методичка МО часть 1
.pdf5. |
z x1 |
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x2 |
x3 |
x4 |
max |
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x 2x |
2 |
x x |
4 |
5, |
|||||||||||||
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1 |
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3 |
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x x |
2 |
x |
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2x |
4 |
1, |
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1 |
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3 |
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x |
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0, |
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i 1, 4 |
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i |
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7. |
z 2x1 |
x2 |
x3 |
x4 max |
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x x |
2 |
x |
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x |
4 |
1, |
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1 |
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3 |
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x 6x |
2 |
x |
2x |
4 |
4, |
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1 |
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|
3 |
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|
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||
x |
|
0, |
|
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i 1, 4 |
|
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||||||
i |
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9. |
z x1 |
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x2 |
x3 |
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x6 |
max |
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x |
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x |
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2x |
|
x |
6 |
4, |
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1 |
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3 |
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5 |
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x |
2 |
2x |
x |
6 |
5, |
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5 |
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x3 2x5 x6 7,
x3 x4 4x5 4x6 3,
x |
0, |
i 1, 6 |
i |
|
|
11. z 3x1 |
x2 2x3 max |
||||||||||
2x 2x |
x |
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7, |
|
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1 |
|
2 |
|
3 |
|
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x 3x |
|
2, |
|
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|||||
1 |
|
3 |
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|
|
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|
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4x x |
2 |
2x |
|
4, |
|
||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
x 0, |
|
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i 1, 3 |
|
|||||||
i |
|
|
|
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|
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13. z x1 |
2x2 x3 |
x4 max |
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2x1 3x2 x3 x4 3, |
|||||||||||
x1 2x2 x4 3, |
|
||||||||||
3x1 x2 x3 8, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xi 0, |
|
|
i |
1, 4 |
|
|
|||||
15. z 2x1 x2 x3 |
max |
||||||||||
x1 x2 2x3 9, |
|
||||||||||
x2 x3 9, |
|
|
|
|
|
||||||
x1 x2 |
x3 10, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
xi 0, |
|
|
i |
1, 3 |
|
|
6. |
z x1 x2 |
x3 |
2x4 |
max |
||||||||
5x |
x |
2 |
x |
2x |
4 |
1, |
|
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1 |
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3 |
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6x x |
2 |
x |
x |
4 |
2, |
|
||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
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|
||
x |
0, |
|
i 1, 4 |
|
|
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|
|||||
i |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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8. z 2x1 x2 x3 x4 |
max |
|||||||||||
x |
3x |
2 |
2x |
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x |
4 |
1, |
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1 |
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|
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|
3 |
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x |
x |
2 |
3x |
2x |
4 |
2, |
|
|||||
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
i 1, 4 |
|
|
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|
|||||
i |
|
|
|
|
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|
|
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10. |
z x1 3x2 |
x3 x4 |
max |
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6x |
x |
2 |
2x |
|
x |
4 |
0, |
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1 |
|
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3 |
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x |
2x |
2 |
2x |
4 |
1, |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
x |
0, |
|
i 1, 4 |
|
|
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|
|||||
i |
|
|
|
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|
|
|
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12. |
z 8x1 |
5x2 |
x3 |
max |
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2x |
x |
2 |
2x |
10, |
|
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1 |
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3 |
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x x |
2 |
x |
5, |
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1 |
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3 |
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4x |
x |
2 |
2x |
1, |
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1 |
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|
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3 |
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|
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x 0, |
|
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i 1, 3 |
|
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||||||||
i |
|
|
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14. |
|
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z 1.5x |
2x |
2 |
3x |
2x |
4 |
max |
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1 |
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3 |
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3x 4x |
2 |
|
3x |
|
x |
4 |
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3, |
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1 |
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3 |
|
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2x x |
2 |
x |
|
2x |
4 |
1, |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|
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|||
xi 0, |
|
|
i |
1, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. z x1 3x2 x3 max x1 2x2 x3 6,
4x1 2x2 x3 12, x1 3x2 2x3 6,
|
|
||
xi 0, |
i |
1, 3 |
|
21
17. |
z 2x1 |
3x2 |
max |
||||||||||||||||
2x |
x |
2 |
5, |
|
|
|
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1 |
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x |
3x |
