 t 6 ; j~yj 6 C2g; C2 > C1:
По теореме о продолжении решения (см. Главу 3), получаем, что решение может быть продолжено на весь отрезок.
Следовательно, решение определено при [t0; ]. Теорема доказана.
Рассмотрим уравнение y0 = 1+y2. Это уравнение с разделяющимися переменными, его решение y = tg (t + c)
104 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2. Системы нормальных дифференциальных уравнений (линейных) с переменными коэффициентами
dt |
; ~z = . |
|
; A = |
: : : : : : : : : : : : : |
(1) |
|||
d~z |
|
z1 |
|
|
a11 |
: : : a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn an1 : : : ann
6 t 6 , ~z и A комплексные, A(t) непрерывна на [ ; ]
(1)\ ~z(t0) = z~0, ãäå 6 t0 6 , z~0 производная
Эта задача Коши имеет решение и притом единственное, определенное на вс¼м [ ; ]. Всякое решение в дальнейшем будем рассматривать на вс¼м [ ; ].
Все величины, кроме t, комплексные.
1. Простейшие свойства решений.
Теорема: Пусть z~1(t); : : : ; z~k(t) решение (1), c1; : : : ; ck комплексные числа, тогда
|
|
|
~z(t) = c1z~1(t) + : : : + ckz~k(t) |
|
||||
решение (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема: Пусть |
~z(t) |
решение (1), |
t0 |
, |
~ |
. Тогда |
~. |
|
|
|
|
2 [ ; ] ~z(t0) = 0 |
|
~z(t) 0 |
|||
Доказательство: ~ |
~ |
решение |
~ |
~ |
|
|
||
|
W (t) 0 |
|
|
(1) \ W (t0) = 0 |
|
|
~z(t) решение (1) \ ~z(t0) = ~z0
~
В силу единственности решения задачи Коши ~z(t) W (t).
Определение: Решения z~1(t); : : : ; z~k(t) уравнения (1) называются линейно зависимыми, если существуют c1; : : : ; ck (c1 6= 0; : : : ; ck 6= 0), такие что:
~ c1z~1(t) + : : : + ckz~k(t) 0:
Определение: Решения, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.
Теорема: Пусть z~1; : : : ; z~k линейно независимые решения (1), t0 2 [ ; ]. Тогда векторы z~1(t0); : : : ; z~k(t0) линейно независимые.
Доказательство: Пусть c1z~1(t); : : : ; ckz~k(t) = 0
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (t) = c1z~1(t) + : : : + ckz~k(t), тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
решение |
(1) |
è ~ |
~ |
) |
~ |
~ |
íà |
[ ; ] |
. |
W (t) |
|
W (t0) = 0 |
W (t) 0 |
|
|
Определение: Любая совокупность n линейно независимых решений (1) называется фундаментальной системой решений (1).
Теорема: Фундаментальные системы решений существуют.
2. Системы нормальных дифференциальных уравнений (линейных) с переменными коэффициентами 1
Доказательство: t0 2 [ ; ]; m~1; : : : ; m~n линейно независимые векторы.
независимых решений. |
|
r( ) |
|
(1) T r( |
0) = |
r |
|
Для r = 1; : : : ; n определено z~ t |
: решение задачи Коши |
z~ t |
|
m~ получим n линейно |
|||
Åñëè |
c1z~1(t) + : : : + cnz~n(t) |
~ |
) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
~ |
, òî åñòü |
|
|
|
|
c1z~1(t0) + : : : + cnz~n(t0) = 0 |
|
|
|
|
|
||
|
~ |
) c1 = : : : = cn = 0 |
|
|
|
||
c1m~1 + : : : + cnz~n = 0 |
|
|
|
Теорема: Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторая фундаментальная система решений (1); пусть ~z(t)какое-либо решение (1). Тогда ~z(t) представляется единственным образом в виде:
~z(t) = c1z~1(t) + : : : + cnz~n(t);
ãäå c1; : : : ; cn - числа.
Доказательство: t0 2 [ ; ], z~1(t0); : : : ; z~n(t0) линейно независимы. Следовательно, вектор ~z(t0) = c1z~1(t0) + : : : + cnz~n(t0), ãäå c1; : : : ; cn
~ |
(t) + : : : + cnz~n(t) решение (1) |
|
W (t) = c1z~1 |
||
~ |
|
) ~z(t) = c1z~1(t) + : : : + cnz~n(t) |
W (t0) = ~z(t0) |
Резюме:
1.Совокупность решений уравнения (1) линейное пространство.
