Лекции по дифференциальным уравнениям (Абрамов А.А

91

Глава 5. Первые интегралы. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.

В этой главе все величины вещественны.

1. Первые интегралы.

1.Мы будем рассматривать такую систему:

Возьм¼м 8~a 2 G; 9k : Fk(~a) 6= 0. Построим вспомогательную нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Каждое решение системы (2k) по определению называется решением системы (1)

Теорема: Пусть на каком-либо решении (2k) имеет место Fs 6= 0. Тогда это решение удовлетворяет (2s).

Замечание: Важно, что эти конкурирующие возможности не противоречат друг другу.

Определение: Система (1) симметричная форма записи нормальной системы дифференциальных уравнений.

Замечание: В нормальной системе предопределено, какие из переменных независимы, а какие будут искомыми функциями. В симметричной системе (1) это не указано.

92 ГЛАВА 5. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ

Из рисунка видно, что разным точкам ставим в соответствие разные наборы независимых переменных.

Замечание: Автономная система (3) не имеет положения равновесия. (Запрещено, чтобы

â какой-либо точке все Fk обращались в 0). При рисовании фазовых траекторий стрелки рисовать не надо.

На нашей области задана функция u. Мы хотим вычислить производную этой функции вдоль

решений системы. Но для этого надо знать решение. Теорема говорит, что знать это необязательно.

Теорема: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Пусть ~x(t) какое-либо решение системы (3). Тогда

Доказательство: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Определение: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Функция u(x) называется первым интегралом системы (1), если u(~x) постоянна на каждом решении системы (1).

Замечание: Пример. Иногда рассматриваются с.д.у, описывающие движение механической системы. Из физических соображений вводится понятие полной энергии, и доказывается, что имеет место закон сохранения энергии. В нашем определении эта энергия есть первый интеграл той системы, про которую ид¼т речь.

Теорема: Пусть u(~x) определена в G и непрерывна там вместе с первыми частными производными. Тогда u(~x) первый интеграл системы (1) в том и только том случае, когда выполняется уравнение (5):

Это был материал, относящийся к тому, что мы называем первым интегралом, и какие условия

первый интегралов

Замечание: Мы покажем, что всегда есть несколько первых интегралов, и все остальные выражаются через них с помощью суперпозиций. Все дальнейшие исследования локальные. Это означает, что мы фиксируем ~a 2 G, и рассматриваем вс¼ в некоторой окрестности этой

точки ~a.

Определение: Пусть u1(~x); : : : ; uk(~x) первые интегралы (1), определ¼нные в некоторой окрестности точки ~a, ~a 2 G. Эти первые интегралы называются независимыми в точке ~a, если

Теорема: Для каждой точки ~a 2 G существует (n 1) независимых первых интегралов (1) и не существует большего числа независимых первых интегралов (1).

Доказательство: u1(~x); : : : ; uk(~x) независимые в ~a первые интегралы (1).

Система линейных автономных уравнений относительно F1(~a); : : : ; Fn(~a), матрица системы

94 ГЛАВА 5. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ

Fr

gr(~x) = Fn непрерывна вместе с первыми частными производными.

~

(6) рассмотрим в некоторой окрестности точки ~a = 0.

Из результатов x4 Главы 3 следует, что '1; : : : ; 'n 1 определены в некоторой окрестности ~a и непрерывна вместе с первыми частными производными.

(7) , (8)

в нек. окрестности ~a

8

<1 = p1(~x)

; (8)

: n 1 = pn 1(~x)

ãäå p1; : : : ; pn 1 непрерывны вместе в первыми частными производными.

Докажем, что p1(~x); : : : ; pn 1(~x) именно нужные нам независимые первые интегралы (1). Ясно, что они являются первыми интегралами, осталось доказать независимость.

Замечание: Не нужно думать, что эти и только эти интегралы являются искомой совокупностью независимых первых интегралов. Мы построили всего лишь частный случай.

Дополнение к теореме. Графики решений системы (6) (то есть графики функций (7)) заполняют некоторую окрестность ~a (см. (8)).

Вопрос: Один из первых интегралов можно ли выразить через остальные?

Ответ: Нельзя, потому что первый интеграл выражается через совокупность независимых первых интегралов, прич¼м единственным образом, следовательно, через остальные он выражен быть не может.

Замечание: Определение независимых интегралов было введено демонстративно математи- чески. Теперь рассмотрим теорему, раскрывающую смысл этого определения.