3 |
3, |
|
|
|
|
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|
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||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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x |
x |
2 |
8, |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
|
|
i 1, 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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19. |
z x1 2x2 |
3x3 |
4x4 max |
||||||||||||||||
x x |
2 |
x |
x |
4 |
|
2, |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|
|
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x 14x |
2 |
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10x |
4 |
|
10x |
4 |
24, |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||
x |
0, |
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i 1, 4 |
|
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|
|
||||||||||
i |
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|
|
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|
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21. |
z x1 5x2 |
x3 x4 max |
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x 3x |
2 |
3x |
|
x |
4 |
3, |
|
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1 |
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
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||||
2x 3x |
|
x |
4 |
4, |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xi |
0, |
|
|
i |
1, 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
23. |
z 2x1 |
x2 |
x3 2x4 max |
||||||||||||||||
x |
2x |
2 |
x |
3x |
4 |
3, |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x x |
2 |
x |
x |
4 |
4, |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
|
i 1, 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. z 2x1 |
2x2 x3 x4 max |
||||||||||||||||||
x |
x |
2 |
x |
x |
4 |
|
2, |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2x |
2 |
x |
3x |
4 |
3, |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
|
i 1, 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
z x1 |
4x2 |
|
max |
|
||||||||||||||||||
x |
3x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
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||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
3 |
|
10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
x |
2 |
|
|
9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
2 |
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0, |
|
|
|
|
|
i 1, 2 |
|
|
|
|
|
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||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
z x1 |
4x2 |
3x3 |
10x4 |
max |
||||||||||||||||||
x x |
2 |
|
x |
x |
4 |
|
0, |
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 14 x |
2 |
10x |
10x |
4 |
11, |
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0, |
|
|
|
|
|
i 1, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
z 2x1 |
x2 |
3x3 |
x4 max |
|||||||||||||||||||
x x |
|
2x |
4 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x 2x |
2 |
x |
3x |
4 |
|
2, |
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xi |
0, |
|
|
|
|
|
i |
1, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24. |
z x1 |
x2 |
x3 |
x4 max |
|||||||||||||||||||
x 2x |
2 |
x |
x |
4 |
|
5, |
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x x |
2 |
|
2x |
3 |
|
5x |
4 |
|
4, |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0, |
|
|
|
|
|
i 1, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. z x1 |
x2 |
2x3 x4 min |
|||||||||||||||||||||
x x |
2 |
|
x |
4x |
4 |
|
1, |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2x x |
2 |
|
x |
3 |
|
x |
4 |
3, |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xi |
0, |
|
|
|
|
|
i |
1, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Лабораторная работа 4
Теория двойственности в линейном программировании
Вопросы:
1. Определение двойственной задачи к задаче линейного программирования (ЛП) в каноническом виде.
2.Определение двойственной задачи к задаче ЛП в нормальном виде.
3.Шесть соотношений двойственности.
Все множество задач линейного программирования можно разбить на пары взаимодвойственных задач.
Для канонической формы:
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|
|
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z |
с |
|
x max, |
|
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Ax b, |
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x 0 |
; |
|
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|
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|||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
y |
min, |
|
|
|
|
|
y c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
T b |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для нормальной формы: |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
с |
|
x max, |
|
|
Ax b, |
|
x 0 |
; |
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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y min, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T b |
|
|
A |
y c, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Для общей формы: |
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|
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z = |
|
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с(1) x(1) |
|
c( 2) x( 2) max |
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|||||||||||||||||||
|
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A A |
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|
x |
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||||||||
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(1) |
|
b , |
|
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|||||||||||
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|||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
11 |
12 |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||
|
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|
|
|
|
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x( 2) |
|
|
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||||
|
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A A |
|
|
x |
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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(1) |
|
|
b |
|
, |
|
|
x 0 . |
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
x |
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( 2) |
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
T = b(1) y(1) |
b( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1) |
|
c |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
c |
|
, y |
|
|
0, |
|
|||||||||||||
A A |
|
|
|
|
|
(1) |
|
A A |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
( 2) |
|
|||||||||||||||||||
11 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y( 2) |
y,b R |
|
, |
|
x(1) |
|
|
|
y( 2) |
|
|
, |
c( 2) , x( 2) |
R |
|
|
, |
||||||||||||||||||
где x, c R |
n |
, |
|
m |
|
,c(1) |
R |
l |
n l |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||
|
y |
,b |
R |
, |
|
|
y |
|
,b |
|
R |
m S |
, |
|
A (S l), |
|
A |
|
(S |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
||
|
(1) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||
A21 (m S) l), |
|
|
A22 (m S) (n l) – матрицы. |
(4.1)
(4.2)
(n l)) ,
Связь между любой парой взаимодействующих задач раскрывается следующими соотношениями двойственности.
