Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка МО часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Лабораторная работа 2

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Вопросы:

1.Постановка задачи линейного программирования в канонической форме.

2.Определение базисного плана.

3.Критерий оптимальности в симплекс-методе.

4.Достаточное условие неограниченного возрастания целевой функции.

5.Алгоритм симплекс-метода, правило прямоугольника.

Симплекс-метод применяется к задачам линейного программирования, которые в канонической форме обладают свойствами: ранг матрицы системы основных ограничений равен числу уравнений, ограничения задачи не противоречивы, причём известен или легко строится начальный базисный план.

Алгоритм

1.Задачу линейного программирования приводим к каноническому виду

c' x max ,				Ax
x,c R	n	,	b R		m	,

2. Строим начальный		базисный
преобразуем к виду (2.2):

b,	x 0
A	(n

план. Для

m) матрица. этого исходную

(2.1)

задачу

						x
	max ,		( A		A	)	Б	b,	x 0,	(b 0),
c x	max ,		( A		A	)		b,	x 0,	(b 0),
			Б		Н
						xН
где
xБ {x j , j J Б },		J Б { j1 ,		j2 ,..., jm } J ,					xН {x j , j J Н J \ J Б },

(2.2)

J {1, 2,..., n},

AБ Em	,	AН {a j				, j J Н },			a j {aij , i I},	I {1, 2,..., m}.
			x		1	b
Вектор	1				Б			– начальный базисный план задачи
Вектор	x							– начальный базисный план задачи
				1
			xН				0

Вычисляем на нём значение целевой функции и оценки:

b ,

, j J

z(x

) c x

(2.1).

a	j	c	,	j J	Н
	j	j			Н

и переходим к пункту 3.

3. Строим начальную симплексную таблицу, задающую базисный план x1 .

4. Проверяем оценки j 0,

выполнение критерия оптимальности плана. Если все j JН , то базисный план (2.2) оптимален. Задача решена.

Если j

j J Н , то идём к пункту 5.

5. Проверяем достаточные условия неограниченности целевой функции. Если

j* 0 , j* J Н , aij* 0, i IБ , (2.3)

то задача (2.1) не имеет решения, так как целевая функция не ограничена на множестве планов. Если условие (2.3) не имеет места, то переходим к пункту 6.

6. Совершаем симплекс-итерацию – переход к новому базисному плану: а) строим новый базис с индексным множеством

J	Б	(J	Б	\ q) p,
	Б		Б

где p и q находят из соотношений:

min j

(p-ый

столбец – разрешающий),

	b		min		b
		q	min			i
		q				i
q	a		i I ,a	0	a
	a		ip		a
			ip
		ip				ip

(q-ый строка – разрешающая),

а элемент таблицы aqp

– разрешающий.

б) строим новую симплекс-таблицу, совершая основное симплексное

преобразование по элементу

aqp

a a

bi ai

bq aip

i I ,

i q ,

p aqj

aqp

(J )

j J , x

{bi , i I},

J \ J Б .

xН

x (J

Н )

7. К новой таблице применяем п.4 алгоритма и т.д.

Замечания

1. Расчет новой симплекс-таблицы нужно начинать с определения значений столбца b и строки , так как если для некоторого базисного плана выполняется критерий оптимальности (см. п.4), то нет необходимости вычислять оставшуюся часть таблицы.

2. Для проверки правильности вычисления симплекс-таблиц можно ввести столбец , который равен сумме всех столбцов таблицы и также

вычисляется по правилу прямоугольника.

Пример. Симплекс-методом решить следующую задачу:

z x			x			2	3x			3	max
	1					2				3
2x	x	2		x				1,
1		2				3
4x	2x			2	x			3	2,
1				2				3
3x	x			5 ,					x	0,		i 1, 3
1	3								i

(2.4)

Решение

1. Приводим задачу (2.4) к каноническому виду:

z x			x		2		3x		max
	1				2			3
2x	x	2	x				x	4	1,
1		2				3		4
4x 2x				2		x		x		2,
	1			2			3		5
3x	x		x			6	5 ,		x	i	0,	i 1, 6.
1	3					6				i

(2.5)

1. Из системы ограничений			задачи
базисный план:	J		{4, 5,
x (0, 0, 0, 1, 2, 5) ,	J		{4, 5,
1
		Б

(2.5)	определяем начальный
6}.

