quant-1-1-arphf9t1u8h

т. е. если мы взяли i-ю базисную строку и j-й базисный столбец, то произведение дает¨ соответствующий матричный элемент матрицы A:

Эрмитово сопряжение:6 (A†)ij = Aji. Эрмитова матрица: A† = A.

† ˆ

Унитарная матрица: U U = 1.

Умножение строки a† на столбец b дает¨ число, в частности, таким образом можно определить скалярное произведение столбца на столбец:

Собственный вектор: a матрицы (или оператора) A удовлетворяет условию

Aa = αa,

где число α C называется собственным числом.

Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) все собственные числа вещественны.

Для эрмитовой матрицы (или эрмитового оператора) можно построить базис, состоящий из собственных векторов данного оператора.

Если для двух эрмитовых (или двух унитарных, или одной эрмитовой и одной унитарной) матриц (операторов) A и B коммутатор равен нулю:

[A, B] = AB − BA = 0,

тогда и только тогда существует базис, элементы которого являются собственными векторами для матриц (операторов) A и B одновременно.

6Мы определили эрмитово сопряжение, но специально не стали определять комплексное сопряжение матрицы (A )ij = Aij и транспонирование (AT )ij = Aji. Дело в том, что по отдельности нам эти операции не понадобятся. Более того, операции транспонирования и комплексного сопряжения матриц зависят от выбора базиса при хороших (унитарных=сохраняющих скалярное произведение) преобразованиях координат. Такие операции нарушают независимость формул от базиса и они нам не нужны!

Рис. 4.2

нить этот раздел с разделом 4.2. Как и для матриц, для дираковских символов нет коммутативности (сомножители нельзя произвольно переставлять), но есть ассоциативность (т. е. при умножении можно свободно расставлять скобки).

Рис. 4.3. Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984). W

В рассматриваемом формализме волновая функция c компонентами ψ(x) рассматривается как аналог матрицы-столбца и называется кетвектором, а комплексно-сопряженная¨ волновая функция с компонентами ψ (x) — как аналог матрицы-строки и называется бра-вектором.

4.3.1. Основные «строительные блоки» дираковских обозначений

•Комплексное число (или просто — число). На числа можно множить все прочие, используемые нами объекты, причем¨ комплексные числа можно свободно переставлять с множителями любого сорта, на результат такие перестановки не влияют;

• |ψ — кет-вектор (может обозначаться просто как ψ), рассматривается как матрица-столбец, его компоненты — ψ(x);

• ψ| — бра-вектор (может обозначаться просто как ψ†), получается из кет-вектора эрмитовым сопряжением ψ| = (|ψ )†, рассматривается как матрица-строка, его компоненты — ψ (x);

• ˆ

A — оператор (аналог квадратной матрицы), обычно обозначается буквой в «шляпке».

Эти четыре типа объектов образуют различные линейные пространства:

•C — пространство комплексных чисел.

•H — пространство кет-векторов. С точки зрения математики гильбертово пространство (бесконечномерное комплексное пространство со скалярным произведением и определяемой с помощью этого произведения метрикой, в котором сходятся все фундаментальные последовательности). Кет-векторы можно складывать между собой (если они описывают состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются кет-векторы. Элементы H превращаются в элементы сопряженного¨ пространства при помощи эрмитова сопряжения.

•H — пространство бра-векторов. Бра-векторы можно складывать между собой (если они описывают состояния одинаковых физических сис-

тем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются бра-векторы. Пространство H сопряжено к H — его элементы линейно отображают элементы H на C с помощью произведения строки на столбец.

•H H — пространство операторов из H в H. Операторы можно складывать между собой (если они действуют на состояния одинаковых физических систем) и умножать на комплексные числа, при этих операциях снова получаются операторы.

•Нельзя складывать между собой объекты разных типов (кет-векторы с бра-векторами, и те и другие с операторами, а также волновые функции/операторы, соответствующие различным физическим системам).

