- •Комплекс санның алгебралық түрі, қолданылатын амалдар мен қасиеттері.Жазықтықта кескіндеу және тригонометриялық түрі. Муавр формуласы. Комплекс саннан n-дәрежелі түбір табу формуласы. 1
- •Комплекс санның алгебралық түрі, қолданылатын амалдар мен қасиеттері. Жазықтықта кескіндеу және тригонометриялық түрі. Муавр формуласы. Комплекс саннан n-дәрежелі түбір табу формуласы.
- •Векторлық кеңістіктің аксиомалары. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Сызықтық тәуелділіктің қасиеттері.
- •Көпмүшеліктердің бөлінгіштік қасиеттері. Көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгіші. Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың Евклид алгоритмі.
- •Кері матрица. Матрицаның керілену критерийі.
- •Векторлардың векторлық және аралас көбейтінділері және олардың геометриялық мағынасы.
- •3 Вектордың аралас көбейтіндісі
- •Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш.
- •Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.
- •Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.
-
Векторлық кеңістіктің аксиомалары. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігі. Сызықтық тәуелділіктің қасиеттері.
Анықтама. Элементтері n координаттан тұратын векторлар болатын кеңістікті n-өлшемді кеңістік деп атаймыз, егер келесі аксиомалар орындалса:
-
a+b=b+a;
-
(a+b)+c=a+(b+c);
-
;
-
, c=-a;
-
;
-
;
-
;
-
;
Сызықты тәуелділіктің қасиеттері:
-
Егер векторлар жүйесінде a1, a2,…, ak ең болмаса бір вектор нолдік болса, онда бұл жүйе сызықты тәуелді болады.
-
Егер векторлар жүйесінде a1, a2,…, ak екі тең вектор бар болса, онда бұл жүйе сызықты тәуелді болады.
-
Егер сызықты тәуелді жүйеге бірнеше вектор қоссақ, онда жаңа жүйе сызықты тәуелді болады.
-
Егер сызықты тәуелсіз жүйеден бірнеше вектор алсақ, онда жаңа жүйе тәуелсіз болады.
-
a1, a2,…, ak сызықты тәуелді болуы үшін, оның ең болмаса бір векторы қалғандары арқылы өрнектелуі қажетті және жеткілікті.
-
Көпмүшеліктердің бөлінгіштік қасиеттері. Көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгіші. Ең үлкен ортақ бөлгішті табудың Евклид алгоритмі.
Анықтама.a0, a1,…, an R болғанда
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an көпмүшелігі n-дәрежелі бір айнымалы көпмүшелік деп аталады.
Мұндағы
a0, a1,…, an - коффициенттер,
a0 - бас коэффициент,
an- бос мүшесі.
Бөлінгіштік қасиеттері:
10f/g, g/h =>f/һ(g көпмүшелігі f көпмүшелігіне бөлінсе және h көпмүшелігі g көпмүшелігіне бөлінсе, онда h көпмүшелігі fкөпмүшілігіне бөлінеді)
20f/g, f/h =>f/(g+h)
30 f/g1, f/g2, ..., f/gk, h1 … hkR => f/( h1 g1+ … +hkgk)
40 f/g, g/f => f=g
50 f/g, h=> f/gh
Ең үлкен ортақ бөлгіш
Мыс:
10ЕҮОБ(f,g)= ЕҮОБ(g,f)
20ЕҮОБ(f, ЕҮОБ(g,h))= ЕҮОБ(ЕҮОБ(f,g),h)
30ЕҮОБ(f,g)=g g/f
40ЕҮОБ(f,0)=f
50ЕҮОБ(hf,hg)=h ЕҮОБ(f,g)
F,gКөпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп, келесі екі шартты қанағаттандыратын d көпмүшесін айтамыз:
-
d/f, d/g, яғни d көпмүшесі f пен g-дің ортақ бөлгіші
2) h көпмүшесі үшін, егер h/f және h/g болса, онда h/d яғни f пен g-дің барлық ортақ бөлгіштерінің арасында d көпмүшесі ең «үлкені» болады. Бұл жерде көпмүшенің «үлкен кіші» қатыстығы олардың бірі екіншісіне қалдықсыз бөлінуіне байланысты «үлкен» бөлінетіні, ал бөлінетіні «кіші» рөлдерін атқарады. Екі көпмүше бір біріне бөлінбеуіне де мүмкін, ондай көпмүшеліктерді осы қатыстық бойынша, әрине, салыстыра алмаймыз.
А) Егер d көпмүшесі f пен g-дің ЕҮОБ, ал 0, R болса онда d көпмүшесі де f пен g-дің ЕҮОБ болады.
Б) Егер d1, d2 көпмүшелері екеуі де f пен g-дің ЕҮОБ болса, онда нолден өзгеше бір R үшін d1=d2 теңдігі орындалады.
ЕҮОБ(f,g) арқылы f пен g көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіштер жиынын белгілейміз
ЕҮОБ табудың Евклид алгоритмі
f,gR және g0 болсын. Көпмүшеліктерді қалдықпен бөлу алгоритмін біртіндеп қолданайық, онда
f=g*q1+r1, deg r1<deg g
g=r1*q2+r2, deg r2<deg r1
r1=r2*q3+r3, deg r3<deg r2
r2=r3*q4+r4, deg r4<deg r3
көпмүшенің дәрежелері қабылдайтын мән мына сандар … n, n-1, …, 2,1,0,- , ал қалдықтарының дәрежелері кемімелі , deg r1>deg r2>deg r3>deg r4
ендеше бір k саны үшін degrk>-, ал deg rk-1=- , демек, rk-2=rk-1*qk+rk, degrk<deg rk-1, rk0
rk-1=rk*qk+1, rk+1=0
осы қатынастар орындалғанда алгоритімді тоқтатамыз. Бұл алгоритм Евклид алгоритмі деген атпен белгілі