quant-1-1-arphf9t1u8h

4.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии*

Сколь велико различие между конечномерными и бесконечномерными пространствами и матрицами/операторами, действующими на них? На первый взгляд различие сводится к замене диапазона, который пробегает индекс при суммировании. Если диапазон изменения индекса содержит непрерывные куски, то по этим кускам вместо суммирования надо интегрировать. И это все?¨ Нет, не все!¨ Когда мы считаем скалярное произведение или скалярный квадрат, то сумма конечного числа членов определена всегда. При вычислении бесконечной суммы (ряда) или интеграла выражение может оказаться расходящимся. Конечно, мы оставляем в гильбертовом пространстве H только такие векторы, квадрат которых определен¨. Это гарантирует что скалярное произведение определено для любой пары векторов:

φ|ψ = 14 ψ + φ 2 − ψ − φ 2 + i ψ + iφ 2 − i ψ − iφ 2 .

Такое определение скалярного произведения через норму называют процедурой поляризации13.

Однако действие некоторых операторов может выводить некоторые векторы из гильбертова пространства. Например, возможно, что функция квадратично интегрируема

ψ 2 = ψ|ψ = |ψ(x)|2dx < ∞, ψ H,

R

но под действием оператора xˆ (после умножения на x) интеграл уже расходится

xψˆ 2 = xψˆ |xψˆ = x2|ψ(x)|2dx → ∞, xψˆ H.

R

В этом случае результат действия оператора на вектор xˆ|ψ не определен¨ в пространстве H. Таким образом, оказывается, что область определения

13Чтобы процедура поляризации определяла скалярное произведение через норму, надо, чтобы норма удовлетворяла правилу параллелограмма

ψ + φ 2 + ψ − φ 2 = 2 ψ 2 + 2 φ 2.

В этой формуле легко узнать геометрическое тождество для обычной двумерной плоскости, натянутой на векторы ψ и φ.

и область значения какого-либо оператора могут не совпадать с пространством чистых состояний H. Мы иногда можем формально записать компоненты такого неопределенного¨ вектора, но такой квадратично неинтегрируемый вектор не только не попадает в пространство H, но и не имеет физического смысла.

Часто ли такое случается с физически осмысленными операторами? Очень часто. Всегда, когда спектр оператора не ограничен, т. е. существуют собственные числа сколь угодно большие по абсолютной величине, некоторые состояния из H не попадают в его область определения, но при этом область определения может быть плотна в пространстве H. К числу неогра-

ниченных с плотной в H областью определения относятся операторы импульса, координаты (в бесконечном пространстве), энергии и др.14

ˆ

Впрочем, когда подобные неограниченные эрмитовы операторы A с плотной областью определения используются как генераторы, для по-

ˆ

строения соответствующих унитарных операторов eiαA (α R), унитарные операторы оказываются определены всюду. Благодаря ограниченности собственных чисел (|u| ≡ 1) для всех унитарных операторов область определения совпадает с областью значений и совпадает со всем пространством H.

Когда при определении неограниченного эрмитового оператора мы пи-

ˆ ˆ†, то это означает также совпадение всюду плотных областей шем A = A

ˆ ˆ†

определения для операторов A и A . Именно для таких операторов доказывается теорема о диагонализации (полноте базиса собственных функций). Так что если мы доказали, что некоторый оператор является симметричным, т. е. что

| ˆ ˆ |

φ Aψ = Aφ ψ

для всякой пары φ, ψ, для которой определена левая часть равенства, то это еще¨ не эрмитовость.

ˆ ˆ†

(*) Требование совпадения областей определения A и A можно рассматривать по аналогии с конечномерным пространством как требование квадратности матрицы. Эрмитову матрицу мы можем диагонализовать, а для этого она должна быть квадратной. В конечномерном случае усло-

ˆ ˆ†

ния областей определения операторов A и A в бесконечномерном случае. Часто, когда говорят об эрмитовости какого-либо оператора, на самом деле имеют в виду эрмитовость другого оператора, который получается из

исходного доопределением (продолжением) на большую область определения.

Например, оператор импульса на прямой можно определить как эрмитов оператор, продолжив оператор −i¯h ∂x∂ . Оператор импульса на полупрямой является симметричным для функций, обращающихся в ноль на границе, но он не может быть продолжен до эрмитового оператора. По этой причине импульс на полупрямой не имеет собственных функций.

Для отличия эрмитовых (или продолжаемых до эрмитовых) операторов от просто симметричных мы можем использовать следующий простой критерий: эрмитов оператор всегда диагонализуется (имеет полный базис собственных векторов).

Именно эрмитовы операторы в квантовой механике сопоставляются наблюдаемым величинам, так что «чисто математическое» различие между симметричными и эрмитовыми операторами на самом деле имеет физический смысл.