2. Составляем для задачи (2.5) начальную симплекс-таблицу и применяем симплекс-метод:

c					-1	1		3		0		0		0
	Á	Базис		b	1		2	a	3		4	a	5	a	6
c					a	a				a
0		a4		1	2	-1				1		0		0		4	1/1
0		a	5	2	-4	2		-1		0		1		0		0	–


0		a	6	5	3	0		1		0		0		1		10	5/1


				0	1	-1		-3		0		0		0		-3
		a	3	1	2	-1		1		1		0		0		4	–


		a5		3	-2			0		1		1		0		4	3/1
		a6		4	1	1		0		-1		0		1		6	4/1

				3	7	-4		0		3		0		0		9
		a3		4	0	0		1		2		1		0		8	–
		a	2	3	-2	1		0		1		1		0		4	–


		a6		1		0		0		-2		-1		1		2	1/3

				15	-1	0		0		7		4		0		26

a	3

a	2

a
	1

4
11
3
1
3
15	1	0	0	0	6	1
15	3				6	3

2 3

все

Последняя таблица задаёт оптимальный план: задачи (2.4), так как

оценки	j		0,				j J Н			{4, 5, 6}и
			x	0			1	,	x	0	11	,	x	0	4.
			x					,	x			,	x		4.

			1				3			2	3			3
							3				3
		0	1			11								zmax 15		1
Ответ:	x				,			, 4, 0, 0, 0 ,									.
Ответ:	x				,		3	, 4, 0, 0, 0 ,								3	.
			3				3									3

Задание. Симплекс-методом решить следующие задачи:

1.		z 2x1 x2								max
2x			x		2		4,
		1
x		x		2	x			3	4,
1
x			x			3	1,
		1
x	i	0, i				1, 3

3.		z x2					x1 max

2x1 x2 2, x1 x2 2,

x1 x2 5,

xi 0, i 1, 2

5. z x1 2x2 x3 max

2x1 x2 x3 2, 2x1 x2 5x3 6,

8x1 2x2 2x3 12, xi 0, i 1, 3

2.		z 3x1							x3						max
x		x			2	x						4	5,
1					2							4
2x		2	3x				3		x					5	4,
		2					3							5
2x				2	x			6				8,
				2				6
x	i	0, i					1, 6
	i
4.		z 2x1							3x2 2x3							x4	max
2x1 2x2 3x3 x4 6,
x2 x3 x4													2,
x1 x2 2x3 5,

xi		0, i										1, 4
6. z 8x1									4x2 x3 max
2x1 x2 x3 20,
6x1 x2										12,
x1 x2						2,

xi		0, i									1, 3

7.			z x1										3x2									2x3			min
x				x			2			2x							3		5,
	1						2										3
2x					3x							2	x							3,
				1								2						3
2x					5x							2	6x							3		5,
				1								2								3
x		i		0, i 1, 3
		i
9.			z 2x1										x2 10x3 x5 max
x1 x2 4x3 x4 1,
x2 x3 x5																4
x2 x4									2,

xi			0, i												1, 5
11.					z 5x1												x2						x3		2x4 x5	min
x			x			2			x					3		2,
1						2								3
x					x					2		x					3		x				4	1,
				1						2							3						4
2x					x				2		x					5		2,
			1						2							5
x	i		0, i								1, 5
	i
13.					z 2x1												x2						3x3 max
3x				x				3		8,
		1						3
x					x					2		4x							3		1,
				1						2									3
2x					x				2		3x							3	6,
			1						2									3
x	i		0, i 1, 3
	i
15.				z x1									3x2									x3 min
3x				x				2		2x								3	7,
		1						2										3

2x1 4x2 12,

4x1 3x2 8x3 10,

x	i	0, i 1, 3
	i

8.		z x1 3x2 x3 min
x			2	x				1,
			2				3
x x					x					4,
1				2				3
2x			x					2,
		1			2
x			0, i 1, 3
	i
10. z x1 x2 x3 min
x1 x4 2x6 5,
x2 x4 3x5 x6 3,
x3 x4 x5 x6 5,

xi		0, i							1, 6
12.				z 2x1						4x2 x3 max
x		3x				2		x			3		4,
1						2					3
2x				x			2	1,
		1					2
x	2	x			4		3,
	2				4
x	i	0, i 1, 3
	i
14.				z 10x1									7x2 5x3	min
x		2x					2	x				3	5,
1							2					3
x		3x				3		1,
1						3
x	2	x			3		4,
	2				3
x	i	0, i 1, 3
	i

16. z 2x1 3x2 x3 min

5x1 3x2 x3 15, x1 x2 4,

2x1 x3 2,

xi 0, i 1, 3

17. z 2x1 2x2 x3			min
x1	x2 2x3 2,
2x1 x2 3x3 6,
x1	x2 x3 7,

xi	0, i	1, 3

19. z x1 x2 x3 max 3x1 x2 2x3 1,

x1 x3 2,

x1 2x2 x3 4, xi 0, i 1, 3

21.					z 6x1							x2 x3									min
x			x			2		x			3		1,
1						2					3
x			x			2		3x								9,
1						2						3
x					x				2	4x							3	2,
				1					2								3
x	i		0, i 1, 3
	i
23.					z x1 x2													2x3			max
x				x			2		1,
	1						2
x				2x					3	1,
	1								3
x				x			2		x			3			2,
	1						2					3
	x			i	0, i 1, 3
				i
25. z 3x1												5x2							x3 x4 max
x			2x					2		x			3			x			4	5,
1								2					3						4
x	1			x			2		3x					3		2,
	1						2							3
x					x				2	x					3		1,
				1					2						3
x		i		0, i 1, 4
		i

18.	z 8x1 5x2			x3	max
2x1	x2	2x3 10,
x1 x2 x3 5,
4x1	x2	7,

xi 0, i			1, 3

20. z x1												x2 2x3 min
x		3x			2			x					3	3,
1					2								3
3x			x		2			x					3	1,
		1			2								3
x		x		2		x					3		5,
1				2							3
x	i	0, i						1, 3
	i
22.			z 2x1									x2				x3	max
x		x		2		x					3		1,
1				2							3
x			3x						2	x					3	6,
		1							2						3
2x			x			3		5,
		1				3
x	i	0, i 1, 3
	i
24.			z x1									2x2 2x3 min
2x			x			3		x					4			1,
		1				3							4
x	2	2x					4	3
	2						4
x		x		2		x					3		4,
1				2							3
x	i	0, i 1, 4
	i
26.			z x1							3x2						x3	min
3x			x		2			2x						3	7,
		1			2									3

2x1 4x2 12,

4x1 3x2 2x3 10,

x	i	0, i 1, 3
	i

c x max,

Лабораторная работа 3

Двухфазный симплекс метод решения задач линейного программирования

Вопросы:

1.Постановка задачи первой фазы, для чего нужна первая фаза.

2.Три случая, которые возможны в результате решения задачи на первой фазе.

3.Лемма о непустоте множества планов задачи первой фазы.

Дана задача линейного программирования в канонической форме:

Ax b, x 0 (b 0) (3.1)

Предположим, что для неё трудно построить начальный базисный план. В этом случае задачу (3.1) следует решать двухфазным симплексметодом.

Алгоритм Первая фаза. Построение начального базисного плана задачи (3.1).

1.Составляем задачу первой фазы:

max,

Ax x

x 0,

e x

где

1, 1, ...,1 R

x xn 1 , xn 2 ,..., xn m R

–

(3.2)

вектор искусственных переменных.

2.Задачу (3.2) решаем симплекс-методом. Для неё

JБ JИ

n 1, n 2,..., n m ,

AБ

Em ,

xБ b.

3. Пусть решение

задачи

(3.2)

–

задается таблицей T* с

, xИ

множеством базисных индексов

J Б и элементами

aij ,

i J Б ,

j J JБ .

Возможны три случая:

а) Если

x* 0 , то

исходная

задача

не

имеет

планов. Процесс

решения окончен.

JБ

JИ

(среди

базисных планов нет

б) Если

xИ 0

искусственных),

то

– базисный план задачи (3.1) с базисным

множеством

J * .

в) Если

xИ

0 ,

но

JБ

(среди

базисных

переменных

имеются

искусственные),

то для

i JБ

JИ

возможны

два

подслучая:

1) Если в строке, соответствующей переменной

таблицы

T *

имеется элемент aij 0, j J , то,

выбирая

aij за разрешающий

элемент и выполняя с ним симплексное преобразование,

исключаем искусственную переменную

из базисных, а

x j

вводим в состав базисных переменных;

то

в системе

2) Если

же

этой

строке все

aij

0, j J ,

ограничений

задачи

(3.2)

i n

уравнение

есть

следствие

остальных уравнений. Его нужно из (3.2) удалить, а из

таблицы

T * вычеркнуть указанную i-ю строку и j-й столбец.

Выполнение

процедур

над всеми

элементами

множества

JБ

JИ

приведут к б).

Вторая фаза. Построение оптимального плана исходной задачи (3.1) –

(3.3). Принимая x* за начальный базисный план, а T* без столбцов

j JИ

– за начальную симплексную таблицу, решаем задачу (3.1) – (3.3) симплекс-методом.

Замечание

В конкретных случаях при составлении задачи первой фазы (3.2) искусственные переменные следует вводить только в те ограничения задачи (3.1), в которых нет базисных переменных. Более того, в основных ограничениях задачи (3.1) предварительно с помощью элементарных эквивалентных преобразований (умножение ограничений на положительное число, сложение ограничений) могут быть построены некоторые легко выделяющиеся базисные переменные. Все это ускоряет решение задачи первой фазы.

