Вопрос 13. Стационарные случайные процессы. Понятия стационарности в узком и широком смыслах, их взаимоотношение.

Рассмотрим все известные нам случайные процессы с другой стороны. Случайный процесс называетсястационарным в широком смысле (в строгом смысле), если все его-мерные плотности вероятностей инвариантны относительно любого сдвига во времени, т.е.

.

В частности, одномерная плотность вероятностей

.

Для двумерной плотности вероятностей

.

Среднее значение и дисперсия стационарного случайного процесса будет постоянной величиной, а его корреляционная функция будет зависеть только от разности моментов времени:

Случайный процесс называетсястационарным в широком смысле, если его среднее значение постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени.

Нетрудно заметить, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное утверждение в общем случае не верно.

Для гауссовских процессов понятия стационарности в широком и узком смыслах совпадают.

Вопрос 14.Стационарность квазидетерминированных случайных процессов (рассмотреть на примерах и, гдеи— случайные величины,— детерминированная периодическая функция).

Рассмотрим сначала процесс , где— случайный параметр. Пусть значенияравномерно распределены в интервале от. Для того чтобы доказать, что— стационарный случайный процесс вычислим его среднее значение и корреляционную функцию.

.

Постоянную амплитуду можно вынести из под знака усреднения. Далее, представим косинус суммы следующим образом:

.

Детерминированные функции итоже можно вынести из под знака усреднения, так как усреднение производится по случайной фазе (по статистическому ансамблю), а не по времени. Следовательно, будем иметь

.

Вычислим средние:

.

В итоге, получаем

Теперь вычислим корреляционную функцию:

.

Представим произведение косинусов через их сумму:

.

Далее разложим косинус суммы:

.

Заметим, что — детерминированные функции и их можно вынести за знак усреднения. Тогда получим

.

Таким образом, мы показали, что данный квазигармонический процесс является стационарным в широком смысле. Для того, чтобы показать, что он является стационарным в узком смысле, необходимо вычислять его моментные функции высших порядков, которые все окажутся нулями.

Рассмотрим теперь второй процесс:

,

где — детерминированная периодическая функция с периодом, а— случайный параметр. Пустьравномерно распределена на периоде. Тогда

.

Так как функция периодична, то

.

Но тогда ни в пределы интегрирования, ни в подынтегральное выражение время не входит. Значит,

.

Теперь вычислим корреляционную функцию:

.

Таким образом, мы показали, что и этот процесс является стационарным в широком смысле.

Вопрос 15.Эргодичность случайных процессов. Вывод необходимых и достаточных условий эргодичности по отношению к среднему значению.

Случайный процесс обладает свойствомэргодичностиотносительно своего среднего, если среднее по времени

при сходится к среднему по статистическому ансамблю, т.е.

.

Здесь под знаком предела мы рассматриваем сходимость в среднеквадратическом смысле, т.е.

.

Заметим, что нестационарный процесс не может быть эргодическим. Найдём необходимое и достаточное условие эргодичности случайного процесса по отношению к его среднему значению. Для этого найдём явное выражение для дисперсии оценки:

.

Итак, мы получили, что для того, чтобы процесс был эргодическим относительно своего среднего, нужно удовлетворить следующему условию:

Можно ужесточить это условие:

—

достаточное условие Слуцкого. Можно записать ещё более сильное условие:

.