23
1.Теорема существования. Для существования задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы не были пусты множества её прямых и двойственных планов.
2.Теорема двойственности. Для существования решения прямой задачи линейного программирования (4.1) необходимо и достаточно
существования решения |
y |
0 |
двойственной ей задачи (4.2). На решениях |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
, y |
|
значения целевой функций задач (4.1), (4.2) равны: |
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
y |
0 |
c |
|
b |
|
(4.3)
3. Основное неравенство. На каждой паре из прямого x и двойственного y планов выполняется неравенство:
c x b |
y |
(4.4) |
4. Достаточное условие несовместности ограничений. Если вдоль |
||
некоторой последовательности yk |
{xk } , |
k=1, 2… двойственных |
(прямых) планов двойственная (прямая) целевая функция неограниченно убывает (возрастает):
b yk |
k |
), k , |
(4.5) |
(c x |
то задача (4.1) (задача (4.2)) не имеет планов.
5. Достаточное условие оптимальности. Если на некоторых прямом
двойственном |
y |
|
планах выполняется равенство: |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
c |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
b |
|
x |
|
и |
|
(4.6)
то x |
|
, |
y |
|
– решение задач (4.1) и (4.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
, y |
|
задач (4.1), |
(4.2) |
||||||||||||||
6. Условия дополняющей нежесткости. Планы |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
тогда и только тогда оптимальны, когда |
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
0 / |
( A y |
0 |
c) 0, |
y |
0 / |
( Ax |
0 |
b) 0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из равенств (4.7) и ограничений задач (4.1), (4.2) следует: |
|
(4.2) |
(j-е |
|||||||||||||||||||||
|
а) |
|
если |
xi 0 |
|
( y j 0) , |
|
|
то i-е ограничение |
задачи |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничение задачи (4.1)) активно на плане y0 |
(на плане x0 ); |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
б) если j-е ограничение прямой задачи (i-е ограничение двойственной |
|||||||||||||||||||||||
|
задачи) пассивно на плане |
х |
|
|
(на плане y |
|
), то |
y j |
0 (xi 0) |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
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|
|
|
|
|
|
1 i l, m S |
j m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соотношения двойственности позволяют: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Установить разрешимость задач.
2.Проверить оптимальность плана этой задачи по свойствам решения двойственной.
3.По оптимальному плану одной задачи найти оптимальный план двойственной.
24
Пример. Проверить является ли оптимальным план
для задачи:
z2x1 x2 3x3 x4 max x1 x2 x3 x4 1,
|
|
x |
|
|
5x |
2 |
|
|
x |
3 |
x |
4 |
3, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||||||||
|
|
6x |
|
2x |
2 |
|
x |
4 |
1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
0, |
|
|
|
|
x |
3 |
0, |
|
|
x |
4 |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|||||||
Решение |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
планом задачи (4.8): |
||||||||||||||||||||
1. Проверим, является ли |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
0, x |
0 |
|
1 |
0, |
|
|
x |
0 |
|
|
|
4 |
0, |
x |
0 |
0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
4 |
|
1 0 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 0 |
5 |
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
1 0 3, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 0 2 |
|
1 |
|
1 0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Приводим задачу (4.8) к виду (4.1): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 2x |
x |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
x |
|
max |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
x |
4 |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
5x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
x |
4 |
|
3, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6x |
2x |
2 |
x |
4 |
|
|
x |
5 |
|
1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
i |
0; |
|
|
|
|
|
|
i 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Строим задачу двойственную к (4.11): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T y1 |
|
3y2 |
|
|
y3 |
|
|
min |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y1 y2 6 y3 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y1 5 y2 2 y3 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y1 y2 |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y1 y2 y3 1, |
|
|
|
|
|
y3 0. |
|
|
|
|
|
25
x |
|
|
1 |
, |
4 |
|
0 |
0, |
|
|
, 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
4. Предположим, что |
x |
0 |
оптимальный план задачи (4.11), тогда из |
|
|
|
соотношения 1 следует, что у задачи (4.12) есть планы, более того
существует |
y |
0 |
|
|
|
|
– |
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оптимальный |
план |
для |
(4.12) |
(соотношение 2). По |
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соотношению 6: |
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x |
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( A y |
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c) 0. |
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||||||||||||||||||||
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0 / |
|
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|
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/ |
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0 |
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|
|
|
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Откуда из первого равенства соотношения 6 и из (4.9) следует, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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y |
0 |
|
5y |
0 |
2 y |
0 |
1, |
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||||||||||||||||||
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||||
|
