- •Содержание
- •1 Роль и место понятия «площадь в школьном» курсе математики
- •2 Методика изучения данной темы
- •2.1 Знакомство с понятием площади
- •2.2 Площадь прямоугольника
- •2.3 Площадь параллелограмма
- •2.4 Площадь треугольника
- •2.5 Площадь круга
- •2.6 Площадь произвольного n-угольника
- •2.7 Площадь правильного n-угольника
- •3 Задачи планиметрии из централизованного тестирования
- •4 Задачи и упражнения для самостоятельного решения
2.7 Площадь правильного n-угольника
Вывод площади правильного n-угольника связан с радиусом вписанной в этот n-угольник окружности и радиусом окружности, описанной около него. При выводе этой формулы используется разбиение n-угольника на n треугольников. Если – площадь данного правильного многоугольника, а – его сторона,– периметр, аи– радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей, то. Докажем это: Соединив центр данного многоугольника с его вершинами, как показано на рисунке 2.7.1, мы разобьем его наn равных треугольников, площадь каждого из которых равна . Следовательно,. Далее,. [11,c. 174]
Рисунок 2.7.1
Рисунок 2.7.1
Пример 2.7.1.
Данный квадрат со стороной a срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.
Решение:
Пусть (рисунок 2.7.2). Тогда или, откуда
Рисунок 2.7.2
Следовательно, искомая площадь
Ответ:
Пример 2.7.2.
Вся дуга окружности радиуса R разделена на четыре большие и четыре малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в 2 раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
Решение:
Пусть малая дуга содержит градусов. Тогда, откуда Значит, восьмиугольник содержит четыре треугольника с центральным углом(их суммарная площадь) и четыре треугольника с центральным углом(их суммарная площадь). Искомая площадь составляет
Ответ:
Пример 2.7.3.
Дан квадрат со стороной. На каждой стороне квадрата вне его построена трапеция так, что верхние основания этих трапеций и их боковые стороны образуют правильный двенадцатиугольник. Вычислить его площадь.
Решение:
Искомая площадь , где и– радиусы окружности, описанной около квадрата и двенадцатиугольника (рисунок 2.7.3). Так как сторона квадрата равна , то. Имеемгде⏊ Но , поскольку . Таким образом,
, то есть
Рисунок 2.7.3
Ответ:
3 Задачи планиметрии из централизованного тестирования
2004
Вариант 1
В8. В равнобедренном треугольнике через вершины основанияии точку(лежит на высоте, проведённой к основанию, и делит её в отношении,считая от основания) проведены прямыеи(D AB; E AC). Найдите площадь треугольника , если площадь трапецииравна 64. [12,c.64]
Решение:
Введём обозначения:
Из рисунка следует, что Отсюда
Составляем систему:
Рисунок 3.1
Из системы получаем:
Решая это уравнение найдём :
Подставляем во второе уравнение системы, получаем:
Найдём площадь треугольника
Ответ:
2005
Вариант 1
А8. В равнобедренном треугольнике со сторонамиипроведена высотак боковой стороне. Еслии– центры окружностей, описанных около треугольникови, то расстояние между точкамииравно…[13,c. 80]
Решение:
В условии задачи не сказано конкретно, чему равны боковые стороны и и основание. Если, а, то не будет выполняться неравенство треугольника. Поэтому, а. Далее нужно вспомнить тот факт, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Поэтому центры окружностей, описанных около треугольников и , точки и – соответственно середины сторон и.
B
О2
Н
А С
О1
Рисунок 3.2
Таким образом, – средняя линия треугольника и
Ответ:
2006
Вариант 1
B4. Четырёхугольник вписан в окружность. Если,,, то градусная мера угла между прямымииравна…[14,c. 63]
Решение:
Так как по условию нам дано, что ,,, то ТогдаНам известно, что четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равныЗначит,
Рисунок 3.3
А из этого следует, что Из треугольникаможно найти угол, который нам и нужен. Итак,Получаем, что
Ответ:
2007
Вариант 1
А12. Большее основание трапеции равно 114. Найдите меньшее основание трапеции, если расстояние между серединами её диагоналей равно 19. [15, c. 62]
Решение:
Рисунок 3.4
Обозначим меньшее основание трапеции
Треугольники и подобны. Получаем соотношение:
Из подобия треугольников получаем:
Разделим второе уравнение на первое:
Следовательно:
Получаем, что меньшее основание трапеции равно
Ответ:
2008
Вариант 1
А11. Параллельно стороне треугольникапроведена прямая, пересекающая сторонув точкетак, что. Если площадь треугольникаравна 50, то площадь получившейся трапеции равна…[16,c. 72]
Решение:
Рисунок 3.5
Пусть Из условия нам дано, что
Отсюда Тогда,Следовательно,Теперь найдём площадь трапецииПолучаем, что
Ответ:
2009
Вариант 1
А13. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезке, длины, которых относятся как 1:4. Если высота равна 8, то гипотенуза равна…[17, c. 72]
Решение:
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле:
B
K
A C
Рисунок 3.6
По условию нам дано, что . Значит,
Отсюда получаем, что . Тогда
Ответ:
2010
Вариант 1
А12. Величины двух углов треугольника равны и, а высота, проведённая из вершины большего угла, равна 9. Найдите меньшую сторону треугольника.
Решение:
Рисунок 3.7
Пусть , значит Так как–
высота треугольника , то . Поскольку треугольникпрямоугольный, то катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.
Из свойства получаем: Значит,
Ответ:
2011
Вариант 1
А16. В ромб площадью вписан круг площадью . Сторона ромба равна…
Решение:
;
;
;
.
Так как площадь ромба по условию равна , тоТогда,
Отсюда получаем, что
Рисунок 3.8
Ответ:
2012
Вариант 1
А11. Четырёхугольник , в котором, вписан в окружность. Найдите градусную меру угла.
Решение:
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны
Значит,
Рисунок 3.9
Ответ:
2013
Вариант 1
В3. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10, а синус противолежащего угла равен . Найдите площадь треугольника.
Решение:
Рисунок 3.10
1. Найдём косинус углапо формуле
, отсюда
Так как угол − острый, то выбираем знак «»:
.
2. Для нахождения длины боковой стороны (рисунок 3.10) применим теорему косинусов:
или
или илиили
3. Находим площадь треугольника по формуле:
;
Ответ: .
2014
Вариант 1
Задача В3. В окружность радиусом 6 вписан треугольник, длины двух сторон которого равны 6 и 10. Найдите длину высоты треугольника, проведенной к его третьей стороне.
Решение:
Выполним вспомогательный чертеж для решения задачи. Пусть – заданный треугольник, у которого.
Проведем высоту треугольника.
Рисунок 3.11
В подобных задачах самый сложный момент ─ это понять, как связать параметры треугольника (углы или стороны) с параметрами окружности. Ведь задачу мы решаем про треугольник, однако, поскольку дан радиус описанной окружности, то это нужно как-то использовать для получения недостающих сведений о самом треугольнике.
Одна из самых известных связей между треугольником и описанной окружностью доказывается в теореме синусов. Запишем выводы этой теоремы для угла :
Здесь – радиус описанной около треугольника окружности. Отсюда получаем:
Значит, .
Высоту найдем из прямоугольного треугольника:
Ответ: .