6 Методы, основанные на применении векторов

Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектора в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле. Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор , координаты которого вычисляются как,,(соответственно,,,).

Два различных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов исправедливо неравенство, т.е.

. (6.1)

Формула (6.1) обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл (6.1) состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула (6.1) иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в (6.1) достигает тогда и только тогда, когда векторы иколлинеарные. В частности, из равенства в (6.1) следует, что .

Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы исонаправлены, т.е. .

В свою очередь, равенство свидетельствует о том, что векторы,противоположно направлены.

Скалярным произведением · векторовиназывается число(скаляр) , которое вычисляется по формуле

· =, (6.2)

где – угол, образованный векторамии.

Для вычисления скалярного произведения двух векторов и, заданных в координатной форме, существует еще одна формула

· =(6.3)

Из формул (6.2) и (6.3) легко получить формулу для вычисления косинуса угла .. между векторами и, т.е.

(6.4)

Из формулы (6.2) следует, что векторы ,являются коллинеарными тогда и только тогда, когда·=.

Отметим. Что формулы (6.1) (6.4) обобщаются на случай векторови, заданных вn-мерном пространстве (где n ).

Задачи и решения

Пример 6.1. Доказать, если , то

(6.5)

где

Доказательство. Пусть , тогда Введем в рассмотрение вектор

Так как то векторимеет координатыиПосколькуто неравенство треугольника принимает вид

(6.6)

Если в неравенство (6.6) подставить выражения для …,, то получим требуемое неравенство (6.5).

Пример 6.2. Решить неравенство

(6.7)

Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты, а вектор- координатыТогда имеем. Пустьтогда координаты векторабудут вычисляться по формулам. Отсюда следует, чтоПосколькуто имеет место неравенство треугольникаЕсли в последнее неравенство подставить выражения длято получим неравенствоОтсюда и из (6.7) следует равенство

(6.8)

Равенство (6.8) означает, что

Отсюда следует, что векторы коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение, откуда вытекает

Ответ:

Пример 6.3. Решить уравнение

(6.9)

Решение. Введем в рассмотрение два вектора иТогда

Принимая во внимание уравнение (6.9), получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторыявляются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

(6.10)

Из уравнения (6.10) следует, что Если возвести в квадрат обе части уравнения (6.10), то получим уравнении

которое имеет следующих три корня: Посколькуто решением уравнения (6.9) являются

Ответ: .

Пример 6.4. Найти минимальное значение функции

Решение. Представим функцию в виде

(6.11)

Введем на плоскости векторы с координатамисоответственно. Так как, то из выражения (6.11) следует, что

Пусть тогда координатами вектораявляются (-5;3) и

Так как тоиТеперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функциипринимает значение

Если , тот.е. векторыколлинеарные. Отсюда следует, чтоПоложимтогдаЕсли найденные значенияиподставить в (6.11), тоСледовательно, минимальное значение функцииравно

Ответ: