pos322641
.pdf131
E +E +E = I R +(I −I )R +(I −I )R ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
3 |
4 |
|
1 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E |
|
−E |
|
−E |
|
= I R −(I |
|
−I |
)R −(I |
|
−I |
|
)R ; |
|
(3.43) |
||||||
2 |
6 |
5 |
1 |
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
6 |
|
2 |
|
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−E +E +E = −(I −I )R +I R +(I −I )R . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
3 |
|
5 |
|
|
1 |
|
3 |
4 |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Выполним группирование подобных членов в левых частях уравнений системы (3.43) и приведем к стандартной форме системы уравнений по МКТ:
E +E +E = I (R +R +R )−I R −I R ; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
11 |
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
33 |
4 |
22 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E |
|
−E |
|
−E |
|
= −I R +I |
|
(R +R +R )−I R ; |
|
(3.44) |
||||||||||
2 |
6 |
5 |
22 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
2 |
5 |
|
6 |
33 |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−E +E +E = −I R −I R +I (R +R +R ). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
3 |
|
5 |
|
|
11 |
4 |
|
2 |
5 |
33 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ системы уравнений (3.44) позволяет прийти к следующим выводам:
- коэффициент при контурном токе, номер которого совпадает с номером контура, для которого составлено уравнение, равняется арифметической сумме сопротивлений этого контура, ее мы будем называть собственным со-
противлением контура Rii (для первого контура R11 = R1 +R4 +R6 , для вто-
рого контура R22 = R2 +R5 +R6 , для третьего контура R33 = R3 +R4 +R5 ); - коэффициенты Riк при контурных токах, номера которых не совпадают с номером контура, для которого составляется уравнение, являются со-
противлениями веток, которые принадлежат одновременно двум контурам; знак этих коэффициентов зависит от того, одинаково или противоположно направлены токи в этих ветвях, и мы будем называть их взаимными сопро-
тивлениями контуров (R12 = R21 = −R6 ,R13 = R31 = −R4 , R23 = R32 = −R5 ).
Левые части уравнений (3.44) являются алгебраическими суммами источников ЭДС по второму закону Кирхгофа и мы будем называть их контур-
ными ЭДС (E11 = E1 +E4 +E6 , E22 |
= E2 −E5 −E6 , E33 |
= E3 −E4 +E5 ). |
Подставим их значения (3.40) – (3.42) |
в уравнения (3.39), что приведет к ис- |
|
ключению токов I6, I5: |
|
|
E1 +E4 +E6 = I1R1 +(I1 −I3)R4 +(I1 −I2)R6 ; |
(3.45) |
|
E2 −E6 −E5 = I2R2 −(I1 −I2)R6 +(I3 −I2)R5 ; |
(3.46) |
132
−E4 +E3 +E5 = −(I1 −I3)R4 +I3R3 +(I3 −I2)R5 . |
(3.47) |
Группировка подобных членов в правых частях уравнений (3.45) – (3.47) приведет к системе уравнений (3.48):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R I +R I +R I = E ; |
|
||||||||
11 |
11 |
12 |
22 |
13 |
33 |
11 |
|
|
|
|
|
||||||||
R I |
|
+R I |
|
+R I |
|
= E |
|
|
(3.48) |
11 |
22 |
33 |
22 |
; |
|||||
21 |
22 |
23 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R I +R I +R I = E . |
|
||||||||
31 |
11 |
32 |
22 |
33 |
33 |
|
|
|
|
|
33 |
|
С помощью определителей система уравнений может быть решена:
|
|
|
|
|
|
|
E11 |
R12 |
R13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
E22 |
R22 |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
= |
|
|
|
|
E33 |
R32 |
R33 |
|
|
= E |
|
(−1)2 |
11 |
|
|
+E |
|
|
(−1)3 |
|||||
11 |
|
|
|
|
11 |
22 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
R22 |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
E11 |
R13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
E22 |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
= |
|
|
|
R31 |
E33 |
R33 |
|
= E |
|
(−1)3 |
|
21 |
|
+E |
|
|
|
(−1)4 |
||||
22 |
|
|
11 |
22 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
R22 |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
R12 |
E11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
R22 |
E22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
|
|
= |
R31 |
R32 |
E33 |
|
= E |
|
(−1)4 |
|
|
31 |
+E |
|
|
(−1)5 |
||||||||
33 |
R |
R |
R |
11 |
|
|
22 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
R22 |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
R32 |
R33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
+E |
|
(−1)4 |
13 |
; (3.49) |
|
33 |
|
|||
|
|
|
|
|
22 |
+E |
|
(−1)5 |
23 |
; (3.50) |
|
33 |
|
|||
|
|
|
|
|
32 |
+E |
|
(−1)6 |
33 |
; (3.51) |
|
33 |
|
|||
|
|
|
|
|
где: 11; 22 ; 33 ; 12 = 21 ; 13 = 31 , 23 = 32 - алгебраические дополнения формул.
133
Система уравнений (3.48) является стандартной формой записи урав-
нений по методу контурных токов для любой электрической цепи с
тремя независимыми контурами. Учитывая, что I1 = I11, I2 = I22 , I3 = I33 ,
можно рассчитать остальные токи по формулам (3.40) – (3.42). Можно сформулировать правило:
Ток в любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов в этой ветви, при этом положительный знак выбирают при совпадении направления контурного тока с направлением тока ветви, и отрицательный – наоборот. Расчет остальных токов выполним по схеме (рис.3.47.).
Для узла 5 по первому закону Кирхгофа І′ = І |
3 |
−J |
3 |
. Аналогично для |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
узла 1 I′ = I |
4 |
+J |
4 |
; для узла 9 |
I′ = I |
5 |
+J |
5 |
; для узла 8 |
I′ |
= I |
2 |
+J |
2 |
. |
||
4 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Если количество независимых контуров m, система уравнений по ме-
тоду контурных токов будет иметь вид:
R I |
|
+R I |
|
|
+...+R |
I |
|
|
= E ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11 |
11 |
12 22 |
|
|
|
1m mm |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R I |
|
+R I |
|
|
+...+R |
I |
|
|
= E |
|
; |
|
|
|
|
||||||
11 |
22 |
mm |
22 |
|
|
|
|
||||||||||||||
21 |
22 |
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−−−−−−−−−−−−−−−−−− |
(3.52) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−−−−−−−−−−−−−−− |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R I |
+R |
I |
|
|
+...+R |
I |
|
|
= E |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m1 |
11 |
m2 |
|
22 |
|
|
|
mm |
mm |
|
|
|
|
mm |
|
|
|
||||
В матричной форме систему (3.52) можно записать в |
полном виде: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
R12 ... R1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
||||||
|
|
R11 |
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R22 ... R2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
||||||
|
|
R21 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
(3.53) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
... |
= |
|
... |
|
||||||
|
|
........................ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm1 Rm2 ... Rmm |
|
Im |
|
|
|
Em |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
× I |
|
= |
E |
. |
|
|
|
|
(3.54) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ki |
|
kk |
|
|
|
|
kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: Rki - квадратичная матрица собственных и взаимных сопротивлений
контуров или кратко – матрица сопротивлений; |
E |
|
- матрица – стол- |
|
|
kk |
|
|
|
|
|
бец контурных ЭДС; i,k - соответственно номера рядка и столбца элементов матриц.
134
Матрица сопротивлений симметричная, так как Rik = Rki . На главной диагонали этой матрицы расположены собственные сопротивлении контуров
Rkk . Решение матричных уравнений (3.53) и (3.54) относительно неизвест-
ной матрицы контурных токов имеет вид:
I |
|
= R |
−1 |
E |
|
(3.55) |
|
|
kk |
|
ki |
|
kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Rki −1- обратная матрица сопротивлений.
3.4.2 Последовательность расчёта по методу контурных токов
Расчет цепей по методу контурных токов рекомендуется вести в следующей последовательности
1.Упростить исходную цепь, заменив реальные источники тока на реальные источники напряжения
2.Выбрать независимые контуры , направление контурных токов в них
инаправления токов в ветвях, при этом направления токов в ветвях, входящих только в один контур должны совпадать с направлением контурного тока
3.Записать и решить стандартную систему уравнений по методу контурных токов
4.По найденным контурным токам найти по первому закону Кирхгофа токи в остальных ветвях схемы
5.Выполнить проверку результатов расчёта.
Если в схеме идеальные источники тока и их не преобразовали в модели с источниками ЭДС, расчет имеет ряд особенностей. Чтобы выбрать независимые контуры, необходимо использовать дерево графа так, чтобы в идеальные источники тока входили в ветви соединения. В этом случае токи источников тока приравниваем к известным контурным токам, а уравления состав-
135
ляют и решают только для контуров с неизвестными контурными токами. При этом в уравнения включаются слагаемые, которые приравняли токам идеальных источников тока.
Пример 3.9.
Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.47. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры эле-
ментов имеют следующие значения:R1=5 Ом; R2 =R3 =10 Ом;R4 =5 Ом;R5 =3
Ом; J1=2 А; J2=0,3 А; J3=1,5 А; =80 В; E2 = 8 В; E3 =30 В; E4 =10 В.