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|
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|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
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|
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|
0 |
y |
0 |
3. |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
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|
|||
|
|
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1 |
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
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|
|
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|
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||
Так как на x0 |
|
|
|
третье ограничение задачи (4.11) |
пассивно (см.10), то из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
второго равенства соотношения 6: |
|
|
y3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
0 |
5 y |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Из системы |
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находим |
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y1 |
|
|
, |
y2 |
. |
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
0 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
||||||||
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
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|
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|
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|||||
5. Проверяем является ли вектор |
y |
|
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7 |
, |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 планом задачи (4.12): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
7 |
|
1 |
|
2 |
|
6 0 3 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
7 |
|
1 |
|
2 |
|
1 0 |
5 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
– план задачи (4.12). |
|
|
|
||||||||||||
так как все условия выполняются, |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Вычисляем на |
|
|
|
x |
и |
|
|
y |
|
|
|
значение целевых функций задач (4.8) и (4.12): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
x |
0 |
|
2 0 1 |
1 |
3 |
4 |
|
1 0 |
13 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
y |
0 |
|
1 |
7 |
|
|
3 |
|
2 |
1 0 |
|
|
|
13 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как с/ x0 = b/ y0 |
и |
x0 |
|
, y 0 |
|
планы своих задач, то по соотношению (4.5) они |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будут решениями задач (4.8), (4.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задание |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
Определить, |
|
является |
|
|
ли |
вектор |
x |
0 |
решением |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующей задачи.
Задание 2. Используя теорию двойственности, доказать оптимальность задачи минимизации (или максимизации) из лабораторной работы 1.
26
1. |
x |
0 |
= (2, 2) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 8x |
|
5x |
2 |
min |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x |
|
x |
2 |
|
6, |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9x |
|
8x |
2 |
157, |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
11x |
2 |
|
|
16, |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
0 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
x |
0 |
= (5, 6) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
5x |
2 |
|
max |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x |
|
x |
2 |
|
9, |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
3x |
2 |
|
50, |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
2 |
|
|
19, |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0, |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
x |
0 |
= (10, 4) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x1 8x2 |
|
min |
|||||||||||||||||
3x1 14 x2 |
78, |
||||||||||||||||||
5x1 6x2 |
|
26, |
|||||||||||||||||
x1 4x2 |
26, |
||||||||||||||||||
x1 |
|
0, |
|
|
|
x2 |
|
|
|
0 |
|||||||||
7. |
x |
0 |
= (16, 9) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5x |
|
|
|
7x |
2 |
min |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
14 x |
2 |
78, |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5x |
|
6x |
2 |
|
26, |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
4x |
2 |
26, |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
0, |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
x |
0 |
= (4, 9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3x |
x |
2 |
|
min |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4x |
|
5x |
2 |
|
|
29, |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
x |
2 |
14, |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5x |
|
2x |
2 |
|
38, |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
|
x |
2 |
|
|
0 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
x |
0 |
= (3, 3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 7x |
x |
2 |
min |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11x |
3x |
2 |
|
|
24, |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
4x |
2 |
|
110, |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x |
|
7x |
2 |
|
15, |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
0, |
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
x |
0 |
= (7, 5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x1 9x2 |
min |
|||||||||||||
6x1 5x2 |
|
17, |
||||||||||||
x1 2x2 |
|
34, |
||||||||||||
4x1 9x2 |
|
17, |
||||||||||||
x1 |
|
0, |
|
|
x2 |
|
0 |
|||||||
8. |
x |
0 |
= (8, 5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x1 7x2 |
min |
|||||||||||||
x1 4x2 |
|
53, |
||||||||||||
x1 x2 3, |
|
|||||||||||||
7x1 3x2 |
|
71, |
||||||||||||
x1 |
|
0, |
|
|
x2 |
|
0 |
27
9. x |
0 |
= (5, 6) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 6x |
7x |
2 |
min |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
x |
2 |
9, |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3x |
2 |
|
50, |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4x |
