![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Алгебра
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
1.14 Матричные уравнения
Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид
, (1.24)
, (1.25)
, (1.26)
где
– известные матрицы, а
– неизвестные матрицы соответствующих
размеров. В общем случае уравнения
(1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), но в том частном случае, когда
матрицы
и
обратимы, теория этих уравнений проста.
Прежде чем изложить её отметим, что
числовая матрица
является решением уравнения (1.24), если
при подстановке её в это уравнение
вместо матрицы
мы получаем верное матричное равенство
(и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).
Предложение
1.8. Пусть
матрицы
и
обратимы, тогда уравнения(1.24)-(1.26)
разрешимы при любых правых частях
соответственно, а их единственные
решения определяются по формулам
, (
)
, (
)
, (
)
◄ Так как уравнения
(1.25) и (1.26) являются частными случаями
уравнения (1.24) (в первом случае и
во втором случае), доказательство
проведём лишь для уравнения (1.24).
(Рассуждения в случае уравнений (1.25) и
(1.26) предлагаем читателю провести
самостоятельно.)
Пусть
,
,
тогда по необходимости матрицы
и
имеют размер
.
Так как
,
,
то для любой матрицы
из
существует матрица
вида (
).
Подставляя её в уравнение (1.24), получаем
,
т.е. матрица вида
()
является решением уравнения (1.24). Тем
самым показано, что решение уравнения
(1.24) существует.
Осталось показать
его единственность. В самом деле, пусть
некоторое решение уравнения (1.24), тогда
справедливо матричное равенство
.
Умножая обе части
слева на матрицу
,
а справа на матрицу
,
получаем, что
или
.
т.е.
имеет вид (
).
►
Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.
Предложение
1.9. Пусть
и
.
Тогда уравнения
, (1.27)
(1.28)
равносильны для
любых матриц
из
.
◄ Действительно,
если
– решение уравнения (1.27), тогда
.
Умножая обе части этого равенства слева
на матрицу
,
получаем, что.
или
,
т.е.
является решением уравнения (1.28).
Наоборот, если
– решение уравнения (1.28), тогда
.
Но матрица
обратима. Умножая обе части последнего
равенства слева на матрицу
,
получаем, что
,
т.е.
– решение уравнения (1.27). Если же у одного
из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет,
тогда их нет и у второго уравнения, так
как в противном случае, повторяя
проведённые выше рассуждения, приходим
к противоречию. ►
Упражнения
1. Выяснить, какие из следующих матриц равны
.
2. Написать матрицу, транспонированную данным:
.
3. Если матрица
имеет вид
,
то каков вид матрицы
?
4. Матрицы
и
имеют вид:
а)
б)
.
Каковы размеры
матрицы
,
если известно, что
?
5. Даны матрицы
и
.
Найти матрицы
.
а)
;
б)
;
в)
.
6. Найти произведение
матриц
,
если:
а)
; б)
;
в)
;
г)
д)
; е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.
Пример
10. Найти
матрицу
,
если
.
◄ Матрица
существует, так как порядки сомножителей
согласованны
,
и имеем порядок
.
Благодаря свойству ассоциативности
операции умножения матриц последовательность
её вычисления может быть различной,
например,
или
.
Напомним, что при
вычислении произведения двух матриц
используется скалярное умножение двух
арифметических векторов порядка
.
Будем называть это скалярное умножение
«простым», если
,
и – «сложным», если
(сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем
количества ПСУ и ССУ, которые необходимо
совершить, чтобы вычислить матрицу
указанными выше способами.
В первом случае последовательность вычислений такова:
1)– 6
ССУ
2)
– 2
ССУ
3)
– 8
ПСУ.
Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.
Во втором случае:
1)– 12
ПСУ
2)– 12
ССУ
3)
– 8
ССУ.
Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.
Преимущество
первого способа над вторым очевидно.
Но есть ещё один порядок умножения,
позволяющий сократить объём вычислений.
Именно,
.
В самом деле,
1)– 3
ССУ
2)
– 2
ССУ
3)
– 8
ПСУ.
Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.
Анализ трёх
рассмотренных способов вычисления
матрицы
позволяет дать рекомендацию: при
вычислении матричных произведений с
числом сомножителей больше 2-х целесообразно
начинать вычисление произведений с
наименьшим числом столбцов у правого
сомножителя, и заканчивать вычислением
произведений с наибольшим числом
столбцов у правого сомножителя. ►
7. Найти произведение
,
если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
При вычислении
матричных выражений вида
предварительно следует привести подобные
члены, если это возможно.
Пример 11. Найти матрицу
,
если
,
.
◄ Приводим подобные
члены в исходном выражении для матрицы
,
.
Так как
,
.
►
8. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.
Пример 12. Найти матрицу
,
если
◄ Заметив, что
,
где
,
получаем, что
.
►
9. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
10. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
;
в)
.
11. Найти матрицу
,
если
.
12. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
Введём обозначение для степени матрицы
,
И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц
.
Из
условия согласования следует, что
степень матрицы определена только для
квадратных матриц, а степень произведения
определена для матриц прямоугольного
вида. При этом число строк матрицы
должно совпадать с числом столбцов
матрицы
.
При вычислении
степеней матриц и матричных выражений
следует попытаться среди малых степеней
найти максимально простую матрицу с
тем, чтобы использовать её для упрощения
вычисления матрицы
.
Пример 13. а) Найти матрицу
.
◄ Пусть
,
тогда
Поэтому
►
б) Найти матрицу
,
где
.
◄ Рассмотрим
матрицы
и
:
,
.
Но тогда
.
►
13. Вычислить значение матричного выражения:
а)
,
если
;
б)
,
если
;
в)
,
если
,
.
14. Вычислить
.
Пусть
– многочлен,
,
,
.
Многочленом
от матрицы
называется матричное выражение
,
где
.
Пример
14. Найти
значение
,
если
.
◄ По определению
.
►
15. Найти значение
:
а)
;
б)
;
в)
.
Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.
Пример
15. Разложить
матрицу
в произведение простейших. Выяснить,
является ли матрица
обратимой, и в случае её обратимости
найти матрицу
,
если
.
◄ Решение основано
на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим
элементарными преобразованиями матрицу
к виду
,
.
Матрица
обратима и удовлетворяет соотношению
.
Умножая полученное равенство справа на матрицу
,
получаем, что
.
Теперь умножаем новое равенство на матрицу
слева,
.
Матрица
обратима и
.
Поэтому
).
Откуда следует что
.
►
16. Указать
элементарные матрицы, отвечающие
следующим элементарным преобразованиям
матрицы размера
:
.
17. Каким элементарным
преобразованиям матрицы размера
соответствуют элементарные матрицы:
,
,
,
,
,
.
18. В матрице
произвести элементарные преобразования
умножением на соответствующие элементарные
матрицы
или
(
соответствуют строчным преобразованиям,
– столбцовым):
а)
,
.
б)
,
,
.
19. Элементарными
преобразованиями привести матрицу к
виду
:
а)
,
б)
,
в)
, г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
.
20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.
21.
Выяснить, является ли матрица
обратимой, и в случае её обратимости
найти матрицу
.
Матрица
имеет вид:
а)
, б)
, в)
.
Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.