Решение На первом этапе упростим схему рис. 3.47., заменив модели источников
энергии с источниками тока на модели с источниками ЭДС. Так заменяем:
J |
и E |
1 |
на эквивалентные источники ЭДС E |
′ = E |
−J R = 80−2 5 = 70В; |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
J |
и E |
2 |
|
на эквивалентный источник E′ |
= E |
2 |
|
−J R = 8−0,3 10 = 5В; J |
и |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
3 |
|
||
E |
на E′ = E |
3 |
−J R = 30−1,5 10 = 15В. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.47. Схема к примеру 3.9.
136
На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы c неизвестными контурными токами и произвольно выбираем положительные их направления (рис. 3.48.).
На третьем этапе составляем стандартную систему уравнений по МКТ для трёх неизвестных контурных токов Ι11, Ι22 , Ι33 :
|
|
|
|
I11R11 |
+I22R12 +I33R13 |
= E11; |
|
|||
|
|
|
|
I11R21 +I22R22 +I33R23 |
= E22; |
(3.56) |
||||
|
|
|
|
I11R31 |
+I22R32 +I33R33 |
= E33. |
|
|||
|
|
Здесь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
R11 |
= R1 +R2 +R4 = 5+10+5 = 20Ом;R33 = R4 +R5 = 5+3 = 8Ом; |
|||||||||
R22 |
= R2 +R3 = 10+10 = 20Ом; |
|
|
|
|
|
||||
R23 |
= R32 = 0Ом; R12 = R21 = −R2 = −10Ом; R31 = R13 = −R4 = −5Ом; |
|||||||||
E |
11 |
= E′−E′ |
−E′ = 70−5−10 = 55В; E |
22 |
= E′ |
+E′ |
= 15+5 = 20В; |
|||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
2 |
|
E33 = E4 = 10В.
|
Ι 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
E ′ |
E1′ |
|
E2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ι11 |
Ι22 |
R1 |
|
R2 |
|
|
R3 |
||
Ι4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
3 |
R5 |
R4 |
|
II |
|
|
||
III |
E′ |
|
Ι 3 |
Ι33 |
4 |
|
|
|
|
||
|
|
Ι2 |
|
Ι 5 |
|
|
|
Ι |
′ |
|
|
5 |
|
||
|
1 |
|
Рис.3.48. Упрощенная схема к примеру 3.9
137
Подставляем полученные значения коэффициентов в уравнения системы (3.56) получаем:
|
|
|
|
|
|
|
20 I −I 10−I 5 = 55 |
|
|||||
|
|
11 22 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
−I |
|
10+I |
|
20 = 20 |
|
(3.57) |
11 |
22 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
−I11 5+I33 8 = 10 |
|
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R11R12R13 |
|
|
|
E11R12R13 |
|
|
|
R11E11R13 |
|
|
|
R11R12E11 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(3.58) |
R R R |
; |
1 |
E R R |
; |
2 |
R E R |
|
; |
3 |
R R E |
22 |
. |
||||||||||||
|
21 |
22 |
23 |
|
|
22 |
22 |
23 |
|
|
21 |
22 |
23 |
|
|
21 |
22 |
|
|
|||||
|
R R R |
|
|
|
E R R |
|
|
|
R E R |
|
|
|
R R E |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
33 |
32 |
33 |
|
|
|
31 |
33 |
|
33 |
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила вычисления определителей при раскрытии по первому столбцу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= R −1 R R −R R |
+R −1 |
|
|
R R −R R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 ( |
) ( |
22 33 |
|
23 |
32) |
|
|
21 ( |
) ( |
12 33 |
13 |
32) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+R31 (−1) (R12R23 −R13R22); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.59) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= E |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+E |
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
11 |
( |
) ( |
22 33 |
23 |
32) |
|
|
22 ( |
) |
|
( 12 33 |
13 |
32) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+E |
|
|
|
−1 |
R R −R R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
33 ( |
|
) |
( 12 |
23 |
|
|
|
13 22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
−10 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
55 |
−5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
20 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
20 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
10 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I = |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6 A; |
|
I = |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
A; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
−10 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
−10 |
|
−5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
|
20 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
20 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
0 |
|
8 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
−10 |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
20 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I33 = |
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
−10 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
20 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:
I1 = I11 = 6А; I22 = I3 = 4А; I33 = I5 = 5А;
138
Ток I2 вычисляем для узла 1 по первому закону Кирхгофа:
|
|
|
|
I2 |
= I1 −I3 = 6−4 = 2 А; |
|
|
(3.61) |
|||
Аналогично величины токов: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
= I11 −I33 = I1 |
−I5 = 6−5 = 1 A; |
для узла 5 |
|
|
||||||
|
|
||||||||||
I′ = I |
|
+ Ι = 6+ |
2 = 8 A; |
|
|
(3.62) |
|||||
|
для узла 4 |
||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I′ = I |
|
−Ι = 2− |
0,3 = 1,7 A; |
|
|
|
|||||
|
для узла 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I′ = I |
3 |
+Ι |
3 |
= 4 +1,5 = 5,5 А. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
На пятом этапе выполняем проверку вычислений подстановкой величин токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для исходной схемы рис. 3.47.:
E |
1 |
−E |
2 |
−E |
4 |
= I |
′R +I′R +I R |
для первого контура; |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
||||
E |
3 |
+E |
2 |
= I′R −I′R |
|
|
|
для второго контура; |
(3.63) |
|||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
E4 |
= I5R5 +I4R5 |
|
|
|
|
|
|
для третьего контура. |
|
|||||||
Подставляем заданные параметры элементов электрической цепи и ве- |
||||||||||||||||
личины токов в систему уравнений (3.59): |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
80−8−10 = 8 5+1,7 10+1 5 |
или 62=62; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5,5 10−1,7 10 = 30+8 |
или 38=38; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−1 5+ 3 5 = 10 |
|
|
|
или 10=10. |
|
||||||
Система уравнений (3.63) |
превратилась в верное равенство. |
|
Пример 3.10.
Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 3.48. выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов
имеют |
следующие |
значения: |
R1 = 110Ом; |
R2 = 60Ом; |
|
R3 |
= 45Ом;R4 = 150Ом;R5 |
= 80Ом; |
R6 = 50Ом;E1 = 10В; |
E2 = 8В; |
|
J2 |
= 0,1А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139 |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
a |
|
На первом этапе упро- |
|
|
|
|
I8 |
стим электрическую |
схему, |
|
|
|
|
||
|
|
|
E2 |
заменив источник тока на ис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
R3 |
Ιk2 точник ЭДС. |
|
|
|
На втором этапе |
выби- |
||
|
|
|
|||
E1 |
|
|
n |
||
I5 |
|
|
|
||
|
d |
I2 |
раем положительные направ- |
||
|
|
|
|||
|
|
R6 |
I4 |
ления токов в ветвях схемы и |
|
|
|
I 6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимые контуры с неиз- |
|
|
Рис.3.48. Схема к примеру 3.10 |
вестными контурными тока- |
|||
|
|
|
|
ми и их положительными направлениями.
Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неиз-
вестных контурных тока I11,I22 ,I33 .
На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
I8 |
|
|
|
|
|
E2 |
|
I1 |
I11 |
|
R3 |
I33 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
E1 |
I5 |
|
|
I2 |
E3 |
|
d |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
I 22 |
|
|
I4 |
I 6
R6
Рис.3.49. Упрощенная схема к примеру 3.10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I R +I R +I R = E ; |
|
||||||||
11 |
11 |
22 |
12 |
33 |
13 |
11 |
|
|
|
|
|
||||||||
I R |
+I R |
+I |
R |
= E |
|
|
(3.64) |
||
22 |
; |
||||||||
11 |
21 |
22 |
22 |
33 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I R +I R +I R = E . |
|
||||||||
11 |
31 |
22 |
32 |
33 |
33 |
|
|
|
|
|
33 |
|
Для данной схемы:
140
R |
= R +R +R = 110+ |
|
|
||||
45+ 80 = 235 Ом; |
|||||||
11 |
1 |
3 |
5 |
|
|
||
|
|
||||||
R = R = −R = −80 Ом; |
|
|
|||||
|
|
||||||
|
21 |
12 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E11 = −E1 = −10 В; |
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= R +R +R = 150+ |
|
|
||||
50+80 = 280 Ом; |
|||||||
|
22 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
R = R = −R = −45 Ом; |
|
|
|||||
|
|
||||||
|
31 |
13 |
3 |
|
|
|
|
E |
|
= E |
|
= 0 В; |
|
|
|
22 |
22 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
|
|
|
|
= R +R +R = 45+150+60 = 255 Ом; |
|||||||
|
33 |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
= R |
= −R = −150 Ом; |
|
||||
|
|||||||
|
32 |
23 |
4 |
|
|
|
|
E33 = E2 −E3 = −14 В. |
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем систему (3.65) с помощью определителей:
I11 =
I22 =
I33 =
−10 −80 −45
0280 −150
−14 −150 255
1 =
235 −80 −45
−80 280 −150 −45 −150 255
235 −10 −45
−80 0 −155
−45 −14 255
2 =
235 −80 −45 −80 280 −150
−45 −150 255
235 −80 −10
−80 280 0
3 = −45 −150 −14
235 −80 −45
−80 280 −150
−45 −150 255
= 0,10148 A;
= −0,0993 A;
= −0,131215
A.
На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:
(3.65)
(3.66)