Теорема: Пусть u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо независимые в ~a первые интегралы (1). Пусть u(~x) первый интеграл (1), определ¼нный в некоторой окрестности ~a. Тогда существует функция (u1; : : : ; un 1), непрерывная вместе с первыми частными производными такая, что

~

Доказательство: Для определ¼нности ~a = 0 Также для определ¼нности бер¼м

@(u1; : : : ; un 1)

6= 0:

@(x1; : : : ; xn 1) ~x=~a

Докажем, что Fn(~a) 6= 0. Допустим противное. Пусть Fn(~a) = 0. Тогда имеет место соотношение

: : : = Fn 1 = 0. Противоречие.

***

Тогда система приводится к виду:

96 ГЛАВА 5. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ

g1; : : : ; gn 1 определены в некоторой окрестности ~a и непрерывна там вместе с первыми частными производными.

Случай xn = 0:

ãäå q1; : : : ; qn 1 непрерывны вместе со своими частными производными.

Замечание: u1; : : : ; un 1 создают криволинейную систему координат.

u(x1; : : : ; xn 1; 0) = u q1(u1; : : : ; un 1); : : : ; qn 1(u1; : : : ; un 1); 0 =

(u1; : : : ; un 1), определена однозначно и непрерывна вместе с первыми частными производными. xn = 0.

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x)

Для этой системы рассмотрим задачу Коши:

xn = 0; x1 = 1; : : : ; xn 1 = n 1

Графики решения заполняют всю некоторую окрестность ~a.

Вдоль каждой траектории каждый из аргументов оста¼тся постоянным (как первый интеграл). u1; : : : ; un 1 постоянны. Поэтому если равенство имело место в начале траектории, то оно имеет

то есть в некоторой окрестности .

***

Общая формула первых интегралов в некоторой окрестности ~a:

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x) ;

ãäå u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо независимые в ~a первые интегралы, функция непрерывна вместе с первыми частными производными.

Замечание:

1. Если мы получили некоторое количество независимых первых интегралов u1(~x); : : : ; un 1(~x), то в некоторой окрестности ~a имеет место

в некоторой области G. p; q непрерывны вместе с первыми частными производными в каждой точке p 6= 0 или q 6= 0. Это уравнение мы рассматривали ещ¼ на самой первой

лекции. С другой стороны эта система из одного уравнения подходит под наш случай. (n = 2, n 1 = 1)

Вс¼ в окрестности некоторой точки ~a.

~

f определена в области G и непрерывна там вместе с первыми частными производными.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. 9

Область как бы расслаивается на решения.

Определение: Графики решений системы (2) называются характеристиками уравнения (1).

Определение: Пусть u(~x) непрерывна вместе с первыми частными производными, u(~x) называется решением (1) если u(~x) удовлетворяет (1) в каждой точке.

Теорема: Пусть u(~x) непрерывна в G вместе с первыми частными производными. Тогда u(~x) решение (1) , u(~x) первый интеграл (2).

Доказательство: (ñì. 1)

Общая формула решения (1) в некоторой окрестности ~a.

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x) ;

ãäå u1(~x); : : : ; un 1(~x) какие-либо независимые в ~a первые интегралы (2) непрерывна вместе с первыми частными производными.

Доказательство: (ñì. 1)

2. Задача Коши для уравнения (1)

В G задана n 1-мерная поверхность . На задана функция h. Найти u(~x) то решение

(1), которое удовлетворяет условию u = h на

В данном случае n 1-мерная поверхность это одномерная кривая. Возьм¼м точки, лежащие на , и провед¼м через эти точки характеристики.

Теорема: Пусть а G задано множество уравнением

Пусть в некоторой окрестности ~a задана функция h(~x), непрерывная вместе с первыми частными производными. Тогда в некоторой окрестности ~a существует и притом единственное решение (1) такое, что

u(~x) = h(~x) 8~x 2

100 ГЛАВА 5. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРА

Доказательство: Мы имеем точку ~a. Возьм¼м в окрестности точки ~a какие-либо независимые в ~a первые интегралы (2). Тогда, как говорилось ранее,

u(~x) = u1(~x); : : : ; un(~x) : =?

Следующий фрагмент рассуждений от I до J на . I

n 1

X

=r 0 = 0;

r=1

что противоречит (5)ю

q1; : : : ; qn непрерывные вместе с первыми частными производными.

h(~x) = h q1(u1; : : : ; un 1); : : : ; qn(u1; : : : ; un 1) = (u1; : : : ; un 1):

непрерывна вместе с первыми частными производными, определена однозначно. J

Бер¼м в G в некоторой окрестности ~a

u(~x) = u1(~x); : : : ; un 1(~x) :