2.Размерность этого пространства равна n.
3.Фундаментальная система решений базис этого пространства.
4.Зафиксируем t0 2 [ ; ]. Соответствие ~z(t) $ ~z(t0) изоморфизм пространства решений и пространства столбцов высоты n.
2.Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторая фундаментальная система решений (1).
Определение: Z(t) матричная функция, Z(t) = kz~1(t); : : : ; z~n(t)k называется фундаментальной матрицей решений (1).
Свойства фундаментальной матрицы решений:
1. Z(t) матрица размера n n на [ ; ]
2. Z(t) непрерывно дифференцируема на [ ; ]
3. dZ(t) = A(t) Z(t) dt
4. det Z(t) 6= 0 íà [ ; ]
Утверждение: Пусть Z(t) матричная функция на [ ; ], обладающая свойствами (1) (4). Тогда Z(t) - фундаментальная матрица решений (1).
106 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Утверждение: Пусть Z(t) фундаментальная матрица решений (1), и ~z(t) некоторое решение (1). Тогда z(t) представляется единственным образом в виде
~ ~
~z(t) = Z(t) C; C = const:
3. Определение: Пусть z~1(t); : : : ; z~n(t) некоторые решения (1). Определитель
W = det kz~1(t); : : : ; z~n(t)k
называется определителем Вронского или вронскианом совокупности решений ~z1(t); : : : ; ~zn(t)
1. |
W (t) не обращается в 0 на [ ; ] , решения (1) ~z1; : : : ; ~zn линейно независимы. |
2. |
W (t) 0 на [ ; ] , решения (1) z~1; : : : ; z~n линейно зависимы |
3. |
W (t1) = 0; W (t2) = 0 этого для решений (1) быть не может. |
Теорема: Теорема Лиувилля-Остроградского.
Пусть z~1; : : : ; z~n некоторые решения (1), W (t) соответствующий вронскиан, t0 2 [ ; ]. Тогда
|
|
|
|
W (t) = W (t0) exp |
0Zt ( |
r |
arr( )) d |
1 |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
X |
|
A |
|
ãäå arr = trA след матрицы. |
|
|
|
@ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
|
|
W 0 |
= trA W |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
X |
@W |
X Xr |
|
X |
|
|
|
X Xq |
|
X |
|
W 0 = |
|
|
zpq0 = |
Wpq |
aprzrq = |
Wpqaprzrq = |
( Wpqzrq)apr = |
W prapr = W trA |
||||
p;q |
@zpq |
|||||||||||
|
|
|
p;q |
|
p;q;r |
|
|
|
p;r |
|
p;r |
|
Wpq алгебраическое дополнение zpq â W |
|
|
0; p = r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
q |
Wpqzrq = W pr = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
1; p = r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Левая и правая части уравнения (2) удовлетворяют (3), и левая и правая части уравнения (2) в точках t0 равны, поэтому в силу единственности решения задачи Коши получаем, что (2) верно для любого t.
4.
Задача: Найти уравнение, для которого данные функции являются решениями:
3. |
Неоднородные системы |
107 |
|||||||||
z~1(t) = |
1 |
; z~2(t) = |
t |
íà [ ; ] |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
( ) |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
c |
z~ |
t |
|
|
|
0 |
) |
|
|||
+ c |
z~ (t) |
|
|
|
|
|
c1 + c2t 0 ) c1 = c2 = 0
Значит z~1(t) è z~2(t) линейно независимы.
W (t) = |
|
1 |
t |
. Никакого противоречия нет, так как z~1 è z~2 должны быть решениями (1) |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n = 2).
Из этого примера следует, что не существует дифференциальных уравнений вида (1), для которых z~1 è z~2 являются решениями.
5.
d~z |
= A~z; A = const; 1 < t < +1 |
(4) |
dt |
Теорема: Пусть матрица A такова, что существует базис g~1; : : : ; g~n из е¼ собственных векторов (Ag~r = rg~r; r = 1; n), тогда e 1tg~1; : : : ; e ntg~n фундаментальная система решений(4)
Теорема: Матричная функция etA фундаментальная матрица решений.
