Лекции теплотехника часть1

Подставляя значения постоянных C1 и С2 в уравнение (2.7), получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке:

В случае зависимости коэффициента теплопроводности от температуры изменение температуры в стенке происходит не линейно, а по кривой (пунктирные линии на рис. 2.2). Характер температурной кривой определяется видом функции λ = f(t).

Рис. 2.2 Распределение температуры по толщине однородной плоской стенки

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку, воспользуемся законом Фурье. Для данной задачи нормаль к изотермической поверхности совпадает с осью Ох, следовательно,

Подставив в уравнение (2.10) значение температуры из уравнения (2.9) и взяв производную, получим:

21

Отношение называется тепловым, или термическим со-

противлением стенки, а обратная величина – тепловой про-

водимостью стенки.

Зная плотность теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты Е, Дж, которое передается через поверхность стенки величиной F за промежуток времени τ:

а также тепловой поток через стенку Q, Вт

В случае если плоская стенка состоит из n однородных слоев (контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова), плотность теплового потока рассчитывается по следующему уравнению

где δi – толщина i-го слоя стенки, м;

λi – коэффициент теплопроводности i-го слоя стенки, Вт/(мּК).

всех n слоев, называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев можно вычислить по формулам:

22

tc2 tc1 q 1 ;

1

tc( i 1) tc1 q i i . i 1 i

Граничные условия второго рода

Вэтом случае задано значение плотности теплового потока на наружных поверхностях стенки (х = 0 и х = δ), а значит, и при любом значении х, т.к. q = const.

Всвязи с тем, что q xt , задание величины q означает задание тангенса угла наклона температурной прямой (см. рис. 2.2), т.е. величины xt . При этом первая постоянная интегриро-

вания будет равна C1 q , а для определения второй посто-

янной С2 условий не остается, т.е. она может принимать любое значение.

Это означает, что при граничных условиях второго рода единственного решения задачи стационарной теплопроводности не существует. Заданному значению плотности теплового потока удовлетворяет бесчисленное множество прямых с угловым

коэффициентом q . Для того, чтобы существовало единст-

венное решение, т.е. чтобы было возможным определить вторую постоянную С2 в решении уравнения (2.7), необходимо задать какое-либо дополнительное условие, например температуру на одной из поверхностей пластины или температуру среды и коэффициент теплоотдачи с любой стороны.

Граничные условия третьего рода (теплопередача)

В этом случае задаются температура среды и коэффициент теплоотдачи слева и справа от плоской стенки (теплообмен ме-

23

жду поверхностями плоской стенки и окружающей средой осуществляется конвективной теплоотдачей).

Пусть плоская однородная стенка имеет толщину δ (рис. 2.3). Заданы коэффициент теплопроводности стенки λ, температуры окружающей среды tо1 и tо2, а также коэффициенты теплоотдачи α1 и α2; будем считать, что величины tо1, tо2, α1 и α2 постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры окружающей среды и стенки только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки.

Рис. 2.3 Теплопередача через однородную плоскую стенку

При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости (либо газа) к холодной и температуры на поверхностях стенки.

Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением

Плотность теплового потока, обусловленная теплопроводностью через твердую стенку,

Плотность теплового потока от второй поверхности стенки к холодной жидкости (газу) за счет теплоотдачи

24

Величина k имеет ту же размерность, что и α [Вт/(м2ּК)], и называется коэффициентом теплопередачи. Коэффициент теплопередачи k характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус.

25

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи:

Из (2.25) видно, что полное термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений 1/α1, δ/λ и 1/α2, причем 1/α1 - термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидкости (газа) к поверхности стенки; δ/λ - термическое сопротивление теплопроводности стенки; 1/α2 - термическое сопротивление теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости (газа).

Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений (2.20):

Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что в случае многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. И если стенка состоит из n слоев, то полное термическое сопротивление теплопередачи через такую стенку будет равно:

26

Плотность теплового потока через многослойную стенку, состоящую из n слоев, будет равна:

Тепловой поток Q через поверхность F твердой стенки

Температура на границе любых двух слоев i и i+1 многослойной стенки при граничных условиях третьего рода может быть определена по уравнению

27

Лекция № 4

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

Граничные условия первого рода

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2r1 и наружным диаметром d2 = 2r1 при условии отсутствия внутренних источников теплоты (qυ = 0) (рис. 2.4).

На поверхностях стенки заданы постоянные температуры tcl и tc2. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности материала стенки λ является постоянной величиной. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

Рис. 2.4 Теплопроводность цилиндрической стенки

Для цилиндрической стенки бесконечной длины при неизменных по граничным поверхностям стенки условиях температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и

28

толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Вычитая из равенства (а) равенство (б), получим:

tс1 tс2 2Qπλl ln r1 2Qπλl ln r2 ;

или

То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

29

В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса.

Тепловой поток (2.38) может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:

(тепловой поток через единицу внутренней поверхности, Вт/м2);

(тепловой поток через единицу наружной поверхности, Вт/м2);

(поток теплоты, проходящий через единицу длины трубы, Вт/м). Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, называется линейной плотностью теплового потока. Как видно из уравнения (2.41), при неизменном отношении d2/d1 линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки. Плотности теплового потока q1 и q2 (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) в случае передачи теплоты через трубу неодинаковы, причем всегда q1 > q2, т.к. по мере удаления от оси поверхность F, через которую проходит тепловой поток, растет пропорционально радиусу, в то время

как поток Q остается постоянным.

Граничные условия второго рода

30