4.7.8. След оператора*

Данный раздел нужен в первую очередь для работы с матрицами плотности (4.8 «Матрица плотности*»). При первом чтении все,¨ что касается матриц плотности, можно пропустить, включая этот раздел.

По аналогии со следом матрицы можно ввести след оператора как сумму (интеграл) диагональных матричных элементов:

Вотличие от конечномерных матриц, для которых след определен¨ всегда, для операторов соответствующий интеграл (сумма) может расходиться.

Вчастности, след единичного оператора равен размерности пространства и расходится для бесконечномерного пространства.

Для оператора, записанного как произведение кет-вектора на бра-век- тор, след можно записать следующим образом:

Если дополнить формулу (4.50) условием линейности следа:

то ее¨ можно принять в качестве определения следа вместо (4.49).

То, что (4.47), (4.50), (4.51) (4.49), очевидно.

В свою очередь из определения (4.49) сразу следует линейность (4.51),

Формула (4.50) позволяет циклически переставлять под следом не только операторы (матрицы), но и бра- и кет-векторы (строки и столбцы):

Здесь a, b, . . . , y, z — произвольный набор чисел, операторов, бра- и кетвекторов, записанных в виде произведения, для которого имеет смысл след, т. е. в виде оператора или числа (матрицы 1 × 1).

Мы можем принять (4.52) вместе с условием линейности (4.51) в качестве еще¨ одного определения следа, если ввести условие, что след числа равен самому числу:

tr α = α, α C. (4.53)

(!!!) Определив след от числа как само это число, мы определили это число как матрицу 1 × 1, однако мы можем понимать то же число как

ˆ

tr(α1) = nα =α = tr α.

Частичный след оператора*

Пусть пространство состояний представлено в виде тензорного произведения:

H = H1 H2.

Это означает, что волновая функция представляется как функция от двух наборов аргументов, отвечающих первому и второму пространствам:

ψ(x, y) = y|x|ψ .

108 ГЛАВА 4

|ψ = ψ(x, y)|x |y .

x,y

(Для упрощения формул мы пишем только суммы, как для дискретного спектра.) Здесь ( y| x|)† = |x |y — базисное состояние в пространстве H, записанное как произведение базисных состояний |x и |y в пространствах H1 и H2.

Ядро оператора в пространстве H оказывается функцией (для непрерывного спектра м. б. обобщенной¨ функцией) уже от двух двойных наборов аргументов:

| | ˆ| |

A(x, y; x , y ) = y x A x y .

Для оператора на пространстве H = H1 H2 мы можем определить частичный след по пространству H2:

Получившийся объект является не числом, как обычный след, а оператором над пространством H1. Ядро следа зависит только от одного двойного набора переменных и задается¨ соотношением

y;y

Заметим, что при преобразовании базиса в пространстве H2 векторы и операторы в пространстве H1 не преобразуются (т. е. с точки зрения трансформационных свойств ведут себя как скаляры/числа, хотя и не коммутативные).

Все приведенные¨ выше способы вычисления следа относятся также и к частичному следу по H2 с той оговоркой, что в качестве состояний, по которым берется¨ след, рассматриваются только состояния на H2. В частности, по аналогии с (4.53) (и с теми же оговорками!) для любого операто-

описания системы, т. е. позволяет вычислять временную эволюцию системы (про эволюцию на языке матрицы плотности см. ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики») любые вероятности, получаемые при измерениях, и средние любых наблюдаемых.

Вычисление среднего значение задается¨ следующим образом:

Используя линейность следа, возможность циклически переставлять сомножители (включая бра- и кет-векторы) под следом (4.52), убедимся на примере матриц плотности (4.58) и (4.59), что вычисляемое по формуле (4.61) соответствует принятым нами ранее для волновых функций правилам:

Таким образом, в одном случае мы получили то же самое среднее, что и для волновой функции, а в другом — среднее взвешенное с весами pk от средних значений оператора по чистым состояниям ψk.

Вероятность обнаружения системы, описываемой матрицей плотности, в состоянии, принадлежащем некоторому подпространству, как и для случая исходного чистого состояния (4.29), задается¨ как среднее от ортого-

ˆ

нального проектора P на соответствующее подпространство

Вычисление вероятностей и изменение матрицы плотности при измерении будет обсуждено ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики».

4.8.1. Роль и смысл матрицы плотности*

Исходя из приведенных¨ выше формул для средних в состоянии, задаваемом матрицей плотности, мы можем заключить, что если волновые функции (чистые состояния) учитывают только чисто квантовые неопределенности¨ наблюдаемых величин, то матрицы плотности (смешанные состояния) учитывают как квантовые неопределенности,¨ так и наше классическое незнание того, в каком именно квантовом состоянии находится система.