Пример. Двухфазным симплекс-методом решить задачу: z 3x1 x2 x4 max,

3x1 5x2	x3 1,	(3.3)
x1 2x2 2x4 2,		(3.3)
x1 2x2 2x4 2,
2x1 x2 x4 1,
x 0,	i 1, 4
i

Решение

Первая фаза. Составляем задачу первой фазы. Так как в первой равенстве уже есть базисная переменная x3, то достаточно ввести всего лишь две искусственные переменные x5 и x6 во второе и третье равенства.

F x5 x6 max,

							3x1 5x2 x3 1,															(3.4)
							x1 2x2			2x4 x5 2,												(3.4)
							x1 2x2			2x4 x5 2,
							2x1 x2 x4 x6 1,
							x		0,		i 1, 6
								i
	X	1	0, 0, 1, 0, 2, 1						–	начальный					базисный				план		задачи (3.4),
		1
	JБ						JИ
	JБ			3, 5,		6 ,	JИ		5, 6 .
Задачу (3.4) решаем симплекс-методом:

с									0		0		0			0		-1		-1
c	Б
	Б
				Базис			b		1		a	2	a	3		a	4	a	5	a	6
									a		a		a			a		a		a
0				a	3		1		3		-5		1			0		0		0
				a

-1				a	5		2		1		2		0			2		1		0		1
				a

-1				a	6		1		-2				0			-1		0		1		1
				a

				F			-3		1				0			-1		0		0

a	3

a	2

-7

-2

0 1

0 0

0 1

-5

-1

-4

8 5

3 5

8 5

2 5

-2

1 5

Последняя таблица задаёт		оптимальный план		задачи (3.4)
x* , x*	0, 1, 6, 0, 0, 0 . Искусственные переменные		x* , x*	не входят в
И			5 6
		19

базис.

(3.3),

Следовательно

J Б	1, 2, 3 .
*

x		0, 1, 6, 0

– начальный базисный план задачи

Вторая фаза. Используя последнюю таблицу, отбросив в ней столбцы

a5 , a6 и заменив вектор стоимости с, решаем задачу (3.3) симплексным
методом в следующей таблице:

	с
						3	1		0		-1
			Базис		b	1		2	a	3		4
						a	a		a		a
	0			3	6	0	0		1		8
	0		a	3	6	0	0		1		5
			a

	3		1		0	1	0		0		4
	3		1		0	1	0		0		5
			a
	1			2	1	0	1		0		3
	1		a	2	1	0	1		0		5
			a

					1	0	0		0		4
Так как все оценки в строке						в этой таблице неотрицательны, то таблица
задает оптимальный план исходной задачи (3.3).
Ответ: x0		0, 1, 6, 0 ,			zmax	1.

Задание. Двухфазным симплекс-методом решить следующие задачи:

1.	z 2x1 2x2								x3 x4			min
x	x	2	2x			x			4	2,
1		2		3					4
2x x			2	3x		3	x			4	6,
	1		2			3				4
x	x	2	x x					4	7,
1		2		3				4
xi	0,			i	1, 4

3.	z x1 2x2 3x3 4x4 max
x1 2x2		x3 x4 2,
2x1 x2		x3 2x4 4,
x	0,	i 1, 4
i

2.	z 6x1			4x2	3x3				2x4	max
x	2x	2	2x x			4	16,
1		2		3		4
4x 5x			2	3x	7x			4	10,
	1		2	3				4
x	0,		i 1, 4
i

4.	z x1			2x2 2x3					2x4	max
x	2x	2		3x	x	4	7,
1		2		3		4
x x			2	2x	3x			4	4,
	1		2	3				4
x	0,			i 1, 4
i

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.2015267.78 Кб73Метод рек.doc
#
18.08.2019145.92 Кб2Метод.указ. по КР.doc
#
22.11.2019186.37 Кб3Методика факторного анализа.doc
#
31.08.2019538.62 Кб12Методические указания по физ-ре.doc
#
20.09.2019156.67 Кб2методические указания-КР.doc
#
09.03.20161.3 Mб47методичка МО часть 1.pdf
#
08.12.2018311.3 Кб4методичка 5 курс.doc
#
25.03.2015902.59 Кб54Методичка Pascal 2005 Часть1.pdf
#
25.03.2015841.24 Кб28Методичка Pascal 2005 Часть2.pdf
#
09.11.2018342.02 Кб3Методичка Гагуа Ист Бел.doc
#
13.11.2019622.08 Кб40Методичка для псих-в.doc