4.3.2. Комбинации основных блоков и их значение

•φ||ψ = φ|ψ = (|φ )†|ψ — брекет = бра·кет — умножение строки на столбец — скалярное произведение φ на ψ (обе волновых функции

•|ψ φ| — кет-бра произведение представляет собой оператор (сравните с 4.15).

–Оператор |ψ φ| может действовать слева направо на кет-век- тор |χ :

число

–Оператор |ψ φ| может действовать справа налево на бра-век- тор λ|:

число

•|ψ|φ = |ψ |φ — произведение кет-кет соответствует тензорному произведению ψ φ и представляет собой кет-вектор, описывающий систему, состоящую из двух подсистем: 1-я находится в состоянии |ψ , а 2-я в состоянии |φ (см. (4.1), (4.2));

•φ| ψ| = φ| ψ| = (|ψ |φ )† — произведение бра-бра соответствует тензорному произведению сопряженных¨ волновых функций (бра-век- торов) и представляет собой бра-вектор, описывающий систему, состоящую из двух подсистем, при этом порядок сомножителей берется¨ обратным по отношению к произведению кет-кет, описывающим ту же составную систему (см. ниже правило для эрмитового сопряжения).

4.3.3. Эрмитово сопряжение

Эрмитово сопряжение обозначается значком «†» и выполняется по следующим правилам (здесь a, b, c — комплексные числа, бра-векторы, кетвекторы, операторы и их всевозможные разрешенные¨ комбинации):

•(a†)† = a,

•α† = α , α C — эрмитово сопряжение числа совпадает с комплексным сопряжением,

•(a + b)† = a† + b† — сумма сопрягается поэлементно,

•(abc . . . )† = . . . c†b†a† — при сопряжении произведения надо сопрячь каждый множитель и изменить их порядок на противоположный,

•(|ψ )† = ψ|,

•( ψ|)† = |ψ .

(достаточно проверить это для базисных волновых функций), то B =

=A† (сравните с эрмитовым сопряжением из раздела 4.2),

•(|ψ φ|)† = |φ ψ|,

•( φ|ψ )† = ( φ|ψ ) = ψ|φ ,

число

• ˆ| † | ˆ† ˆ |

(A ψ ) = ψ A = Aψ ,

• | ˆ † ˆ†|

( ψ A) = A ψ ,

число

=ψ|χ φ|κ .

число число

4.4.Умножение справа, слева, . . . сверху, снизу и наискосок**

Мы привыкли записывать формулы в строчку. Точнее, если мы записываем член, строящийся с помощью привычного коммутативного умножения, мы «валим» все множители в кучу, не обращая внимание на их порядок. Можно сказать, что для обычного коммутативного умножения множители пишутся не в строчку, а «в точку».

Для умножения некоммутативного множители пишутся уже именно в строчку: порядок множителей уже важен. Каждый сомножитель, если расписать его покомпонентно, имеет один или два индекса (дискретных или непрерывных), и мы аккуратно соединяем сомножители в цепочку попарно, приравнивая второй индекс первого сомножителя первому индексу второго и суммируя (интегрируя) по ним:

(ABC)il = Aij BjkCkl. jk

Такое умножение компонент с суммированием (интегрированием) по соответствующим парам индексов и дает¨ нам некоммутативное умножение матриц (операторов). Для такого умножения порядок сомножителей уже важен (от него зависит, какие индексы попадают в пару друг другу) и матрица A может действовать умножением на B как слева AB, так и справа BA:

(AB)ik = Aij Bjk, (BA)ik = Bij Ajk. j j

Однако существуют объекты, компоненты которых нумеруются более чем двумя индексами. Многочисленные примеры таких объектов дает¨ нам тензорное исчисление. Впрочем, и в квантовой теории используется тензорное умножение, например при построении волновой функции сложной системы из волновых функций ее¨ частей.