3. Неоднородные системы
Рассмотрим систему
d~y |
~ |
|
|
= A(t)~y + f(t); |
(1) |
dt |
~y = |
|
y.1 |
|
; f~ = |
|
f.1 |
|
; A = |
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
fn |
|
|
an1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : a1n |
|
6 t 6 , A(t); f~(t) непрерывны на [ ; ]. |
|
||
: : |
: a |
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d~z |
|
|
|
|
|
|
= A(t)~z |
(2) |
|
|
|
dt |
t вещественное, вс¼ остальное комплексное.
Теорема: Пусть ~y (t) какое-либо решение (1), ~y(t) = ~y (t) + ~z(t): Тогда ~y(t) решение
(1), ~z(t) решение (2).
Доказательство: самостоятельно. Общая формула решения (1):
~y(t) = ~y (t) + C1~z1(t) + : : : + Cn~zn(t);
ãäå f~z1(t); : : : ; ~zn(t)g какая-либо фундаментальная система решений (2), ~y (t) какое-либо решение (1), C1; : : : ; Cn произвольные числа.
2. Метод Лагранжа вариации постоянных
108 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Теорема: Если известна какая-либо фундаментальная система решений однородной системы
(2), то решение уравнения (1) получается в квадратурах.
Доказательство: Метод получения решения. Пусть известна какая-либо фундаментальная система f~z1(t); : : : ; ~zn(t)g. ¾Сдвигаем¿ эти столбцы в единую матрицу
Z(t) = k~z1(t); : : : ; ~zn(t)k
Это фундаментальная матрица решений.
~y(t) = Z(t)~x(t);
~x(t) новая искомая функция.
~x(t) = Z 1(t)~y(t); Z 1(t) существует.
После такой замены уравнение (1) становится эквивалентным
|
, |
d(Z~x) |
~ |
, |
|
dZ |
|
|
|
d~x |
|
|
|
|
~ |
, |
|
|||
(1) |
|
dt |
= AZ~x + f |
|
dt |
~x + Z |
dt |
= AZ~x + f |
|
|
||||||||||
, |
|
|
d~x |
~ |
, |
~ |
|
d~x |
, |
|
d~x |
|
1 |
~ |
, |
|||||
AZ~x + Z |
dt |
= AZ~x + f |
f = Z |
dt |
|
|
dt |
|
= Z |
|
f |
|||||||||
, ~x(t) = Z Z 1(t)f~(t) dt + C~ |
, ~y(t) = Z(t) C~ + Z Z 1(t)f~(t) dt |
|||||||||||||||||||
Под интегралом имеется в виду какая-либо фиксированная первообразная, |
~ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C произвольная |
постоянная.
Замечание: Метод называется методом вариации постоянных. Лагранжу пришла в голову мысль: решение неоднородного уравнения представить в виде известной матрицы, умноженной на новую искомую функцию. Неудачность названия в том, что под вариацией понимается малое изменение, а превращение постоянных в функции.
Решение задачи Коши для (1):
t0 2 [ ; ]; ~y0 произвольный вектор.
~y(t) решение (1) ^ ~y(t0) = ~y0
|
~x(t0) = Z 1(t0)~y0; |
|
t |
|
|
~x(t) = tZ0 |
Z 1( )f~( ) d + Z 1(t0)~y0: |
|
Тогда |
|
|
|
t |
|
~y(t) = Z(t) Z 1(t0)~y0 + Z Z 1( )f~( ) d |
|
|
|
t0 |
4. |
Одно линейное уравнение n-ного порядка. |
109 |
4. |
Одно линейное уравнение n-ного порядка. |
|
y(n) + a1(t)y(n 1) + : : : + an(t)y = f(t)
t 2 R, a1(t); : : : ; an(t); f(t) комплексные.
y
|
0 |
|
|
|
Если ввести столбец функций ~y = |
y |
; dt |
= A(t)~y + f~(t). |
|
y00 |
||||
|
|
|
d~y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n 1)
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
A = |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0
0
1
a1
|
|
|
0 |
|
|
~ |
. |
||
; f(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуется самим проделать выкладки и получить систему. |
(1) |
, |
~ |
. Можно было |
|
(1) |
|
бы писать, что это следует из предыдущих двух параграфов, но будет лучше, если читатель сам найд¼т аргументацию.