Заметим, что представление матрицы плотности через волновые функции в виде (4.59) неоднозначно. Таким образом, разделение квантовых и классических вероятностей в матрице плотности в принципе невозможно.

Задаваемое матрицей плотности смешанное состояние (4.59) можно рассматривать как среднее взвешенное от чистых состояний (4.58). Здесь имеется аналогия с классической механикой, где смешанное состояние, задаваемое распределением вероятностей в фазовом пространстве (Q, P ), также может рассматриваться как среднее взвешенное от чистых состояний ч(Q, P ) = δ(Q − Q0) δ(P − P0).

Матрица плотности является естественным языком для описания состояния квантовой системы в статистической физике. В частности, распределение Гиббса, при котором вероятность квантового состояния системы

сэнергией E пропорциональна e−E/T , где T — температура, выраженная

вединицах энергии (kT , если ввести постоянную Больцмана k), задается¨ следующей матрицей плотности нормированной на статсумму:

ˆ

H

ρˆ = e− T , Z = tr ρˆ.

Среди физиков нет единства в том, считать ли более фундаментальным описание на языке матрицы плотности, или на языке волновой функции. Матрица плотности предоставляет нам более общее описание, но при этом вносимые матрицей плотности вероятности можно объяснить просто незнанием точного состояния системы (волновой функции). Кроме того, принцип суперпозиции и явление интерференции более удобно описывать с использованием волновых функций, а не матриц плотности.

4.8.2. Матрица плотности для подсистемы*

Целое больше, чем сумма частей.

Аристотель, «Метафизика»

Описание квантовой системы на языке матрицы плотности становится необходимым, когда система является частью (подсистемой) некоторой большой системы. Чтобы перейти от системы к подсистеме, необходимо усреднить (взять частичный след) по переменным, описывающим то, что не попадает в выбранную подсистему:

При таком переходе от системы к подсистеме чистое состояние может перейти в смешанное. Возьмем,¨ например, следующее состояние большой системы

|Ψ = A1 |φ1 |χ1 + A2 |φ2 |χ2 .

Здесь |φ1 и |φ2 — два ортонормированных состояния подсистемы, |χ1

и |χ2 — два ортонормированных состояния остатка системы (термостата),

A1 = eiα1 √p1 и A2 = eiα2 √p2 (α1, α2, p1, p2 R+, |A1|2 + |A2|2 = p1 + + p2 = 1) — комплексные амплитуды членов суперпозиции.

Матрица плотности исходной системы имеет вид

ρˆ = |Ψ Ψ| = A1A1 |φ1 |χ1 χ1| φ1| + A2A2 |φ2 |χ2 χ2| φ2| + + A1A2 |φ1 |χ1 χ2| φ2| + A2A1 |φ2 |χ2 χ1| φ1|.

ρˆ уже не зависит от общего фазового множителя (который все¨ равно является нефизическим), а зависит только от вероятностей p1, p2 и разности

фаз (α1 − α2).

Возьмем¨ теперь частичный след по переменным, описывающим термостат, при этом мы можем циклически переставлять под tr2 только множители χi, но не φi:

ρˆ1 = tr2 |Ψ Ψ| = A1A1 tr2 |φ1 |χ1 χ1| φ1| + A2A2 tr2 |φ2 |χ2 χ2| φ2| +

+A1A2 tr2 |φ1 |χ1 χ2| φ2| + A2A1 tr2 |φ2 |χ2 χ1| φ1| =

=A1A1 tr2 |φ1 χ1|χ1 φ1| + A2A2 tr2 |φ2 χ2|χ2 φ2| +

+A1A2 tr2 |φ1 χ2|χ1 φ2| + A2A1 tr2 |φ2 χ1|χ2 φ1| =

=p1 |φ1 φ1| + p2 |φ2 φ2|.

Теперь мы полностью потеряли информацию о фазах αi.

Аналогично мы можем записать матрицу плотности для термостата, взяв частичный след по переменным подсистемы

ρˆ2 = tr1 |Ψ Ψ| = p1 |χ1 χ1| + p2 |χ2 χ2|.

Мы видим, что, поскольку матрицы плотности для обеих подсистем не содержат какой-либо информации о фазах αi знание ρˆ1 и ρˆ2 не позволяет восстановить матрицу плотности всей системы ρˆ. В этом смысле, квантовой механике присущ некоторый холизм, т. е. описание сложной системы не сводится к описанию всех ее¨ подсистем (см. эпиграф).

Может показаться, что аналогичная ситуация имеет место в классической механике для смешанных состояний. Пусть (Q1, Q2, P1, P2) — распре-