Если объект имеет более двух индексов, то возникает неоднозначность в том, какие два из них использовать при построении цепочки матричных

4.4. УМНОЖЕНИЕ СПРАВА, СЛЕВА, . . . СВЕРХУ, СНИЗУ И НАИСКОСОК** 81

умножений. Кроме того, даже после того, как мы договорились, какой индекс мы считаем «первым», а какой «последним», такой объект, вставленный в цепочку, несет¨ еще¨ какие-то свободные индексы, по которым его можно умножить («сверху»? «снизу»? «наискосок»?) еще¨ на что-то:

Подобные «ветвящиеся строчки» действительно возникают в квантовой механике.

Записывать такие «неодномерные» произведения можно по-разному:

•Можно на языке дираковских обозначений. Это часто удобно, хотя необходимость упорядочить все множители в одну строчку и привносит неоднозначность.

•Можно использовать индексные обозначения в тензорном духе. Это тоже часто удобно. Вся информация о порядке множителей при этом шифруется в индексах и сомножители можно писать в строчку в произвольном порядке и свободно переставлять. По существу такие обозначения сводят «неодномерное» умножение к обычному коммутативному.

•Наконец, существуют различные диаграммные обозначения, при которых сомножители произвольно располагаются на рисунке и соединяются линиями, обозначающими пары соответствующих индексов. Такие обозначения наиболее наглядны, тем более что часто формула, описывающая процесс, совпадает с рисунком, этот процесс изображающим. (Пример такого рода — эквивалентность формулы (3.13) и рис. 3.5, см. также 3.2 «Возможно все,¨ что может произойти (ф*)».)

Ниже мы проиллюстрируем конкретными примерами все три подхода.

4.4.1.Диаграммные обозначения*

Вдиаграммных обозначениях объекты (волновые функции, операторы, матрицы плотности) представляются в виде узлов, в которых сходится определенное¨ (для каждого сорта объекта) число линий. Вы можете себе представить такой объект как некое электронное устройство, из которого торчит k проводков. Каждый из проводков соответствует непрерывному или дискретному индексу (аргументу).

Проводки можно соединять попарно, причем¨ соединяемые проводки могут относиться как к разным узлам, так и к одному узлу. Такое соединение обозначает приравнивание соответствующих индексов и суммирование/интегрирование по всему их диапазону.

Однако проводки бывают разных сортов и соединяются они по следующим правилам:

•Каждый индекс/проводок является либо бра-, либо кет-индексом. Соединять между собой можно только бра и кет.

•Каждый индекс/проводок имеет свою область определения. Для соединяемых проводков области определения должны совпадать.

•В некоторых случаях изоморфные области, определения относящиеся к разным степеням свободы или разным наблюдаемым считаются различными, например, области определения координат x и y изоморфны R, но нам удобно считать, что это разные экземпляры вещественной оси, и запретить соединять соответствующие проводки/индексы. Тем более естественно считать различными области определения координатной и импульсной переменных.

•В некоторых случаях удобно проводки/индексы объединять в многожильные кабели/мультииндексы. Например, если у нас имеется частица со спином, то может быть удобно объединить все три координаты частицы и проекцию спина в один кабель/мультииндекс r = (x, y, z, σ).

•Иногда линии (или выходы узлов) полезно подписывать соответствующими буквенными индексами, чтобы не перепутать порядок индексов и упростить перевод формул в другие обозначения.

Таким образом, в диаграммных обозначениях формулы представляются в виде диаграмм. Если диаграмма состоит из нескольких несвязанных кусков, то подразумевается, что они умножаются друг на друга.

Диаграмма, в свою очередь, может рассматриваться как узел, несущий все внешние (оставшиеся не соединенными)¨ линии/проводки. Если у диаграммы нет внешних линий, то это число.

Диаграммы с одинаковым набором внешних линий образуют линейное пространство (их можно умножать на комплексные числа и складывать).

4.4.2. Тензорные обозначения в квантовой механике*

Если вы собираете сложную электронную схему без печатной платы, просто паяя проводки, торчащие из многочисленных узлов, то вам может