2 |
|
19, |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0, |
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
x |
0 |
= (2, 2) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
x |
2 |
min |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x |
x |
2 |
6, |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
8x |
2 |
157, |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
11x |
2 |
|
16, |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0, |
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
x |
0 |
= (4, 4) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4x1 3x2 |
max |
|||||||||||
2x1 x2 |
4, |
|
||||||||||
x1 3x2 |
37, |
|
||||||||||
4x1 9x2 |
|
20, |
||||||||||
x1 0, |
|
|
x2 |
|
0 |
|||||||
15. x0 |
= (3, 3) |
|
||||||||||
z 9x1 2x2 |
min |
|||||||||||
11x1 3x2 |
|
24, |
||||||||||
9x1 4x2 |
|
110, |
||||||||||
2x1 7x2 |
|
15, |
||||||||||
x1 0, |
|
|
x2 |
|
0 |
10. |
x |
0 |
= (7, 10) |
|
|
|
z 7x |
|
2x |
2 |
min |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
3, |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5x |
|
3x |
2 |
|
|
|
97, |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
7x |
2 |
|
|
77, |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
0, |
|
|
|
|
|
x |
2 |
0 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
x |
0 |
= (6, 3) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5x |
1 |
|
x |
2 |
|
min |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 x |
1 |
x |
2 |
|
57, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2x |
1 |
3x |
2 |
|
53, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6x |
1 |
7x |
2 |
|
15, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
x |
0 |
= (6, 4) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3x1 2x2 |
min |
|||||||||||||||||||
4x1 5x2 |
29, |
|||||||||||||||||||
3x1 x2 |
|
|
14, |
|
||||||||||||||||
5x1 2x2 |
|
|
38, |
|||||||||||||||||
x1 |
0, |
|
|
|
|
|
x2 |
0 |
||||||||||||
16. x0 |
= (2, 6) |
|
||||||||||||||||||
z 5x1 7x2 |
min |
|||||||||||||||||||
3x1 |
14 x2 |
|
78, |
|||||||||||||||||
5x1 6x2 |
|
|
26, |
|||||||||||||||||
x1 4x2 |
|
|
26, |
|||||||||||||||||
x1 |
0, |
|
|
|
|
|
x2 |
0 |
28
17. |
x |
0 |
= (13, 8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4x |
|
3x |
2 |
min |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x |
x |
2 |
|
4, |
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x |
2 |
|
37, |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
9x |
2 |
|
20, |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. x0 |
= (7, 5) |
|
||||||||||||||
z 5x |
|
|
3x |
2 |
|
min |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6x |
5x |
2 |
|
17, |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x |
2 |
34, |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x |
9x |
2 |
|
|
17, |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
x |
2 |
|
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
x |
0 |
= (5, 6) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
|
5x |
2 |
|
min |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
x |
2 |
|
9, |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3x |
2 |
|
50, |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
2 |
|
|
19, |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. |
x |
0 |
= (10, 5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 7x |
|
x |
2 |
|
min |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11x |
3x |
2 |
|
|
24, |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
4x |
2 |
|
110, |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
7x |
2 |
|
15, |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
x |
0 |
= (5, 12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 9x |
|
|
2x |
2 |
min |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
4x |
2 |
53, |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
x |
2 |
|
3, |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7x |
3x |
2 |
|
71, |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. x0 |
= (9, 13) |
|||||||||||||||
z 3x |
|
|
x |
2 |
|
min |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4x |
5x |
2 |
|
29, |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
x |
2 |
|
|
14, |
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
2x |
2 |
|
38, |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
x |
0 |
= ( |
2 |
, |
2 |
) |
||||||||
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z x |
|
3x |
2 |
|
max |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
|
1, |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x |
x |
2 |
2, |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
x |
2 |
|
0, |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
x |
0 |
= (13, 8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 6x |
|
|
x |
2 |
|
max |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
|
x |
2 |
|
9, |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
3x |
2 |
|
50, |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4x |
2 |
19, |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0, |
|
|
|
x |
2 |
|
0 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
25. |
x |
0 |
= (13, 9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5x x |
2 |
max |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10 x |
x |
2 |
57, |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2x |
3x |
2 |
53, |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
7x |
2 |
15, |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0, |
|
|
x |
2 |
|
0 |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
x |
0 |
= (16, 9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5x |
7x |
2 |
max |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
14 x |
2 |
78, |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5x |
|
6x |
2 |
26, |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
4x |
2 |
26, |
||||||||
1 |
|
|
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