Пучок прямых

Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.

Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l₁ и l₂ , проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Уравнение:

A₁x + B₁y + С + λ (A₂х + В₂y + C) = 0

- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l₁ и l_2.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть заданы прямые l₁ и l₂. своими общими уравненими; = (А₁,B₁), = (А₂,В₂) – нормальные векторы этих прямых; k₁ = tgα₁, k₂ = tgα₂ – угловые коэффициенты; = (m₁,n₁), (m₂,n₂) – направляющие векторы. Тогда, прямые l₁ и l₂ параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

либо , либоk₁=k₂, либо .

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Если прямые l₁ и l₂ заданы соответственно уравнениями

l₁: у=k₁x + b₁,

l₂: у=k₂x + b₂,

то tgα₂ = tg(90º+α) =.

Отсюда следует, что

Наконец, если инаправляющие векторы прямых, то, то есть

m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между двумя прямыми

Под углом φ между двумя прямыми l₁ и l₂ будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0  φ 

Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что

cosφ=

Пусть теперь прямые l₁ и l₂ задана уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ в k₂ соответственно. Тогда

Наконец, если и- направляющие вектора прямых, то

Расстояние от точки до прямой

Пусть d - расстояние от точки М₀(x₀,у₀) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.

Тогда

.

III плоскость Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х₀,у₀,z₀). Возьмем произвольную точку М(х,у,z)α и обозначим(А,В,C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х-х₀) + В(у-у₀) + C(z-z₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D = -Аx₀ - Ву₀ - Cz₀. Получим

Ax + By + Сz + D = 0 ()

-уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение () (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.