1. Теорема: Пусть в уравнении (1) функции a1(t); : : : ; an(t); f(t) непрерывны на [ ; ]. Пусть t0 2 [ ; ] , è p0; p1; : : : ; pn 1 какие-либо числа. Тогда существует и притом единственное решение y(t) уравнения (1), удовлетворяющее условию
y(t0) = p0; y0(t0) = p1; : : : ;
и определ¼нное на вс¼м отрезке [ ; ]. (Доказать самим, то есть посмотреть доказательство
аналогичной теоремы для системы, и получить это утверждение как частный случай).
2. Однородные системы.
z(n) + a1(t)z(n 1) + : : : + an(t)z = 0: |
(2) |
Теорема: Пусть z(t) решение уравнения (2), t0 2 [ ; ], z(t0) = z0(t0) = : : : = z(n 1)(t0) = 0. Тогда z(t) 0 на [ ; ].
Доказательство самостоятельно.
Теорема: Пусть z1(t); : : : ; zk(t) какие-либо решения уравнения (2), C1; : : : ; Ck числа, z(t) = C1z1(t) + : : : + Ckzk(t):
Тогда z(t) решение (2).
Доказать самим. Замечание: Ну что тут доказывать?! Доказывать-то нечего. Рекомендую провести все эти доказательства, это упражнения.
Определение: Решения z1(t); : : : ; zk(t) называются линейно зависимыми, если существуют числа C1; : : : ; Ck, C12 + : : : + Ck2 > 0, такие, что
C1z1(t) + : : : + Ckzk(t) 0 8t 2 [ ; ]
110 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В противном случае решения называются линейно независимыми.
Теорема: Пусть z1(t); : : : ; zk(t) решения уравнения (2), а ~z1(t); : : : ; ~zk(t) соответствующие
~
решения уравнения (2). Тогда решения z1(t); : : : ; zn(t) линейно зависимы тогда и только тогда, когда решения ~z1(t); : : : ; ~zn(t) линейно зависимы.
Замечание: А это уже содержательная теорема. Мы дали новое определение. Назов¼м решения линейно зависимыми, если линейно зависимы вектор-функции. Поэтому это утверждение должно быть доказано. А доказывается оно очень просто.
Доказательство:
C1z1(t) + : : : + Ckzk(t) 0 íà [ ; ]
Следовательно,
|
|
|
C z0 |
(t) + : : : + C z0 |
(t) |
|
0 |
|
|
|
1 1 |
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1z1(n 1)(t) + : : : + Ckzk(n 1)(t) 0 |
|||||
|
|
|
C1~z1(t) + : : : + Ck~zk(t) |
~ |
|||
|
|
|
0 |
||||
Обратно: |
C1~z1 |
(t) + : : : + Ck~zk(t) |
~ |
|
|
|
. |
|
0 |
) C1z1(t) + : : : + Ckzk(t) 0 |
Определение: Каждый набор n линейно независимых решений (2) называется фундаментальным решением системы (2).
Теорема: фундаментальные системы решений существуют. (Доказать самостоятельно)
Теорема: Пусть fz1(t); : : : ; zk(t)g какая-либо фундаментальная система решений (2), z(t) какое-либо решение (2). Тогда z(t) представляется, и притом единственным способом в виде z(t) = c1z1(t) + : : : + cnzn(t), ãäå c1; : : : ; cn
Доказать самостоятельно.
Определение: Пусть z1(t); : : : ; zn(t) какие-либо решения (2). Тогда
W (t) = |
z10 |
(t) |
|
|
z1 |
(t) |
|
|
z(n |
|
|
|
1) |
|
zn0 (t) |
|
|
zn(t) |
|
|
z(n 1)(t) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется определитель Вронского (вронскиан) . Имеется две возможности:
W (t) 0 на [ ; ] , решения системы (2) z1(t); : : : ; zn(t) линейно зависимы.
W (t) не обращается в 0 на висимы.
[ ; ] , решения системы (2) z1(t); : : : ; zn(t) линейно неза-
Было выяснено, что других ситуаций невозможно.
Теорема: (Лиувилля-Остроградского).
R t
W (t) = W (t0)e t0 a1( ) d